專題04函數(shù)的基本性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)綜合（40題難題）（10單選10多選10填空10大題）一、單選題1．（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域為，且，記，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的表達(dá)式以及，利用賦值法即可計算出的大小.【詳解】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，顯然可得.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究抽象函數(shù)性質(zhì)時，可根據(jù)滿足的關(guān)系式利用賦值法合理選取自變量的取值，由函數(shù)值或范圍得出函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問題求解.2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，可知函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合可得是周期函數(shù)，再由選項去逐一分析.【詳解】因為的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，則，又，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以3是的一個周期.因為，故C正確；取符合題意的函數(shù)，則所以，又，故2不是的一個周期，所以，故B不正確；因為不是函數(shù)的最值，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，所以，故A不正確；因為，故D不正確；故選：C.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求導(dǎo)判斷的單調(diào)性，將轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)求新函數(shù)的單調(diào)性以及最值，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知，所以，又，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以，故，所以對任意的恒成立.令，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由函數(shù)的不等關(guān)系求解參數(shù)的范圍，先判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到內(nèi)層函數(shù)的不等關(guān)系，再結(jié)合不等關(guān)系分類討論或參變分離求參數(shù)的范圍.4．（2024·遼寧·二模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得出，即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，而，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到，即，所以，令，則，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到，即，所以，綜上所述，，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：通過構(gòu)造函數(shù)和，將問題轉(zhuǎn)化成比較函數(shù)值的大小，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可解決問題.5．（2024·湖南·一模）若不等式對恒成立，其中，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先討論的范圍，當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求最值，根據(jù)最小值大于等于0可得，然后將二元化一元，令，利用導(dǎo)數(shù)求最值可解.【詳解】令，即，當(dāng)時，由函數(shù)與的圖象可知，兩函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)，記為，則當(dāng)時，，即，不滿足題意；當(dāng)時，令，則，令，則，因為單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以時，有最小值，又對恒成立，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以的取值范圍為.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題屬于恒成立問題，難點(diǎn)在于將恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題，以及利用的不等關(guān)系將二元化一元，此處應(yīng)注意保證任何時候都能取到等號.6．（2024·安徽·二模）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（

）A．為奇函數(shù) B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)賦值法可得，，進(jìn)而可得，即可判斷A，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷在上為減函數(shù)，即可求解B，代值逐步求解即可判斷CD.【詳解】令，，，所以；令，，則．令，得，故為偶函數(shù)．A錯誤，任取，，，則，則，故在上為減函數(shù)．由已知，可得，故，解得，且．B錯誤，若，則，C正確，若，則，，，所以，故D錯誤，故選：C．7．（2024·吉林延邊·一模）已知，均為銳角，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因為，則，且，可得，構(gòu)建，可得因為在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，且在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，，故C正確，D錯誤；由于無法確定的大小，故AB錯誤；故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意同構(gòu)可得，進(jìn)而構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷.8．（2024·浙江麗水·二模）已知正實(shí)數(shù)滿足，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依題意可得，，，令，，則問題轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)與對應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】因為，，為正實(shí)數(shù)，且滿足，，，則，，，所以，，，則，，，令，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，滿足的即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，滿足的即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，滿足的即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、、的圖象如下所示：由圖可知.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系問題，準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象是關(guān)鍵.9．（2024·云南紅河·二模）已知函數(shù)，對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，得到為奇函數(shù)，從而得到恒成立，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到不等式，化簡得到時，恒成立，設(shè)，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值，得到，得到答案.【詳解】設(shè)，則，，所以為奇函數(shù).所以，即恒成立，由在上單調(diào)遞減且，得在上單調(diào)遞減，所以恒成立.由，知且，所以時，恒成立.設(shè)，，，當(dāng)時，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，而，所以，所以，即.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.10．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，，當(dāng)時，，則函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)題意，判斷的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，得出交點(diǎn)個數(shù)，并結(jié)合對稱性及可得解.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的周期為8，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，又，所以函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)對稱，由，，，，，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，在同一個坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與的圖象，如圖，

由圖可得，函數(shù)與在上有兩個交點(diǎn)，因為函數(shù)與圖象均關(guān)于點(diǎn)對稱，所以函數(shù)與在上有兩個交點(diǎn)，又，所以函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為5.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，依據(jù)題意，可判斷函數(shù)與圖象均關(guān)于點(diǎn)對稱，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性，極值作出與在上的圖象，根據(jù)圖象求得結(jié)果.二、多選題11．（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為，且，，則（

）A．關(guān)于直線對稱 B．C．的周期為4 D．【答案】ACD【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的對稱性，合理賦值即可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)可得、，通過合理賦值即可判斷BCD.【詳解】由，得①，②，得③，由①②③，得，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；由，得，令，得；由，得，令，得，∴④，又⑤，令，得，故B錯誤；④⑤兩式相加，得，得，所以，即函數(shù)的周期為4，故C正確；由，令，得，所以，所以，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的對稱性和周期性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，尋找關(guān)系式、和是解題的關(guān)鍵，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的聯(lián)系，對稱性與周期性的聯(lián)系，都是解題的思路.12．（2024·廣東廣州·一模）已知直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)，，曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】對于A，構(gòu)造函數(shù)，計算即可判斷；對于B，寫出點(diǎn)處的切線程聯(lián)立并化簡得，而，計算即可判斷；對于C，根據(jù)斜率相等可得，為兩切線的交點(diǎn)代入化簡得，再計算可得；對于D，根據(jù)，計算即可判斷.【詳解】令，則，故時，遞增；時，遞減，所以的極大值，且，，因為直線與曲線相交于?兩點(diǎn)，所以與圖像有2個交點(diǎn)，所以，故A正確；設(shè)，且，可得，在點(diǎn)處的切線程為，得，即，因為，所以，即，故B錯誤；因為，所以，因為為兩切線的交點(diǎn)，所以，即，所以，所以，故C正確；因為，所以，所以，同理得，得，即，因為，所以，故D正確.故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷B，關(guān)鍵在于根據(jù)切線方程聯(lián)立求得，而兩點(diǎn)得斜率即為直線得斜率得，化簡可得；判斷C，根據(jù)斜率相等得，根據(jù)在切線上，代入化簡計算可得，計算得后即可判斷，判斷D，關(guān)鍵在于利用不等式進(jìn)行計算化簡即可判斷.13．（2024·河北滄州·一模）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】構(gòu)造函數(shù)利用奇偶性和單調(diào)性得出，結(jié)合選項逐項驗證即可.【詳解】由題意有兩個不等的實(shí)數(shù)根，，，令，則，即為奇函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；若，則，又，所以.對于A，，正確.對于B，若成立，則有，與矛盾，所以B不正確.對于C，由指數(shù)均值不等式可得，所以，C正確.對于D，令，，當(dāng)時，，為增函數(shù)，所以，即，D不正確.故選：AC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：均值不等式的拓展：（1）對數(shù)型均值不等式：，其中，；（2）指數(shù)型均值不等式：，其中.14．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知定義域為R的函數(shù)，滿足，且，，則（

）A． B．圖像關(guān)于對稱C． D．【答案】ACD【分析】對A：借助賦值法，令，計算即可得；對B：借助賦值法，令，再令令，可得，故不可能關(guān)于對稱，對C：借助賦值法，令，再令，再，計算即可得；對D：由C選項中所得可推導(dǎo)出函數(shù)的周期性，計算出一個周期內(nèi)所有的函數(shù)值即可得.【詳解】對A：令，，則有，即，故A正確；對B：令，則有，即有，故或，又，故，令，則有，即，故不可能關(guān)于對稱，故B錯誤；對C：令，則有，即，故關(guān)于對稱，令，則有，即，即，即，由定義域為，故為偶函數(shù)，令，則有，即，即，又，，故，即，故C正確；對D：由，，則有，即，則，即，即有，故周期為，由，，故，，又，，故，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關(guān)于對稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.15．（2024·湖南衡陽·二模）已知函數(shù)的定義域均為是奇函數(shù)，且，，則（

）A． B．為奇函數(shù)C．為偶函數(shù) D．【答案】ACD【分析】利用是奇函數(shù)，，，逐項判斷選項.【詳解】由是奇函數(shù)，則，即，令，則，故A正確；由，，令，則，故不是奇函數(shù)，故B錯誤；由，令，則，故，所以，而，則，故，所以是偶函數(shù)，故C正確；因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以的周期為8，因為，所以4)，所以，即，因為，所以由，得，得，由2，得，因為的周期為8，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)及其性質(zhì)，利用替換求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于較難題.16．（2024·山東聊城·一模）設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，若是奇函數(shù)，且對于任意的，，則對于任意的，下列說法正確的是（

）A．都是的周期 B．曲線關(guān)于點(diǎn)對稱C．曲線關(guān)于直線對稱 D．都是偶函數(shù)【答案】BC【分析】結(jié)合題意，借助導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可判斷函數(shù)的對稱性，借助賦值法，可得函數(shù)的周期性，利用所得函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合選項逐項分析判斷即可得.【詳解】由是奇函數(shù)，故有，即有，故，則，即，故關(guān)于對稱，由，則，即，故關(guān)于中心對稱，由，則，又，故，即有，則，故，即，故，故周期為.對A：當(dāng)時，，故A錯誤；對B：由周期為，故，又，故，故，故曲線關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對C：由周期為，故，又，故，故曲線關(guān)于直線對稱，故C正確；對D：由B得，故，又周期為，故有，故，又，即都是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關(guān)于對稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.17．（2024·浙江·模擬預(yù)測）對于，滿足，且對于，恒有．則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】賦值法求得，由，求的值判斷選項A，由，求得，結(jié)合恒有，對BCD中的函數(shù)值進(jìn)行判斷.【詳解】令代入及，得，所以，，A選項正確；令代入，得；令代入由，得，，，，，對于．恒有，，，B選項正確；，C選項錯誤；，則有，即，D選項正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)問題可以通過化抽象為具體的方法，即賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式，經(jīng)過運(yùn)算與推理，最后得出結(jié)論，常用的方法有：(1)令等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值；(2)令或，且，判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性；(3)令，判斷抽象函數(shù)的奇偶性；(4)換為，確定抽象函數(shù)的周期；(5)用，或換為等來解答抽象函數(shù)的其它一些問題.18．（2024·湖南·二模）已知函數(shù)的定義域均為，，且的圖像關(guān)于直線對稱，則以下說法正確的是（

）A．和均為奇函數(shù) B．C． D．【答案】BCD【分析】利用函數(shù)奇偶性，對稱性與周期性的性質(zhì)，逐一分析各選項即可得解.【詳解】對于B，由，得，又，，的圖象關(guān)于直線對稱，，，，則是周期函數(shù)，且周期為，所以，故B正確；對于A，的圖象關(guān)于直線對稱，是偶函數(shù)，若為奇函數(shù)，則恒成立，不滿足，故A錯誤；對于C，由，得，，因為，則，所以是周期函數(shù)，且周期為，則，故C正確；對于D，由，得，又，由，得，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關(guān)于對稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.19．（2024·湖南岳陽·二模）已知函數(shù)的定義域為，對任意都有，且，則下列說法正確的是（

）A． B．為奇函數(shù)C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意運(yùn)用賦值代入法計算，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性逐一驗證選項可得答案.【詳解】令，則，所以，令，則，，故A錯誤；要證為奇函數(shù)，只需證，即，令，則，，令，則，所以成立，故B正確；令，則，，所以為偶函數(shù)，由B可知，，所以，則有，故C正確；由C可知，又為偶函數(shù)，所以，則周期為2，，，所以，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）若為奇函數(shù)，則滿足，若為偶函數(shù)，則滿足；（2）若為周期函數(shù)，且周期為，則滿足；（3）若關(guān)于點(diǎn)對稱，且關(guān)于直線對稱，則為周期函數(shù)，周期為.20．（2024·安徽池州·二模）已知函數(shù)的定義域為是奇函數(shù)，且，恒有，當(dāng)時（其中），.若，則下列說法正確的是（

）A．圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．D．【答案】ABC【分析】根據(jù)是奇函數(shù)判斷A項正確；由代入可得，又由推導(dǎo)出圖象關(guān)于直線對稱，從而判斷B項；利用題設(shè)條件得到，分類討論的取值情況求出的值，從而判斷C項；利用選項C的結(jié)論，求得，否定D項.【詳解】對于A項，由是奇函數(shù)得，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，故A項正確；對于B項，由函數(shù)的定義域為且關(guān)于點(diǎn)對稱，則，所以，因，故解得.由得點(diǎn)在函數(shù)圖象上，又點(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.又由關(guān)于點(diǎn)對稱，可得關(guān)于對稱，故B項正確；對于C項，由函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱得，由函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱得，故由可得.①當(dāng)時，，所以，，因是增函數(shù)，又，故得；②當(dāng)時，由函數(shù)關(guān)于直線對稱可知函數(shù)在內(nèi)單減，所以，又，所以，這與題設(shè)矛盾，舍去.所以，又，即，故C項正確；對于D項，由上分析，當(dāng)時，，顯然，由函數(shù)關(guān)于對稱，可知，由關(guān)于點(diǎn)對稱得，故D項錯誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題解題思路在于利用函數(shù)奇偶性及相關(guān)條件推斷出函數(shù)具備的軸對稱和中心對稱的特征，再利用對稱性推斷結(jié)論，得到相關(guān)點(diǎn)的函數(shù)值，確定參數(shù)值，得到函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)對稱性求出相應(yīng)函數(shù)值.三、填空題21．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．若函數(shù)恰有4個零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】求得，得出的單調(diào)性和，令，得到，設(shè)，且零點(diǎn)分別為，轉(zhuǎn)化為方程和各有2個解，得到，進(jìn)而求得的范圍.【詳解】由函數(shù)，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又由，令，可得，設(shè)，則，設(shè)的兩個零點(diǎn)分別為，則或，可得或，要使得恰有4個零點(diǎn)，則方程有2個解，且方程也有兩個解，則滿足，即，即，可得，即，又因為，解得．故答案為：.【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.22．（2024·全國·模擬預(yù)測）當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小整數(shù)為．【答案】1【分析】不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)證明恒成立范圍即可.【詳解】當(dāng)時，，不等式恒成立，則，即恒成立，亦即恒成立，令，，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，所以，因為，所以，所以恒成立，即，令，，則，令，，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即，，故，據(jù)此可判斷滿足不等式成立，所以實(shí)數(shù)的最小整數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：兩個常見的重要不等式：（1）；（2）.23．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式有解，則的最小值是.【答案】/【分析】參變分離可得有解，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解.【詳解】由得，顯然，所以有解，令，則，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，則，即的最小值是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是參變分離得到有解，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出.24．（2024·山東菏澤·一模）關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為．【答案】【分析】由，得，利用導(dǎo)數(shù)證明，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立，即可得解.【詳解】令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，由，得，而，令，則，所以，若，如圖作出函數(shù)的圖象，

由函數(shù)圖象可知，方程有唯一實(shí)數(shù)根，即，由，得，即，當(dāng)時，，即，又，，所以，所以不成立，即當(dāng)時，不恒成立，綜上所述，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．25．（2024·湖北·模擬預(yù)測）若函數(shù)在不同兩點(diǎn)，處的切線互相平行，則這兩條平行線間距離的最大值為.【答案】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，得導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，由在A，B兩點(diǎn)處切線互相平行，可得，計算原點(diǎn)O到點(diǎn)A處切線的距離的最大值后可得兩條平行線距離最大值.【詳解】由題意有，設(shè)，所以函數(shù)在點(diǎn)A處的切線方程為，所以原點(diǎn)O到點(diǎn)A處切線的距離為，因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因為是偶函數(shù)，且在A，B兩點(diǎn)處切線互相平行，所以，即在A，B兩點(diǎn)處切線關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以這兩條平行線間的距離的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用是偶函數(shù)，得到兩條切線關(guān)于原點(diǎn)對稱，故兩條平行線距離最大值即為原點(diǎn)O到點(diǎn)A處切線的距離最大值的2倍.26．（2024·湖南·二模）已知對任意，且當(dāng)時，都有：，則的取值范圍是.【答案】【分析】依題意可得對任意的當(dāng)恒成立，令，即可得到在上單調(diào)遞減，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【詳解】因為對任意，且當(dāng)時恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以恒成立①，令，由①式可得，所以在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將式子變形得到對任意的當(dāng)恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減求參數(shù)問題.27．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）若對任意實(shí)數(shù)，則的最大值為．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，對參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，在不同情況下，研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意，即可求得參數(shù)的最大值.【詳解】令，，由題可知，恒成立；，；令，，；當(dāng)，，故單調(diào)遞增，則，故單調(diào)遞增，，滿足題意；當(dāng)，顯然單調(diào)遞增；若，即時，當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于正無窮；故存在，當(dāng)，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；又，當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于正無窮；故存在，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；又，故當(dāng)，，不滿足題意；若，即，又單調(diào)遞增，故，則單調(diào)遞增，又，故，則單調(diào)遞增，，滿足題意；綜上所述，當(dāng)時，滿足題意，故的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵是以端點(diǎn)值1處的二階導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)為討論的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而在不同情況下考慮函數(shù)單調(diào)性和最值解決問題.28．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則．【答案】【分析】根據(jù)等式結(jié)構(gòu)特征先利用換元法化簡等式形式為，，然后通過兩等式的聯(lián)系（均可化為形式），構(gòu)造函數(shù)研究出m與n的關(guān)系，從而建立x與y的關(guān)系，進(jìn)而求出.【詳解】令，，則，，由題可得，，所以，.因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.由，得，得，故.故答案為：.29．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)有零點(diǎn)，當(dāng)取最小值時，的值為．【答案】【分析】首先將方程轉(zhuǎn)化為，再通過構(gòu)造幾何意義，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，再結(jié)合幾何意義，即可求解.【詳解】設(shè)的零點(diǎn)為，則，即，設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，因為到原點(diǎn)的距離，下求的最小值，令，則在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，即，此時，所以的斜率為，此時的最小值為，此時，（此時）．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)以及難點(diǎn)是構(gòu)造幾何意義，將點(diǎn)看成直線上的任一點(diǎn)，從而根據(jù)幾何意義解決問題.30．（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）有2個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】化簡函數(shù)，得到和在上單增，結(jié)合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，結(jié)合，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由函數(shù)，設(shè)，可得，單調(diào)遞增，且，，所以存在唯一的，使，即，令，即，設(shè)，可得，則在上單增，又由且時，，所以當(dāng)時，存在唯一的，使，即，若時，可得，則，可得，所以，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.四、解答題31．（2024·山東棗莊·一模）已知．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)得，分兩種情況當(dāng)時，當(dāng)時，求方程的解，分析的符號，進(jìn)而可得的單調(diào)性．（2）方法一：化簡不等式，證明，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，由此證明，證明時，滿足條件，時不滿足條件即可；方法二：化簡不等式，并分離變量可得，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性及最小值，由此可求的取值范圍.【詳解】（1）由題意知定義域為且．令，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時，，記的兩根為，則，且．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）方法一：，化簡得．設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，令，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．又因為，所以存在唯一，使得①，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．①當(dāng)時，成立．②當(dāng)時，由①知，．所以與恒成立矛盾，不符合題意．綜上．方法二：不等式，可化為，所以．令則．令，則．所以在上單調(diào)遞增．又，所以，使，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由得，即．設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增．由，得，所以，即有，且所以，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)恒成立?；(2)恒成立?.32．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，求的極值點(diǎn)；(2)當(dāng)時，設(shè)，且，記的最大值為，試求的取值范圍.【答案】(1)極大值點(diǎn)是，極小值點(diǎn)是1(2)【分析】（1）將代入,然后對求導(dǎo)，判斷的正負(fù)，得到的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值點(diǎn)；（2）對求導(dǎo)，通過一元二次方程根的情況，判斷的正負(fù)，得到的極值點(diǎn)，寫出的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域為，，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，因此的極大值點(diǎn)是，極小值點(diǎn)是1.（2）由已知的定義域為，，對于方程，在上恒成立，則方程有兩個不同的正根，設(shè)為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，則，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，因為，所以，因為，所以，所以0，令，于是，，，所以在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時，，所以，故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定與，再利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化雙變量為單變量，從而得解.33．（2024·遼寧丹東·一模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，數(shù)列滿足，①求證：；②求證：．【答案】(1)答案見解析(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求得，分和，兩種情況討論，即可求解；（2）①令，可得，由（1）得到函數(shù)在的單調(diào)性，證得，得到，即，進(jìn)而證得結(jié)論；②根據(jù)題意，求得，進(jìn)而得到，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求得，即可得證.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得其定義域為，且，當(dāng)時，，可得在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：①當(dāng)時，，令，可得由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以，即，又由函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，則，所以，即，所以.②因為，且，可得當(dāng)時，，，，，所以，所以，所以當(dāng)時，，所以，則，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).34．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，是的極小值點(diǎn).(1)求的值；(2)當(dāng)時，，求的取值范圍；(3)求證：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析.【分析】（1）對求導(dǎo)，利用，求得，然后驗證為極小值點(diǎn)即可；（2）利用分離參數(shù)，對和進(jìn)行分類討論，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求得；（3）利用分析法只需證明，結(jié)合（1）中在為增函數(shù)，即可證得，從而證得結(jié)論.【詳解】（1）定義域，，因為是的極小值點(diǎn)，所以，則，當(dāng)時，，則，令，，則在為增函數(shù)，則存在使得，所以有兩根，所以增區(qū)間為和，減區(qū)間為，則是的極小值點(diǎn)，所以符合題意，故.（2）由（1）知，因為當(dāng)時，，則，①當(dāng)時，，則，②當(dāng)時，，令，則，令，，令，則，即為減函數(shù)，所以，即為減函數(shù).令，則，在為減函數(shù)，，所以，即，因為，所以，即趨近于0時，趨近于1.令，則，當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；因為，則，即，且，所以，又，則，綜上①②，，所以的取值范圍為.（3）要證，需證，即證，令，易知在為減函數(shù)，，又，所以，因為，則，所以，則只需證，即證，由（1）知的增區(qū)間為和，減區(qū)間為，且，所以在為增函數(shù)，又，所以在恒有，即得證，所以成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答關(guān)鍵主要有兩個：一是利用拆分函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性及兩個函數(shù)在同一點(diǎn)處取到最值得到和函數(shù)的最值；二是利用數(shù)列的知識，把數(shù)列和的大小比較轉(zhuǎn)化為通項公式的大小比較，構(gòu)造函數(shù)可證結(jié)論.35．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，討論曲線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)．【答案】(1)；(2)2．【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解方程，（2）求導(dǎo)，分類討論求解函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值求解.【詳解】（1）依題意，，故，而，故所求切線方程為，即．（2）令，故，令，，令，．①當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，即在上為減函數(shù)，又，在上有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，即．在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．又，在上有且只有一個零點(diǎn)，在上無零點(diǎn)；②當(dāng)時，單調(diào)遞減，又，在內(nèi)恰有一零點(diǎn)；③當(dāng)時，為增函數(shù)，，單調(diào)遞增，又，所以存在唯一，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增，，在內(nèi)無零點(diǎn)．綜上所述，曲線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)為2．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，求某點(diǎn)處的切線方程較為簡單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.36．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若有三個零點(diǎn)，且．（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）多次求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)即可判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（i）原條件可轉(zhuǎn)化有三個不等實(shí)根，從而構(gòu)造函數(shù)，研究該函數(shù)即可得；（ii）借助的單調(diào)性，得到，從而將證明，轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)，從而將三個變量的問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，即可構(gòu)造函數(shù)，證明其在上大于即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，令，，令，可得，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）（i）有三個零點(diǎn)，即有三個根，由不是該方程的根，故有三個根，且，令，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，時，，當(dāng)時，，時，，故時，有三個根；（ii）由在上單調(diào)遞增，，故，由（i）可得，且，即只需證，設(shè)，則，則有，即有，故，，則，即，即只需證，令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.37．（2024·山東·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，且，求a的取值范圍．【答案】(1)增區(qū)間，減區(qū)間(2)【分析】（1）將代入求導(dǎo)，然后確定單調(diào)性即可；（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有兩個根寫出韋達(dá)定理，代入，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，研究函數(shù)性質(zhì)進(jìn)而求出a的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時，，，則，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），所以，設(shè)，令，由于有兩個極值點(diǎn)，所以，解得．由，，得，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，且，所以，故a的取值范圍是．38．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)對任意恒成立，求的取值范圍；(2)有兩個解，，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求最小值大于0的條件；（2）圖象上三個點(diǎn)，，，記線段，與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，在，兩點(diǎn)處的切線為，，記兩條切線與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，證明即可得證結(jié)論.【詳解】（1）令，則有，．若，即，則存