山東省青島市昌樂二中2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)模擬監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題及答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（）....2.在四邊形中，若，則“”是“四邊形是菱形”的（）.充分不必要條件.必要不充分條件.既不充分也不必要條件.充要條件3.已知向量，.若，則（）....4.已知函數(shù)，則（）.在定義域內(nèi)是增函數(shù).是奇函數(shù).的最小正周期為.圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是5.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示，軸，軸，，，則的原圖形的面積為（）....6.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為（）....7.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四個(gè)面稱為鱉臑.已知在鱉臑中，，平面，則它的外接球半徑和內(nèi)切球半徑的比值為（）....8.如圖，誒圓錐的底面圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）.圓錐的側(cè)面積為.三棱錐的體積的最大值為.的取值范圍是.若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）.若，，，則.若，，則.若，，則.若，，則10.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列說法正確的是（）.若，，，則只有一解.若，則為鈍角三角形.若的外心為，，，則.若，則的形狀是直角三角形11.如圖，已知圓臺(tái)形水杯盛有牛奶（不計(jì)厚度），杯口的直徑為4，杯底的直徑為2，杯高為4，當(dāng)杯底水平放置時(shí)，牛奶面的高度為水杯高度的一半，若加入37顆大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充滿水杯，則（）.該水杯側(cè)面積為.該水杯里牛奶的體積為.放入的椰果半徑為.該水杯外接球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)在半徑為2的同一球面上，且，，則三棱錐體積的最大值為.13.如圖，在正方體中，，分別是棱的中點(diǎn)，則正方體被平面所截得的截面周長(zhǎng)是.14.如圖所示的是某城市的一座紀(jì)念碑，一位學(xué)生為測(cè)量該紀(jì)念碑的高度，選取與碑基在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn).現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)處測(cè)得碑頂?shù)难鼋菫?0°，則該同學(xué)通過測(cè)量計(jì)算出紀(jì)念碑高為米.（保留根號(hào)）四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知復(fù)數(shù)，，是虛數(shù)單位.（1）若是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)和的值；（2）當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的二次方程有一個(gè)實(shí)根.16.（15分）高一年級(jí)舉辦立體幾何模型制作大賽，某同學(xué)想制作一個(gè)頂部是正四棱錐、底面是正四棱柱的模型，并畫出了如圖所示的直觀圖.其中正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.（1）若，；（ⅰ）求該模型的體積；（ⅱ）求頂部正四棱錐的側(cè)面積；（2）若頂部正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6，當(dāng)為多少時(shí)，底部正四棱柱的側(cè)面積最大？并求出的最大值.17.（15分）已知函數(shù)，將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，若，，求面積的最大值.18.（17分）銳角的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足.（1）求角的大小及角的取值范圍；（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍；（3）若的外接圓的圓心為，且，求的取值范圍.19.（17分）任意一個(gè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式都可寫成三角形式，即，其中為虛數(shù)單位，，，，.棣莫弗定理由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗成立，指的是設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)用三角函數(shù)形式表示為：，，則，，且.若令，則能導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：.請(qǐng)用以上知識(shí)解決以下問題：（1）試將寫成三角形式；（2）已知，，，求的值；（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值.答案解析一、選擇題1.B解析：已知，則.2.D解析：在四邊形中，由，可得四邊形為平行四邊形，若，則平行四邊形對(duì)角線垂直，∴?為菱形，反之也成立，故“”是“四邊形是菱形”的充要條件.3.B解析：∵，∴，得，∴.4.D解析：對(duì)于A，∵，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵在處有定義，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的最小正周期為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故D正確.5.B解析：∵軸，∴直觀圖的面積為，原圖形面積為直觀圖面積的倍，∴原圖面積為.6.B解析：∵誒偶函數(shù)，∴，將函數(shù)化簡(jiǎn)：，由偶函數(shù)性質(zhì)：，即，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得：，，解得，結(jié)合，∴.7.A解析：根據(jù)已知條件可以將三棱錐放在正方體中，如圖，∴三棱錐的外接球即為正方體的外接球，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑為，則，解得，∴，∵，∴，∴三棱錐的表面積為：，又∵，∴，則它的外接球半徑和內(nèi)切球半徑的比值為.8.D解析：在中，，則圓錐的母線長(zhǎng)，半徑.對(duì)于A，圓錐的側(cè)面積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，則三棱錐體積的最大值為,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，，又，則，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小值，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，達(dá)到最大值，又與不重合，則，又，得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，，得,又，則為等邊三角形，則，將以i軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，則為等邊三角形，，如圖如，由，，得，∴，故D正確.二、選擇題9.AD解析：對(duì)于A，若，，，則，故A正確；對(duì)于B，若，，則或相交或是異面直線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，則內(nèi)存在直線，于是，，故D正確.10.AB解析：對(duì)于A，∵，∴只有一解，故A正確；對(duì)于B，∵，∴，又，∴，則為鈍角三角形，故B正確；對(duì)于C，的外心為，∴為垂直平分線的交點(diǎn)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正弦定理得，，即，∴，即或，即，∴德行形狀是直角三角形或等腰三角形，故D錯(cuò)誤.11.BCD解析：由題意知圓臺(tái)的上底面圓半徑，下底面圓半徑，圓臺(tái)高，設(shè)圓臺(tái)的母線為，則，故圓臺(tái)的側(cè)面積為，故A錯(cuò)誤；牛奶棉所在的圓的半徑為，故水杯中牛奶的體積為，故B正確；水杯的體積為，故37個(gè)小球的體積為，設(shè)小球的半徑為，進(jìn)而，解得，故C正確；設(shè)水杯的外接球的球心到上底面的距離為，則，解得，故外接球的半徑為，∴其表面積為，故D正確.三、填空題12.解析：如圖所示，設(shè)的外接圓圓心為，三棱錐的外接球球心為，由，，則，即，且，∴外接圓半徑為，則，∴當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)三棱錐的高為，即三棱錐體積.13.解析：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，由是的中點(diǎn)，得，，則四邊形為平行四邊形，，，由是的中點(diǎn)，得，，梯形是正方體被平面所截得的截面，，，，∴所求截面的周長(zhǎng)是.14.解析：∵，，，在中，，由正弦定理得，即，截得，在中，，即紀(jì)念碑高為米.四、解答題15.解：（1）若是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，則也是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理得，，解得.（2）由有，∴，∴，解得，∴，當(dāng)時(shí)，原方程有一個(gè)實(shí)根為.16.解：（1）（ⅰ）由，得，又，因此正四棱錐的體積，正四棱柱的體積，∴模型的體積.（ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，由，得，∴正四棱錐的側(cè)面積.（2）設(shè)，正四棱柱的側(cè)面積為，則，，，于是，而，∴當(dāng)，即時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，下部分正四棱柱的側(cè)面積最大，最大面積是.17.解：（1），將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，則當(dāng)，單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），∵，∴，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，故面積的最大值為.18.解：（1）∵，由正弦定理可得，∴，故，∵為銳角，∴，∵為銳角三角形，則，解得，∴角的取值范圍是.