高三數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)及試題解析函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，也是高考考查的重點(diǎn)與難點(diǎn)。進(jìn)入高三復(fù)習(xí)階段，對(duì)函數(shù)部分進(jìn)行系統(tǒng)性的梳理、深化理解并掌握常見題型的解題策略，對(duì)于提升數(shù)學(xué)成績(jī)至關(guān)重要。本文將從函數(shù)的核心知識(shí)點(diǎn)回顧入手，結(jié)合典型試題進(jìn)行解析，旨在幫助同學(xué)們構(gòu)建清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升解題能力。一、函數(shù)核心知識(shí)點(diǎn)回顧與深化（一）函數(shù)的基本概念1.函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。理解此定義需抓住“非空數(shù)集”、“任意”、“唯一”三個(gè)關(guān)鍵詞。2.函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域。其中，定義域和對(duì)應(yīng)法則是決定函數(shù)的關(guān)鍵要素。在求解函數(shù)問題時(shí)，定義域優(yōu)先考慮是基本原則。*定義域：使函數(shù)有意義的自變量x的取值范圍。常見的限制條件有：分式分母不為零、偶次根式被開方數(shù)非負(fù)、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1，以及實(shí)際問題中的具體意義等。*值域：函數(shù)值的集合。求值域的常用方法有：觀察法、配方法、判別式法、反函數(shù)法（已知反函數(shù)定義域）、換元法、單調(diào)性法、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法等。3.函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖像法。解析法是最常用的表示方法，需熟練掌握。（二）函數(shù)的基本性質(zhì)1.單調(diào)性：*定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?，x?，當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)（或f(x?)>f(x?)），那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。*判定方法：定義法（取值、作差/作商、變形、定號(hào)、下結(jié)論）、導(dǎo)數(shù)法（若f'(x)≥0在區(qū)間D上恒成立且不恒為零，則f(x)在D上為增函數(shù)；反之則為減函數(shù)）。*幾何意義：函數(shù)圖像在單調(diào)遞增區(qū)間上從左到右是上升的，在單調(diào)遞減區(qū)間上從左到右是下降的。2.奇偶性：*定義：對(duì)于定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f(x)，若對(duì)任意x，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；若對(duì)任意x，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。*判定步驟：首先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱，則非奇非偶；若對(duì)稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系。*幾何意義：奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。3.周期性：*定義：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。若存在最小的正周期，則稱為最小正周期。*常見結(jié)論：若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1/f(x)(f(x)≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|。（三）函數(shù)的圖像1.基本初等函數(shù)的圖像：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖像特征是繪制復(fù)雜函數(shù)圖像的基礎(chǔ)，必須熟練掌握。2.圖像變換：*平移變換：y=f(x+a)是將y=f(x)向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個(gè)單位；y=f(x)+b是將y=f(x)向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個(gè)單位。*伸縮變換：y=f(kx)(k>0)是將y=f(x)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(k>1)或伸長(zhǎng)(0<k<1)到原來的1/k倍；y=Af(x)(A>0)是將y=f(x)的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍。*對(duì)稱變換：y=-f(x)與y=f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱；y=f(-x)與y=f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱；y=-f(-x)與y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；y=f?1(x)與y=f(x)關(guān)于直線y=x對(duì)稱。（四）幾類重要的函數(shù)1.二次函數(shù)：解析式（一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式）、圖像（開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸）、最值（含參數(shù)討論在給定區(qū)間上的最值）、零點(diǎn)分布問題是重點(diǎn)。2.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)：理解其定義、圖像和性質(zhì)（單調(diào)性、過定點(diǎn)），掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。注意底數(shù)a對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響。3.冪函數(shù)：了解常見冪函數(shù)（如y=x,y=x2,y=x3,y=x?1,y=x^(1/2)）的圖像和性質(zhì)。4.三角函數(shù)：包括正弦、余弦、正切函數(shù)的定義、圖像、周期性、奇偶性、單調(diào)性、最值及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等。這部分內(nèi)容公式多，需在理解基礎(chǔ)上記憶并靈活應(yīng)用。二、典型試題解析題型一：函數(shù)的定義域與解析式例1已知函數(shù)f(x)=√(mx2+mx+1)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，意味著對(duì)任意實(shí)數(shù)x，mx2+mx+1≥0恒成立。當(dāng)m=0時(shí)，1≥0恒成立，滿足條件。當(dāng)m≠0時(shí)，需滿足二次函數(shù)y=mx2+mx+1的圖像開口向上且與x軸無交點(diǎn)（或只有一個(gè)交點(diǎn)）。即：m>0且判別式Δ=m2-4m≤0。解Δ≤0得：0≤m≤4。結(jié)合m>0，得0<m≤4。綜上，m的取值范圍是[0,4]。點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)定義域的逆向問題，涉及二次函數(shù)恒成立條件。需注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)m進(jìn)行分類討論，這是易錯(cuò)點(diǎn)。題型二：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例2已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且f(1)=0。求不等式f(x-1)<0的解集。解析：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，且f(x)在(-∞,0)上的單調(diào)性與在(0,+∞)上一致，即也單調(diào)遞增。又f(1)=0，所以f(-1)=-f(1)=0。在(0,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增且f(1)=0，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0。在(-∞,0)上，f(x)單調(diào)遞增且f(-1)=0，所以當(dāng)x<-1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)-1<x<0時(shí)，f(x)>0。綜上，f(x)<0的解集為(-∞,-1)∪(0,1)。則不等式f(x-1)<0等價(jià)于：x-1<-1或0<x-1<1解得：x<0或1<x<2。所以，原不等式的解集為(-∞,0)∪(1,2)。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)（對(duì)稱性、f(0)=0）、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式。解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件畫出函數(shù)的大致圖像或分析出函數(shù)值的正負(fù)區(qū)間，將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體的代數(shù)不等式。題型三：函數(shù)圖像與數(shù)形結(jié)合例3函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+a|，若其最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值。解析：f(x)=|x-1|+|x+a|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)-a的距離之和。根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，當(dāng)點(diǎn)x位于點(diǎn)1和點(diǎn)-a之間（包括端點(diǎn)）時(shí)，距離之和取得最小值，最小值為這兩點(diǎn)之間的距離，即|1-(-a)|=|a+1|。已知最小值為3，所以|a+1|=3，解得a=2或a=-4。點(diǎn)評(píng)：利用絕對(duì)值的幾何意義（距離）來解決含絕對(duì)值函數(shù)的最值問題，往往比代數(shù)方法（分類討論去絕對(duì)值）更為簡(jiǎn)潔直觀。數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要思想方法。題型四：導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性與極值中的應(yīng)用例4已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，在x=-2/3與x=1時(shí)都取得極值。(1)求a、b的值；(2)若對(duì)x∈[-1,2]，f(x)<c2恒成立，求c的取值范圍。解析：(1)f'(x)=3x2+2ax+b。因?yàn)楹瘮?shù)在x=-2/3與x=1時(shí)都取得極值，所以f'(-2/3)=0，f'(1)=0。即：3*(-2/3)2+2a*(-2/3)+b=0→4/3-(4a)/3+b=0→4-4a+3b=0...(i)3*(1)2+2a*(1)+b=0→3+2a+b=0...(ii)聯(lián)立(i)(ii)解得：a=-1/2，b=-2。(2)由(1)知f(x)=x3-(1/2)x2-2x+c。f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)。令f'(x)=0，得x=-2/3或x=1。當(dāng)x∈[-1,-2/3)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-2/3,1)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。所以，f(x)在x=-2/3處取得極大值，在x=1處取得極小值。計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)及極值點(diǎn)的函數(shù)值：f(-1)=(-1)3-(1/2)(-1)2-2*(-1)+c=-1-1/2+2+c=1/2+c；f(-2/3)=(-2/3)3-(1/2)(-2/3)2-2*(-2/3)+c=-8/27-(1/2)(4/9)+4/3+c=-8/27-2/9+4/3+c=(-8-6+36)/27+c=22/27+c；f(1)=13-(1/2)(1)2-2*(1)+c=1-1/2-2+c=-3/2+c；f(2)=23-(1/2)(2)2-2*(2)+c=8-2-4+c=2+c。比較可知，在x∈[-1,2]上，f(x)的最大值為f(2)=2+c。要使f(x)<c2恒成立，只需最大值小于c2，即2+c<c2。解得c2-c-2>0→(c-2)(c+1)>0→c<-1或c>2。所以c的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞)。點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的有力工具。本題先利用極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零求出參數(shù)，再通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值，最后解決恒成立問題。恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。三、復(fù)習(xí)建議與總結(jié)函數(shù)專題內(nèi)容豐富，綜合性強(qiáng)。在復(fù)習(xí)過程中，建議同學(xué)們：1.夯實(shí)基礎(chǔ)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：務(wù)必吃透函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖像，理清各知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成系統(tǒng)的知識(shí)體系。2.突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)：二次函數(shù)、指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考的重點(diǎn)。對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)的綜合應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方