考點22.圖形的變換（平移、旋轉、軸對稱）（精講）【命題趨勢】圖形的變換以考查平面幾何的三大變換的基本運用為主，年年都有考查，分值在10分左右。預計2024年各地中考還將繼續(xù)考查這些知識點，考查形式主要有選填題、作圖題、也可能綜合題結合其他考點出現。在三種變換中，平移相對較為簡單，多以選擇題形式考察，偶爾也會考察作圖題；對稱和旋轉則難度較大，通常作為選擇、填空題的壓軸題出現（考查最值問題居多），在解答題中，也會考查對稱和旋轉的作圖，以及與特殊幾何圖形結合的綜合壓軸題，此時常需要結合幾何圖形或問題類型去分類討論?！局R清單】1：圖形的平移（☆）1）平移的概念：在平面內，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運動叫做平移。平移不改變圖形的形狀和大小。2）三大要素：（1）平移的起點，（2）平移的方向，（3）平移的距離。3）性質：（1）平移前后，對應線段平行且相等、對應角相等；（2）各對應點所連接的線段平行(或在同一條直線上)且相等；（3）平移前后的圖形全等。4）作圖步驟：（1）根據題意，確定平移的方向和平移的距離；（2）找出原圖形的關鍵點；（3）按平移方向和平移距離平移各個關鍵點，得到各關鍵點的對應點；（4）按原圖形依次連接對應點，得到平移后的圖形。2：圖形的旋轉（☆☆）1）定義：在平面內，一個圖形繞一個定點沿某個方向(順時針或逆時針)轉過一個角度，這樣的圖形運動叫旋轉．這個定點叫做旋轉中心，轉過的這個角叫做旋轉角。2）三大要素：（1）旋轉中心；（2）旋轉方向；（3）旋轉角度。3）性質：（1）對應點到旋轉中心的距離相等；（2）每對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（3）旋轉前后的圖形全等。4．作圖步驟：（1）根據題意，確定旋轉中心、旋轉方向及旋轉角；（2）找出原圖形的關鍵點；（3）連接關鍵點與旋轉中心，按旋轉方向與旋轉角將它們旋轉，得到各關鍵點的對應點；（4）按原圖形依次連接對應點，得到旋轉后的圖形。5）中心對稱圖形與中心對稱中心對稱中心對稱圖形圖形定義如果一個圖形繞某點旋轉180°后與另一個圖形重合，我們就把這兩個圖形叫做成中心對稱。如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。區(qū)別中心對稱是指兩個圖形的關系。中心對稱圖形是指具有某種特性的一個圖形聯系兩者可以相互轉化，如果把中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這“一個圖形”就是中心對稱圖形；反過來，如果把一個中心對稱圖形相互對稱的兩部分看成兩個圖形，那么這“兩個圖形”中心對稱。3：圖形的軸對稱（☆☆☆）1）軸對稱與軸對稱圖形軸對稱軸對稱圖形圖形定義把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸。如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。區(qū)別（1）軸對稱是指兩個圖形折疊重合。（2）軸對稱對稱點在兩個圖形上。（3）軸對稱只有一條對稱軸。（1）軸對稱圖形是指本身折疊重合。（2）軸對稱圖形對稱點在一個圖形上。（3）軸對稱圖形至少有一條對稱軸。聯系（1)定義中都有一條直線,都要沿著這條直線折疊重合。（2)如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體,那么它就是一個軸對稱圖形；反之,如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分(即看成兩個圖形),那么這兩個圖形就關于這條直線成軸對稱。性質（1）關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。（2）兩個圖形關于某直線對稱那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。判定（1）兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形關于這條直線對稱。（2）兩個圖形關于某條直線成軸對稱,那么對稱軸是對折重合的折痕線。2）作軸對稱圖形的一般步驟：（1）作某點關于某直線的對稱點的一般步驟：①過已知點作已知直線（對稱軸）的垂線，標出垂足，并延長；②在延長線上從垂足出發(fā)截取與已知點到垂足的距離相等的線段，那么截點就是這點關于該直線的對稱點。（2）作已知圖形關于某直線的對稱圖形的一般步驟：①找.在原圖形上找特殊點（如線段的端點、線與線的交點）；②作.作各個特殊點關于已知直線的對稱點；③連.按原圖對應連接各對稱點。3）折疊的性質：折疊的實質是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等．4：最短路徑問題（☆☆☆）與圖形變換相關的最值問題有：將軍飲馬（遛馬、造橋）（軸對稱、平移）、費馬點問題（旋轉）、瓜豆原理（圓弧軌跡類）（旋轉）等?！疽族e點歸納】1.對稱軸是一條直線，不是一條射線，也不是一條線段。2.旋轉中心可以是圖形外的一點，也可以是圖形上的一點，還可以是圖形內的一點。3.對應點之間的運動軌跡是一段圓弧，對應點到旋轉中心的線段就是這段圓弧所在圓的半徑?！竞诵目键c】核心考點1.圖形的平移

典例1：（2025·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）下列圖形中，能由圖形通過平移得到的是（）

A．

B．

C．

D．

變式1．（2025·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在直角坐標系中，把點先向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到點．若點的橫坐標和縱坐標相等，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5變式2.（2025·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，兩個燈籠的位置的坐標分別是，將點向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點，則關于點的位置描述正確是（

）

A．關于軸對稱B．關于軸對稱C．關于原點對稱D．關于直線對稱變式3．（2025·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，菱形的頂點A的坐標為，．將菱形沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形，其中點的坐標為（

）

A． B． C． D．例2：（2025·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，，，將線段水平向右平移a個單位長度得到線段，若四邊形為菱形時，則a的值為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4變式1．（2025·內蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，用平移方法說明平行四邊形的面積公式時，若平移到，，，則的平移距離為（

）

A．3 B．4 C．5 D．12變式2．（2025·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，將沿向右平移得到，若，，則的長是（

）

A．2 B． C．3 D．5例3：（2025·河南信陽·九年級統(tǒng)考期中）在正方形網格中建立平面直角坐標系，使得A，B兩點的坐標分別為，，過點B作軸于點C．

(1)按照要求畫出平面直角坐標系，線段，寫出點C的坐標；(2)直接寫出以A，B，C為頂點的三角形的面積；(3)若線段是由線段平移得到的，點A的對應點是C，畫出線段，寫出一種由線段得到線段的過程．變式1.（2025·四川瀘州·九年級校聯考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，．將先向下平移4個單位，再向左平移6個單位得到．(1)請在圖中畫出；寫出三個頂點的坐標；(2)求的面積．(3)若中有一點，請直接寫出平移后的坐標變式2．（2025·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系v中，點，，所在圓的圓心為O．將向右平移5個單位，得到（點A平移后的對應點為C）．

(1)點D的坐標是___________，所在圓的圓心坐標是___________；(2)在圖中畫出，并連接，；(3)求由，，，首尾依次相接所圍成的封閉圖形的周長．（結果保留）核心考點2.圖形的旋轉例4：（2025·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，將逆時針旋轉得到，交于F．當時，點D恰好落在上，此時等于（

）

A． B． C． D．變式1．（2025·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E是正方形內的一點，將繞點B按順時針方向旋轉得到．若，則度．

變式2．（2025·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞著點A旋轉，旋轉后的點B落在上，點B的對應點為D，連接是的角平分線，則．

變式3．（2025·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉角（）得到，連接，．當為直角三角形時，旋轉角的度數為．

例5：（2025·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點A，B在x軸上，，，，將菱形繞點A旋轉后，得到菱形，則點的坐標是．

變式1．（2025·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）在直角坐標系中，點繞原點逆時針方向旋轉，得到的點的坐標是．變式2．（2025·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為，將繞著點B順時針旋轉，得到，則點C的坐標是（

）

A． B． C． D．例6：（2025·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）菱形的邊長為2，，將該菱形繞頂點A在平面內旋轉，則旋轉后的圖形與原圖形重疊部分的面積為（

）A． B． C． D．變式1．（2025·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點在上，且．連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，．則的面積是（

）

A． B． C． D．變式2．（2025·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段，點是線段上的動點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，在的上方作，使，點為的中點，連接，當最小時，的面積為．

例8：（2024·陜西西安·陜西師大附中校考二模）2025年10月8日晚，伴隨圣火緩緩熄滅，杭州第19屆亞運會圓滿閉幕，亞運是體育盛會，也是文化旅游的盛會．下列與杭州亞運會有關的圖案中，屬于中心對稱圖形的是（

）A．B．C．D．變式1．（2025·湖南永州·?？级＃?025年11月29日23時08分，由航天科技集團五院抓總研制的神舟十五號載人飛船，由長征二號F運載火箭穩(wěn)穩(wěn)托舉，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心一飛沖天，將費俊龍、鄧清明、張陸3名航天員送入太空，展現了中國航天科技的強大．下列航天圖標，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

變式2．（2025·天津河西·?？既＃ǘ噙x題）在以下四個標志中，是中心對稱圖形的是（

）A． B．

C．

D．

例8：（2025·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，已知點A與點C關于點O對稱，點B與點D也關于點O對稱，若，．則AB的長可能是（

）A．3 B．4 C．7 D．11變式1．（2025·浙江杭州·二模）如圖，拋物線（a＞0）與x軸交于A，B，頂點為點D，把拋物線在x軸下方部分關于點B作中心對稱，頂點對應D′，點A對應點C，連接DD′，CD′，DC，當△CDD′是直角三角形時，a的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或變式2.（2025·山東濟寧·?？家荒＃┤鐖D，平面直角坐標系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關于點B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關于點B2成中心對稱，如此作下去，則△B2n﹣1A2nB2n（n是正整數）的頂點A2n的坐標是（）A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，）例9：（2025·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，在方格紙中按要求畫圖，并完成填空．(1)畫出線段繞點O順時針旋轉后得到的線段，連接；(2)畫出與關于直線對稱的圖形，點A的對稱點是C；(3)填空：的度數為_________．變式1．（2025·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預測）在正方形網格中建立如圖所示的平面直角坐標系的三個頂點都在格點上，A的坐標是，請回答下列問題：(1)將向下平移六個單位長度，畫出平移后的；(2)畫出關于原點O對稱的；(3)判斷與是否關于某點成中心對稱；若是，請畫出對稱中心M，并寫出點M的坐標．

變式2．（2025·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，已知A，B，C是平面直角坐標系上的三個點．(1)請畫出關于原點O對稱的；(2)將向右平移8個單位得到，請畫出；(3)與是否也關于某個點成中心對稱？如果是，請寫出它們對稱中心的坐標，如果不是，請說明理由．

核心考點3.圖形的軸對稱例10：（2025·江蘇·統(tǒng)考中考真題）剪紙是中國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化．下列剪紙圖案中，是軸對稱圖形的是（

）．A．

B．

C．

D．

變式1．（2025·山西·統(tǒng)考中考真題）全民閱讀有助于提升一個國家、一個民族的精神力量．圖書館是開展全民閱讀的重要場所．以下是我省四個地市的圖書館標志，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

變式2.（2025·廣東潮州·統(tǒng)考三模）我國楊秉烈先生在上世紀八十年代發(fā)明了繁花曲線規(guī)畫圖工具，利用該工具可以畫出許多漂亮的繁花曲線，繁花曲線的圖案在服裝、餐具等領域都有廣泛運用．下面四種繁花曲線中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．例11：（2025·浙江溫州·統(tǒng)考一模）某電梯中一面鏡子正對樓層顯示屏，顯示屏中顯示的是電梯所在樓層號和電梯運行方向．當電梯中鏡子如圖顯示時，電梯所在樓層號為．變式1．（2025上·山東德州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，桌球的桌面上有，兩個球，若要將球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中球，則，，，，4個點中，可以反彈擊中球的是點．變式2．（2025·福建三明·九年級統(tǒng)考期中）如圖，彈性小球從點出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到長方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角.當小球第1次碰到矩形的邊時的點為，第2次碰到矩形的邊時的點為，…，第次碰到矩形的邊時的點為.則點的坐標是.

例12：（2025·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）如圖，是的直徑，C，D是上的兩個點，將沿弦折疊，圓弧恰好與弦，分別相切于點E，B．若，則弦的長是（

）

A． B． C． D．變式1．（2025·安徽·校聯考模擬預測）如圖，在等腰中，，，為邊上一動點，將沿折疊得到，，連接．（1）；（2）．變式2．（2025·浙江杭州·校聯考二模）如圖菱形的邊長為4，，將菱形沿折疊，頂點C恰好落在邊的中點G處，則．例13：（2025·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A、B、C都是格點．(1)畫出關于直線對稱的；(2)直接寫出______．四邊形的面積為______．

變式1．（2025·江蘇泰州·九年級校考階段練習）如圖，在的正方形網格中，網格中有一個格點（即三角形的頂點都在格點上）．(1)在圖中作出關于直線l對稱的（要求A與，B與，C與相對應）(2)在直線l上找一點P，使得的周長最小

變式2．（2025·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）（1）觀察分析：在一次數學綜合實踐活動中，老師向同學們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請你結合自己所學的知識，觀察圖中陰影部分構成的圖案，寫出三個圖案都具有的兩個共同特征：___________，___________．

（2）動手操作：請在圖④中設計一個新的圖案，使其滿足你在（1）中發(fā)現的共同特征．

核心考點4.最短路徑問題例14：（2025·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．變式1.（2025·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉得到．連接，，，則周長的最小值是．

變式2.（2025·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知，等邊中，，將沿翻折，得到，連接，交于O點，E點在上，且，F是的中點，P是上的一個動點，則的最大值為．例15：（2025·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）在某次數學探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F分別為，，的中點，G，H分別為，的中點），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為，最大值為．

變式1.（2025·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在中，，點是斜邊的中點，把繞點順時針旋轉，得，點，點旋轉后的對應點分別是點，點，連接，，在旋轉的過程中，面積的最大值是．例16：（2025·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正方形邊的中點，是正方形內一點，連接，線段以為中心逆時針旋轉得到線段，連接．若，，則的最小值為．

變式1．（2025·廣東清遠·統(tǒng)考三模）如圖，在，，E為邊上的任意一點，把沿折疊，得到，連接．若，，則的最小值為．變式2．（2025·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）在數學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活動．(1)操作判斷：小紅將兩個完全相同的矩形紙片和拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：的形狀為________．(2)深入探究：小紅在保持矩形不動的條件下，將矩形繞點旋轉，若，．探究一：當點恰好落在的延長線上時，設與相交于點，如圖②．求的面積．探究二：連接，取的中點，連接，如圖③．求線段長度的最大值和最小值．

例17：（2025·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形的某個頂點）當的三個內角均小于時，如圖1，將繞，點C順時針旋轉得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有③；已知當有一個內角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在中，三個內角均小于，且，已知點P為的“費馬點”，求的值；

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知．現欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元．（結果用含a的式子表示）變式1．（2025·廣東深圳·二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對角線BD（不含B點）上任意一點，，（點N在AB的左側），當AM+BM+CM的最小值為時，正方形的邊長為______．變式2．（2025.河南四模）閱讀材料：平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數學家、被譽為業(yè)余數學家之王的皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題．1643年，在一封寫給意大利數學家和物理學家托里拆利的私人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最短的點P的位置．托里拆利成功地解決了費馬的問題．后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點A，B，C距離之和最小的點稱為ABC的費馬-托里拆利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點．問題解決：（1）費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將BPC繞點B順時針旋轉60°得到BDE，連接PD，可得BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由可知，PA+PB+PC的最小值與線段的長度相等；（2）如圖2，在直角三角形ABC內部有一動點P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如圖3，菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=60°，平面內有一動點E，在點E運動過程中，始終有∠BEC=90°，連接AE、DE，在ADE內部是否存在一點P，使得PA+PD+PE最小，若存在，請直接寫出PA+PD+PE的最小值；若不存在，請說明理由．

考點22.圖形的變換（平移、旋轉、軸對稱）（精講）【命題趨勢】圖形的變換以考查平面幾何的三大變換的基本運用為主，年年都有考查，分值在10分左右。預計2024年各地中考還將繼續(xù)考查這些知識點，考查形式主要有選填題、作圖題、也可能綜合題結合其他考點出現。在三種變換中，平移相對較為簡單，多以選擇題形式考察，偶爾也會考察作圖題；對稱和旋轉則難度較大，通常作為選擇、填空題的壓軸題出現（考查最值問題居多），在解答題中，也會考查對稱和旋轉的作圖，以及與特殊幾何圖形結合的綜合壓軸題，此時常需要結合幾何圖形或問題類型去分類討論。【知識清單】1：圖形的平移（☆）1）平移的概念：在平面內，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運動叫做平移。平移不改變圖形的形狀和大小。2）三大要素：（1）平移的起點，（2）平移的方向，（3）平移的距離。3）性質：（1）平移前后，對應線段平行且相等、對應角相等；（2）各對應點所連接的線段平行(或在同一條直線上)且相等；（3）平移前后的圖形全等。4）作圖步驟：（1）根據題意，確定平移的方向和平移的距離；（2）找出原圖形的關鍵點；（3）按平移方向和平移距離平移各個關鍵點，得到各關鍵點的對應點；（4）按原圖形依次連接對應點，得到平移后的圖形。2：圖形的旋轉（☆☆）1）定義：在平面內，一個圖形繞一個定點沿某個方向(順時針或逆時針)轉過一個角度，這樣的圖形運動叫旋轉．這個定點叫做旋轉中心，轉過的這個角叫做旋轉角。2）三大要素：（1）旋轉中心；（2）旋轉方向；（3）旋轉角度。3）性質：（1）對應點到旋轉中心的距離相等；（2）每對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（3）旋轉前后的圖形全等。4．作圖步驟：（1）根據題意，確定旋轉中心、旋轉方向及旋轉角；（2）找出原圖形的關鍵點；（3）連接關鍵點與旋轉中心，按旋轉方向與旋轉角將它們旋轉，得到各關鍵點的對應點；（4）按原圖形依次連接對應點，得到旋轉后的圖形。5）中心對稱圖形與中心對稱中心對稱中心對稱圖形圖形定義如果一個圖形繞某點旋轉180°后與另一個圖形重合，我們就把這兩個圖形叫做成中心對稱。如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。區(qū)別中心對稱是指兩個圖形的關系。中心對稱圖形是指具有某種特性的一個圖形聯系兩者可以相互轉化，如果把中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這“一個圖形”就是中心對稱圖形；反過來，如果把一個中心對稱圖形相互對稱的兩部分看成兩個圖形，那么這“兩個圖形”中心對稱。3：圖形的軸對稱（☆☆☆）1）軸對稱與軸對稱圖形軸對稱軸對稱圖形圖形定義把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸。如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。區(qū)別（1）軸對稱是指兩個圖形折疊重合。（2）軸對稱對稱點在兩個圖形上。（3）軸對稱只有一條對稱軸。（1）軸對稱圖形是指本身折疊重合。（2）軸對稱圖形對稱點在一個圖形上。（3）軸對稱圖形至少有一條對稱軸。聯系（1)定義中都有一條直線,都要沿著這條直線折疊重合。（2)如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體,那么它就是一個軸對稱圖形；反之,如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分(即看成兩個圖形),那么這兩個圖形就關于這條直線成軸對稱。性質（1）關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。（2）兩個圖形關于某直線對稱那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。判定（1）兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形關于這條直線對稱。（2）兩個圖形關于某條直線成軸對稱,那么對稱軸是對折重合的折痕線。2）作軸對稱圖形的一般步驟：（1）作某點關于某直線的對稱點的一般步驟：①過已知點作已知直線（對稱軸）的垂線，標出垂足，并延長；②在延長線上從垂足出發(fā)截取與已知點到垂足的距離相等的線段，那么截點就是這點關于該直線的對稱點。（2）作已知圖形關于某直線的對稱圖形的一般步驟：①找.在原圖形上找特殊點（如線段的端點、線與線的交點）；②作.作各個特殊點關于已知直線的對稱點；③連.按原圖對應連接各對稱點。3）折疊的性質：折疊的實質是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等．4：最短路徑問題（☆☆☆）與圖形變換相關的最值問題有：將軍飲馬（遛馬、造橋）（軸對稱、平移）、費馬點問題（旋轉）、瓜豆原理（圓弧軌跡類）（旋轉）等。【易錯點歸納】1.對稱軸是一條直線，不是一條射線，也不是一條線段。2.旋轉中心可以是圖形外的一點，也可以是圖形上的一點，還可以是圖形內的一點。3.對應點之間的運動軌跡是一段圓弧，對應點到旋轉中心的線段就是這段圓弧所在圓的半徑?！竞诵目键c】核心考點1.圖形的平移

典例1：（2025·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）下列圖形中，能由圖形通過平移得到的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據平移的定義：在平面內，把一個圖形整體沿某一方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，結合各選項所給的圖形即可作出判斷．【詳解】解：觀察圖形可知，B中圖形能由圖形通過平移得到，A，C，D均不能由圖形通過平移得到；故選B．【點睛】本題考查平移．熟練掌握平移的性質，是解題的關鍵．變式1．（2025·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在直角坐標系中，把點先向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到點．若點的橫坐標和縱坐標相等，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先根據平移方式確定點B的坐標，再根據點的橫坐標和縱坐標相等列方程，解方程即可．【詳解】解：點先向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到點，，即，點的橫坐標和縱坐標相等，，，故選C．【點睛】本題考查平面直角坐標系內點的平移，一元一次方程的應用等，解題的關鍵是掌握平面直角坐標系內點平移時坐標的變化規(guī)律：橫坐標右加左減，縱坐標上加下減．變式2.（2025·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，兩個燈籠的位置的坐標分別是，將點向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點，則關于點的位置描述正確是（

）

A．關于軸對稱B．關于軸對稱C．關于原點對稱D．關于直線對稱【答案】B【分析】先根據平移方式求出，再根據關于y軸對稱的點橫坐標互為相反數，縱坐標相同進行求解即可．【詳解】解：∵將向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點，∴，∵，∴點關于y軸對稱，故選B．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化—平移和軸對稱，正確根據平移方式求出是解題的關鍵．變式3．（2025·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，菱形的頂點A的坐標為，．將菱形沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形，其中點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過作軸于，求解，，可得，求解，，可得，再利用平移的性質可得．【詳解】解：如圖，過作軸于，

∵菱形的頂點A的坐標為，．∴，，∴，∴，，∴，∵將菱形沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，∴；故選A【點睛】本題考查的是菱形的性質，勾股定理的應用，銳角三角函數的應用，圖形的平移，熟練的求解B的坐標是解本題的關鍵．例2：（2025·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，，，將線段水平向右平移a個單位長度得到線段，若四邊形為菱形時，則a的值為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先據平行四邊形的性質得到，后據菱形的性質得到，然后求解即可．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形為菱形，∴，∵，∴，∴．故選：B．【點睛】此題考查平行四邊形和菱形的性質，平移的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．變式1．（2025·內蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，用平移方法說明平行四邊形的面積公式時，若平移到，，，則的平移距離為（

）

A．3 B．4 C．5 D．12【答案】B【分析】根據平移的方向可得，平移到，則點與點重合，故的平移距離為的長．【詳解】解：用平移方法說明平行四邊形的面積公式時，將平移到，故平移后點與點重合，則的平移距離為，故選：B．【點睛】本題考查了平移的性質，熟練掌握平移的性質是解題的關鍵．變式2．（2025·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，將沿向右平移得到，若，，則的長是（

）

A．2 B． C．3 D．5【答案】A【分析】利用平移的性質得到，即可得到的長．【詳解】解：∵沿方向平移至處．∴，故選：A．【點睛】本題考查了平移的性質：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行（或共線）且相等．例3：（2025·河南信陽·九年級統(tǒng)考期中）在正方形網格中建立平面直角坐標系，使得A，B兩點的坐標分別為，，過點B作軸于點C．

(1)按照要求畫出平面直角坐標系，線段，寫出點C的坐標；(2)直接寫出以A，B，C為頂點的三角形的面積；(3)若線段是由線段平移得到的，點A的對應點是C，畫出線段，寫出一種由線段得到線段的過程．【答案】(1)圖見解析，(2)(3)圖見解析，線段向左平移3個單位，再向下平移2個單位得到線段【分析】本題考查平面直角坐標系畫圖，點坐標表示，三角形面積公式，平移定義．（1）根據題意利用平面直角坐標系定義畫出圖形，并利用坐標表示出點C坐標即可；（2）利用網格求出三角形面積（3）先參考其中一個點A，觀察到對應點C是經過怎樣平移即可得到本題答案．【詳解】（1）解：

，∴點C的坐標，故答案為：；∴

，（2）解：∵，以為底邊的三角形的高為，∴以A，B，C為頂點的三角形的面積：；（3）解：線段是由線段平移得到的，點A的對應點是C，∵點A到點C：橫坐標減3，縱坐標減2，∴點坐標為：，∴線段向左平移3個單位，再向下平移2個單位得到線段．變式1.（2025·四川瀘州·九年級校聯考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，．將先向下平移4個單位，再向左平移6個單位得到．(1)請在圖中畫出；寫出三個頂點的坐標；(2)求的面積．(3)若中有一點，請直接寫出平移后的坐標【答案】(1)作圖見解析，，，(2)(3)【分析】本題考查圖形在平面直角坐標系內的平移及坐標的變化．（1）根據平移規(guī)律即可得到，進而可得到各點坐標；（2）用四邊形面積減去個三角形的面積，即可得到的面積；（3）根據坐標系中平移點的坐標變化規(guī)律：左右平移時橫坐標“左減右加”，上下平移時縱坐標“上加下減”．即可解答．【詳解】（1）如圖，為所求．各頂點坐標為：，，；（2）；（3）∵點向下平移4個單位，再向左平移6個單位，∴點．變式2．（2025·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系v中，點，，所在圓的圓心為O．將向右平移5個單位，得到（點A平移后的對應點為C）．

(1)點D的坐標是___________，所在圓的圓心坐標是___________；(2)在圖中畫出，并連接，；(3)求由，，，首尾依次相接所圍成的封閉圖形的周長．（結果保留）【答案】(1)，(2)見解析(3)【分析】（1）根據平移的性質，即可解答；（2）以點為圓心，2為半徑畫弧，即可得出；（3）根據弧長公式求出，根據平移的性質得出，根據勾股定理求出，最后相加即可．【詳解】（1）解：∵，所在圓的圓心為，∴，所在圓的圓心坐標是，故答案為：，；（2）解：如圖所示：即為所求；

（3）解：連接，∵，，∴的半徑為2，∴，∵將向右平移5個單位，得到，∴，∴，∴由，，，首尾依次相接所圍成的封閉圖形的周長．【點睛】本題主要考查了平移的性質，求弧長，勾股定理，解題的關鍵是掌握平移前后對應點連線相等，弧長公式，以及勾股定理的內容．核心考點2.圖形的旋轉例4：（2025·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，將逆時針旋轉得到，交于F．當時，點D恰好落在上，此時等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據旋轉可得，再結合旋轉角即可求解．【詳解】解：由旋轉性質可得：，，∵，∴，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了幾何—旋轉問題，掌握旋轉的性質是關鍵．變式1．（2025·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E是正方形內的一點，將繞點B按順時針方向旋轉得到．若，則度．

【答案】80【分析】先求得和的度數，再利用三角形外角的性質求解即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵繞點B按順時針方向旋轉得到∴，，∴，∴，故答案為：80．【點睛】本題考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，旋轉圖形的性質和三角形外角的性質，利用旋轉圖形的性質求解是解題的關鍵．變式2．（2025·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞著點A旋轉，旋轉后的點B落在上，點B的對應點為D，連接是的角平分線，則．

【答案】【分析】如圖，，，根據角平分線的定義可得，根據三角形的外角性質可得，即得，然后根據三角形的內角和定理求解即可．【詳解】解：如圖，根據題意可得：，，∵是的角平分線，∴，∵，，∴，則在中，∵，∴，解得：；故答案為：

【點睛】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質、三角形的外角性質以及三角形的內角和等知識，熟練掌握相關圖形的性質是解題的關鍵．變式3．（2025·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉角（）得到，連接，．當為直角三角形時，旋轉角的度數為．

【答案】或或【分析】連接，根據已知條件可得，進而分類討論即可求解．【詳解】解：連接，取的中點，連接，如圖所示，

∵在中，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴∴，∴∴，如圖所示，當點在上時，此時，則旋轉角的度數為，

當點在的延長線上時，如圖所示，則當在的延長線上時，則旋轉角的度數為，如圖所示，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形是矩形，∴即是直角三角形，綜上所述，旋轉角的度數為或或故答案為：或或．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，矩形的性質與判定，旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．例5：（2025·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點A，B在x軸上，，，，將菱形繞點A旋轉后，得到菱形，則點的坐標是．

【答案】或【分析】分兩種情況：當繞點A順時針旋轉后，當繞點A逆時針旋轉后，利用菱形的性質及直角三角形30度角的性質求解即可．【詳解】解：當繞點A順時針旋轉后，如圖，∵，∴，

∵菱形中，，∴，延長交x軸于點E，∴，，∴，∴，∴；當繞點A逆時針旋轉后，如圖，延長交x軸于點F，∵，，∴，∵菱形中，，∴，∴，，∴，∴，∴；故答案為：或．【點睛】此題考查了菱形的性質，直角三角形30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，旋轉的性質，正確理解菱形的性質及旋轉的性質是解題的關鍵．變式1．（2025·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）在直角坐標系中，點繞原點逆時針方向旋轉，得到的點的坐標是．【答案】【分析】把點繞原點旋轉的問題轉化為直角三角形旋轉的問題，畫出圖形可解決問題．【詳解】解：過A點作軸，過B點作軸，

∵點A的坐標為，∴，∵，∴，∵，∴，∵，在和中，，∴，∴,∴點B的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，解題的關鍵是正確作出圖形解決問題．變式2．（2025·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為，將繞著點B順時針旋轉，得到，則點C的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作，由題意可得：，，再利用含30度直角三角形的性質，求解即可．【詳解】解：過點作，如下圖：

則由題意可得：，，∴，∴，∴，，∴點的坐標為，故選：B【點睛】此題考查了旋轉的性質，坐標與圖形，含30度直角三角形的性質，以及勾股定理，解題的關鍵是作輔助線，構造出直角三角形，熟練掌握相關基礎性質．例6：（2025·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）菱形的邊長為2，，將該菱形繞頂點A在平面內旋轉，則旋轉后的圖形與原圖形重疊部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分兩種情況：①如圖，將該菱形繞頂點A在平面內順時針旋轉，連接，相交于點O，與交于點E，根據菱形的性質推出的長，再根據菱形的性質推出與的長，再根據重疊部分的面積求解即可．②將該菱形繞頂點A在平面內逆時針旋轉，同①方法可得重疊部分的面積．【詳解】解：①如圖，將該菱形繞頂點A在平面內順時針旋轉30°，連接，相交于點O，與交于點E，

∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，，∴，∵菱形繞點A順時針旋轉得到菱形，∴，∴A，，C三點共線，∴，又∵，∴，，∵重疊部分的面積，∴重疊部分的面積；②將該菱形繞頂點A在平面內逆時針旋轉，同①方法可得重疊部分的面積，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉的性質，菱形的性質，正確作出圖形是解題的關鍵．變式1．（2025·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點在上，且．連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，．則的面積是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】證明，得到，推出為直角三角形，利用的面積等于，進行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴的面積等于；故選B．【點睛】本題考查旋轉的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質．熟練掌握旋轉的性質，得到三角形全等是解題的關鍵．本題蘊含手拉手全等模型，平時要多歸納，多總結，便于快速解題．變式2．（2025·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段，點是線段上的動點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，在的上方作，使，點為的中點，連接，當最小時，的面積為．

【答案】【分析】連接，交于點P，由直角三角形的性質及等腰三角形的性質可得垂直平分，為定角，可得點F在射線上運動，當時，最小，由含30度角直角三角形的性質即可求解．【詳解】解：連接，交于點P，如圖，∵，點為的中點，∴，∵，∴,∴是等邊三角形，∴；∵線段繞點順時針旋轉得到線段，∴，∵，∴垂直平分，，∴點F在射線上運動，∴當時，最小，此時，∴；∵，∴，∴，∵，∴由勾股定理得，∴，∴；故答案為：．

【點睛】本題考查了等腰三角形性質，含30度直角三角形的性質，斜邊中線性質，勾股定理，線段垂直平分線的判定，勾股定理，旋轉的性質，確定點F的運動路徑是關鍵與難點．例8：（2024·陜西西安·陜西師大附中?？级＃?025年10月8日晚，伴隨圣火緩緩熄滅，杭州第19屆亞運會圓滿閉幕，亞運是體育盛會，也是文化旅游的盛會．下列與杭州亞運會有關的圖案中，屬于中心對稱圖形的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查了中心對稱圖形的定義，正確理解中心對稱圖形的定義是解答本題的關鍵，“把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形”，根據中心對稱圖形的定義即可得到結果．【詳解】選項A，圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；選項B，圖形是中心對稱圖形，符合題意；選項C，圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；選項D，圖形不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：B．變式1．（2025·湖南永州·校考二模）2025年11月29日23時08分，由航天科技集團五院抓總研制的神舟十五號載人飛船，由長征二號F運載火箭穩(wěn)穩(wěn)托舉，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心一飛沖天，將費俊龍、鄧清明、張陸3名航天員送入太空，展現了中國航天科技的強大．下列航天圖標，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：選項A、B、D中的圖形都不是中心對稱圖形，選項C中的圖形是中心對稱圖形，故選：C．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．變式2．（2025·天津河西·?？既＃ǘ噙x題）在以下四個標志中，是中心對稱圖形的是（

）A． B．

C．

D．

【答案】CD【分析】根據中心對稱圖形的定義進行判斷作答即可．【詳解】解：由中心對稱圖形的定義可知，C、D中的標志，是中心對稱圖形，符合要求；故選：CD．【點睛】本題考查了中心對稱圖形．解題的關鍵在于熟練掌握：在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．例8：（2025·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，已知點A與點C關于點O對稱，點B與點D也關于點O對稱，若，．則AB的長可能是（

）A．3 B．4 C．7 D．11【答案】C【分析】根據三角形三邊關系定理，可知即可求解．【詳解】解：∵點與點關于點對稱，點與點也關于點對稱，∴，又∵∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△BOC（SAS）∴AD=BC=3∵∴．故選：C．【點睛】本題考查了三角形三邊關系定理：任意兩邊之和大于第三邊，及對稱的性質，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是將求AB的值轉化為求三角形第三邊的取值范圍．變式1．（2025·浙江杭州·二模）如圖，拋物線（a＞0）與x軸交于A，B，頂點為點D，把拋物線在x軸下方部分關于點B作中心對稱，頂點對應D′，點A對應點C，連接DD′，CD′，DC，當△CDD′是直角三角形時，a的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】先求出點A（-3，0），點B（1，0），由點B為中心對稱，求出點C（5，0），把拋物線配方為頂點式可得D（－1，－4a），點D與點D′關于點B對稱，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分兩種情況，當∠CD′D=90°，∠DCD′=90°時利用勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：∵拋物線（a＞0）與x軸交于A，B，∴∵a＞0，，解得，∴點A（-3，0），點B（1，0），∵點B為中心對稱，∴點C的橫坐標為：1+（1+3）=5，∴點C（5，0），∴拋物線，∴D（－1，－4a），點D與點D′關于點B對稱，點D′的橫坐標為1+（1+1）=3，縱坐標為4a，∴D′（3，4a），DD′=，CD=，CD′=，∵△CDD′是直角三角形，當∠CD′D=90°，根據勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即，解得，∵a＞0，∴；當∠DCD′=90°，根據勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即，解得，∴，∴綜合得a的值為或．答案：A．【點睛】本題考查待定系數法求拋物線解析式，分類思想的應用，勾股定理，中心對稱性質，掌握待定系數法求拋物線解析式，分類思想的應用，勾股定理，中心對稱性質是解題關鍵．變式2.（2025·山東濟寧·?？家荒＃┤鐖D，平面直角坐標系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關于點B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關于點B2成中心對稱，如此作下去，則△B2n﹣1A2nB2n（n是正整數）的頂點A2n的坐標是（）A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，）【答案】A【分析】首先根據等邊三角形的性質得出點A1，B1的坐標，再根據中心對稱性得出點A2，點A3，點A4的坐標，然后橫縱坐標的變化規(guī)律，進而得出答案．【詳解】∵△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，∴A1的坐標為，B1的坐標為（2，0），∵△B2A2B1與△OA1B1關于點B1成中心對稱，∴點A2與點A1關于點B1成中心對稱，∵2×2﹣1＝3，縱坐標是-，∴點A2的坐標是，∵△B2A3B3與△B2A2B1關于點B2成中心對稱，∴點A3與點A2關于點B2成中心對稱，∵2×4﹣3＝5，縱坐標是，∴點A3的坐標是，∵△B3A4B4與△B3A3B2關于點B3成中心對稱，∴點A4與點A3關于點B3成中心對稱，∵2×6﹣5＝7，縱坐標是-，∴點A4的坐標是，…，∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，∴An的橫坐標是2n﹣1，A2n的橫坐標是2×2n﹣1＝4n﹣1，∵當n為奇數時，An的縱坐標是，當n為偶數時，An的縱坐標是﹣，∴頂點A2n的縱坐標是﹣，∴頂點A2n的坐標是．故選：A．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，中心對稱的性質，數字變化規(guī)律等，根據中心對稱性求出點的坐標是解題的關鍵．例9：（2025·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，在方格紙中按要求畫圖，并完成填空．(1)畫出線段繞點O順時針旋轉后得到的線段，連接；(2)畫出與關于直線對稱的圖形，點A的對稱點是C；(3)填空：的度數為_________．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)【分析】（1）根據題目敘述畫出圖形即可；（2）根據題目敘述畫出圖形即可；（3）由（1）作圖可得是等腰直角三角形，且，由對稱的性質可得．【詳解】（1）在方格紙中畫出線段繞點O順時針旋轉后得到的線段，連接,如圖；（2）畫出與關于直線對稱的圖形，點A的對稱點是C；如上圖所示：（3）由（1）作圖可得是等腰直角三角形，且，再根據對稱的性質可得．故答案為：．【點睛】此題考查了旋轉作圖及作軸對稱圖形，解答本題的關鍵是仔細審題，得出旋轉三要素，進而得出旋轉后的圖形．變式1．（2025·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預測）在正方形網格中建立如圖所示的平面直角坐標系的三個頂點都在格點上，A的坐標是，請回答下列問題：(1)將向下平移六個單位長度，畫出平移后的；(2)畫出關于原點O對稱的；(3)判斷與是否關于某點成中心對稱；若是，請畫出對稱中心M，并寫出點M的坐標．

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)是，圖見解析，【分析】（1）利用平移的性質，畫出即可；（2）根據成中心對稱的特征，畫出即可；（3）根據成中心對稱的特征，進行判斷，并畫圖即可得解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）如圖所示，即為所求；（3）與關于點M成中心對稱，如圖所示，點即為所求．由圖可知：．

【點睛】本題考查坐標與圖形變換．熟練掌握平移的性質和成中心對稱的性質，是解題的關鍵．變式2．（2025·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，已知A，B，C是平面直角坐標系上的三個點．(1)請畫出關于原點O對稱的；(2)將向右平移8個單位得到，請畫出；(3)與是否也關于某個點成中心對稱？如果是，請寫出它們對稱中心的坐標，如果不是，請說明理由．

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)與關于點對稱，理由見解析【分析】（1）根據關于原點對稱的點橫縱坐標都互為相反數找到A、B、C對應點，然后順次連接即可；（2）先根據平移方式找到的對應點，然后順次連接即可；（3）求出的中點是同一點，即，則與關于點對稱．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，即為所求；

（3）解：與關于點對稱，理由如下：由題意得，，，，，，，∴的中點坐標分別為，，，即的中點是同一點，∴與關于點對稱．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化——平移和中心對稱，畫平移圖形，畫中心對稱圖形，找對稱中心等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．核心考點3.圖形的軸對稱例10：（2025·江蘇·統(tǒng)考中考真題）剪紙是中國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化．下列剪紙圖案中，是軸對稱圖形的是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據軸對稱圖形的概念逐項分析判斷即可，軸對稱圖形的概念：平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【詳解】解：選項A、C、D均不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對稱圖形；選項B能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對稱圖形；故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．變式1．（2025·山西·統(tǒng)考中考真題）全民閱讀有助于提升一個國家、一個民族的精神力量．圖書館是開展全民閱讀的重要場所．以下是我省四個地市的圖書館標志，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠重合，則稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；根據這個概念判斷即可．【詳解】解：根據軸對稱圖形的概念知，C選項中文字上方的圖案是軸對稱圖形，故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱圖形，理解此概念是關鍵．變式2.（2025·廣東潮州·統(tǒng)考三模）我國楊秉烈先生在上世紀八十年代發(fā)明了繁花曲線規(guī)畫圖工具，利用該工具可以畫出許多漂亮的繁花曲線，繁花曲線的圖案在服裝、餐具等領域都有廣泛運用．下面四種繁花曲線中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了利用軸對稱設計圖案，軸對稱圖形的定義，熟練掌握若一個圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關鍵；根據軸對稱圖形的定義，逐項判斷即可求解；【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：C．例11：（2025·浙江溫州·統(tǒng)考一模）某電梯中一面鏡子正對樓層顯示屏，顯示屏中顯示的是電梯所在樓層號和電梯運行方向．當電梯中鏡子如圖顯示時，電梯所在樓層號為．【答案】15【分析】根據鏡面成像的原理：左右相反，即可得到答案．【詳解】解：由鏡面成像的原理可知電梯所在的樓層為15，故答案為：15．【點睛】本題主要考查了鏡面成像，熟知鏡面成像的原理是解題的關鍵．變式1．（2025上·山東德州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，桌球的桌面上有，兩個球，若要將球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中球，則，，，，4個點中，可以反彈擊中球的是點．【答案】D【分析】本題考查了軸對稱的性質，解題關鍵是根據軸對稱的性質找到使入射角等于反射角相等的點．【詳解】解：如圖，根據軸對稱的性質可知，可以反彈擊中球的是D點，故選：D．變式2．（2025·福建三明·九年級統(tǒng)考期中）如圖，彈性小球從點出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到長方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角.當小球第1次碰到矩形的邊時的點為，第2次碰到矩形的邊時的點為，…，第次碰到矩形的邊時的點為.則點的坐標是.

【答案】【分析】根據反射角與入射角的定義作出圖形，可知每次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用除以，根據商和余數的情況確定所對應的點的坐標即可．【詳解】解：如圖，根據反射角與入射角的定義作出圖形，

根據圖形可以得到：每次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，經過次反彈后動點回到出發(fā)點，，，當點第次碰到矩形的邊時為第個循環(huán)組的第次反彈，點的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質、點的坐標的規(guī)律；作出圖形，觀察出每次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵．例12：（2025·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）如圖，是的直徑，C，D是上的兩個點，將沿弦折疊，圓弧恰好與弦，分別相切于點E，B．若，則弦的長是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設所在的圓的圓心為Q，連接、、，由切線的性質得，，而是的直徑，證明四邊形是正方形，因為與關于直線對稱，所以，垂直平分，則，，延長、交于點F，作交的延長線于點G，連接，可得，得，由，，得，則，所以，，于是得到問題的答案．【詳解】解：設所在的圓的圓心為Q，連接、、，

∵恰好與弦，分別相切于點E，B，∴，，∵是的直徑，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，由折疊得與關于直線對稱，∴，垂直平分，∴，，∴，∴，延長、交于點F，作交的延長線于點G，連接，∵，∴，∵為直徑可得，∴垂直平分，∵，，，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】此題重點考查軸對稱的性質、圓周角定理、切線的性質定理、勾股定理、銳角三角函數與解直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．變式1．（2025·安徽·校聯考模擬預測）如圖，在等腰中，，，為邊上一動點，將沿折疊得到，，連接．（1）；（2）．【答案】/度/【分析】本題主要考查等腰三角形的判定和性質，折疊的性質，勾股定理的運用，掌握折疊的性質，等腰直角三角形的判定方法和性質是解題的關鍵．（1）根據等腰三角形的性質，折疊的性質可得是等腰三角形，，再根據三角形的內角和定理即可求解；（2）根據（1）的證明可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，設，運用勾股定理可得的長度，由此即可求解．【詳解】解：（1）∵等腰中，，，∴，∵將沿折疊得到，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，∴，∴，∴在中，，故答案為：；（2）∵，∴，即是等腰直角三角形，∴，∵，∴，即是等腰直角三角形，設，在中，，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．變式2．（2025·浙江杭州·校聯考二模）如圖菱形的邊長為4，，將菱形沿折疊，頂點C恰好落在邊的中點G處，則．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質、翻折變換的性質、勾股定理等知識，根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程是解題的關鍵．過點作于點，由菱形的性質和已知條件得出，再設，則，在中，依據勾股定理得到方程，求得的值即可得到的長．【詳解】解：如圖所示，過作，交的延長線于點，∴，設，則，∵是的中點，∴，在中，，解得，故答案為：1.2．例13：（2025·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A、B、C都是格點．(1)畫出關于直線對稱的；(2)直接寫出______．四邊形的面積為______．

【答案】(1)見詳解；(2)：90，21【分析】（1）據軸對稱的性質分別作出的對應點即可；（2）利用網格特點解決問題即可；【詳解】（1）如圖所示即為所求；

（2）由圖可得，，故答案為：90，21【點睛】本題考查作圖-軸對稱變換，解題的關鍵是掌握軸對稱變換，正確作出圖形，屬于中考?？碱}型變式1．（2025·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習）如圖，在的正方形網格中，網格中有一個格點（即三角形的頂點都在格點上）．

(1)在圖中作出關于直線l對稱的（要求A與，B與，C與相對應）(2)在直線l上找一點P，使得的周長最小【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）分別作出點A、B、C關于直線l對稱的點，然后順次連接；（2）連接與l的交點即為點P，此時的周長最?。驹斀狻浚?）解：所作圖形如圖所示；

；（2）解：點P即為所求的點．由軸對稱知，又的長為定值，∴的周長為，∴當共線時，的周長最小．【點睛】本題考查了根據軸對稱變換作圖，解答本題的關鍵是根據網格結構作出點A、B、C關于直線l對稱的點，然后順次連接．變式2．（2025·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）（1）觀察分析：在一次數學綜合實踐活動中，老師向同學們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請你結合自己所學的知識，觀察圖中陰影部分構成的圖案，寫出三個圖案都具有的兩個共同特征：___________，___________．

（2）動手操作：請在圖④中設計一個新的圖案，使其滿足你在（1）中發(fā)現的共同特征．

【答案】（1）觀察發(fā)現四個圖形都是軸對稱圖形，且面積相等；（2）見解析【分析】（1）應從對稱方面，陰影部分的面積等方面入手思考；（2）應畫出既是軸對稱圖形，且面積為4的圖形．【詳解】解：（1）觀察發(fā)現四個圖形都是軸對稱圖形，且面積相等；故答案為：觀察發(fā)現四個圖形都是軸對稱圖形，且面積相等；（2）如圖：

【點睛】此題主要考查了利用軸對稱圖形設計圖案，關鍵是掌握利用軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案．核心考點4.最短路徑問題例14：（2025·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根據直線三角形斜邊中線的性質可得，，通過證明四邊形是平行四邊形，可得，則，作點C關于直線的對稱點M，則，點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為．【詳解】解：四邊形是矩形，，，點M，N分別是的中點，，，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，，如圖，作點C關于直線的對稱點M，連接，，則，

當點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為，在中，，，，的最小值，故選C．【點睛】本題考查矩形的性質，直線三角形斜邊中線的性質，中位線的性質，平行四邊形的判定與性質，軸對稱的性質，勾股定理，線段的最值問題等，解題關鍵是牢固掌握上述知識點，熟練運用等量代換思想．變式1.（2025·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉得到．連接，，，則周長的最小值是．

【答案】/【分析】根據題意，證明，進而得出點在射線上運動，作點關于的對稱點，連接，設交于點，則，則當三點共線時，取得最小值，即，進而求得，即可求解．【詳解】解：∵為高上的動點．∴∵將繞點順時針旋轉得到．是邊長為的等邊三角形，∴∴∴，∴點在射線上運動，如圖所示，

作點關于的對稱點，連接，設交于點，則在中，，則，則當三點共線時，取得最小值，即∵，，∴∴在中，,∴周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質與判定以及軸對稱的性質是解題的關鍵．變式2.（2025·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知，等邊中，，將沿翻折，得到，連接，交于O點，E點在上，且，F是的中點，P是上的一個動點，則的最大值為．【答案】【分析】由折疊可證四邊形為菱形，是邊上的中線，如圖，連接，交于，是邊上的中線，的角平分線，則，，，由，可得，則，，，可知當點P運動到點A時，最大，最大為，勾股定理求，則，計算求解即可．【詳解】解：為等邊三角形，，，將沿翻折，得到，，四邊形為菱形，∴，，，∴是邊上的中線，如圖，連接，交于，∵F是的中點，∴是邊上的中線，的角平分線，∴，，，∵，∴，∵，∴，，∴，∴當點P運動到點A時，最大，最大為，∵，∴，由勾股定理得，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查三角形中線的性質，等邊三角形的性質，折疊的性質，菱形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，含的直角三角形等知識．根據題意確定最大值的情況是解題關鍵．例15：（2025·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）在某次數學探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F分別為，，的中點，G，H分別為，的中點），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為，最大值為．

【答案】8【分析】根據題意，可固定四邊形，平移或旋轉其它圖形，組合成四邊形，求出周長，判斷最小值，最大值．【詳解】

如圖1，，，，∴四邊形周長=；

如圖2，∴四邊形周長為；故答案為：最小值為8，最大值.【點睛】本題考查圖形變換及勾股定理，通過平移、旋轉組成滿足要求的四邊形是解題的關鍵．變式1.（2025·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在中，，點是斜邊的中點，把繞點順時針旋轉，得，點，點旋轉后的對應點分別是點，點，連接，，在旋轉的過程中，面積的最大值是．【答案】/【分析】過點A作交的延長線于點G，求出，然后由旋轉的性質可知點F在以A為圓心的長為半徑的圓上運動，則可得如圖中G、A、F三點共線時點F到直線的距離最大，求出距離的最大值，然后計算即可．【詳解】解：如圖，在中，，，點是斜邊的中點，∴，，，∴，過點A作交的延長線于點G，∴，又∵在旋轉的過程中，點F在以A為圓心的長為半徑的圓上運動，，∴點F到直線的距離的最大值為，（如圖，G、A、F三點共線時）∴面積的最大值，故答案為：．

【點睛】本題考查了含直角三角形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，旋轉的性質，圓的基本性質等知識，根據旋轉的性質求出點F到直線距離的最大值是解答本題的關鍵．例16：（2025·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正方形邊的中點，是正方形內一點，連接，線段以為中心逆時針旋轉得到線段，連接．若，，則的最小值為．

【答案】【分析】連接，將以中心，逆時針旋轉，點的對應點為，由的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，可得：的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，再根據“圓外一定點到圓上任一點的距離，在圓心、定點、動點，三點共線時定點與動點之間的距離最短”，所以當、、三點共線時，的值最小，可求，從而可求解．【詳解】解，如圖，連接，將以中心，逆時針旋轉，點的對應點為，

的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，如圖，當、、三點共線時，的值最小，四邊形是正方形，，，是的中點，，，由旋轉得：，，，的值最小為．故答案：．【點睛】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，勾股定理，動點產生的線段最小值問題，掌握相關的性質，根據題意找出動點的運動軌跡是解題的關鍵．變式1．（2025·廣東清遠·統(tǒng)考三模）如圖，在，，E為邊上的任意一點，把沿折疊，得到，連接．若，，則的最小值為．【答案】4【分析】本題考查翻折變換，最短路線問題，勾股定理，先確定點的運動路線，并確定最小時點所在位置，再求出的長度即可．確定點的運動路線是解題的關鍵．【詳解】解：∵沿折疊，得到，∴，∴點F在以B為圓心6為半徑的圓上，設以B為圓心6為半徑的圓與交于點，則，的最小值為的長；在中，∵，，∴，∴，∴的最小值為4，故答案為：4．變式2．（2025·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）在數學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活動．(1)操作判斷：小紅將兩個完全相同的矩形紙片和拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：的形狀為________．

(2)深入探究：小紅在保持矩形不動的條件下，將矩形繞點旋轉，若，．探究一：當點恰好落在的延長線上時，設與相交于點，如圖②．求的面積．探究二：連接，取的中點，連接，如圖③．求線段長度的最大值和最小值．【答案】(1)等腰直角三角形(2)探究一：；探究二：線段長度的最大值為，最小值為【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推導出，即可判斷出是等腰直角三角形，（2）探究一：證明，可得，再由等腰三角形的性質可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面積；探究二：連接，取的中點，連接，取、的中點為、，連接，，，分別得出四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，則，可知點在以為直徑的圓上，設的中點為，，即可得出的最大值與最小值．【詳解】（1）解：兩個完全相同的矩形紙片和，，是等腰三角形，，．，，，∵，∴，∴，，，，是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（2）探究一：，，，，，，，，，，，在中，，，解得，，的面積；探究二：連接，取的中點，連接，，取、的中點為、，連接，，，

是的中點，，且，，，，，且，四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，點在以為直徑的圓上，設的中點為，，的最大值為，最小值為．【點睛】本題考查四邊形的綜合應用，熟練掌握矩形的性質，直角三角形的性質，三角形全等的判定及性質，平行四邊形的性質，圓的性質，能夠確定H點的運動軌跡是解題的關鍵．例17：（2025·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形的某個頂點）當的三個內角均小于時，如圖1，將繞，點C順時針旋轉得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當B，P，，A在同