拓展七：圓錐曲線的方程大題專項(xiàng)訓(xùn)練（35道）類型一圓錐曲線的離心率問題（2道）1．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)且在第一象限.已知為等腰三角形，且.(1)求的離心率；(2)若的周長為10，求點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】(1)由題意可知，，所以，得，即的離心率為；(2)的周長為，即，，所以得，所以，所以橢圓方程，設(shè)，則在中，，所以，得邊的高為，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，得，代入橢圓方程得，得，所以.2．已知橢圓C：（）的右頂點(diǎn)為，且為其上一點(diǎn).(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)B是橢圓C上異于左右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，線段的中垂線交y軸于點(diǎn)D，且為等邊三角形，求B點(diǎn)橫坐標(biāo).【解析】（1）由題設(shè)，，又在橢圓上，則，可得，所以橢圓C的方程，故離心率為.（2）令且，則中點(diǎn)為，中垂線斜率，故線段的中垂線為，故，又為等邊三角形，即，所以，且，整理得，而或（舍），所以，即，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證為等邊三角形，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證為等邊三角形，滿足題設(shè)；所以橫坐標(biāo)為.類型二圓錐曲線的軌跡問題（3道）3．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，動(dòng)點(diǎn)M滿足．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線C上，設(shè)雙曲線C的左支上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，點(diǎn)，且，直線NQ與雙曲線C交于另一點(diǎn)B．證明：動(dòng)直線PB經(jīng)過定點(diǎn)．【解析】(1)因?yàn)?，所以，?dòng)點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的左支，則，可得，，所以，點(diǎn)M的軌跡方程為；(2)證明：∵，∴直線PQ垂直于x軸，易知，直線BP的斜率存在且不為0，設(shè)直線BP的方程為，設(shè)，，則，聯(lián)立，化簡得：，直線與雙曲線左支、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，需滿足或，∴，，又，又N、B、Q三點(diǎn)共線，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化簡得：，∴，∴，即，滿足判別式大于0，即直線BP方程為，所以直線BP過定點(diǎn)．4．已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)T，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】(1)由題可知，，則，由橢圓定義知P的軌跡是以F1、為焦點(diǎn)，且長軸長為的橢圓，∴，∴，∴P的軌跡方程為C：；(2)假設(shè)存在T(0，t)滿足題意，易得AB的斜率一定存在，否則不會(huì)存在T滿足題意，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立，化為，易知恒成立，∴(*)由題可知，將(*)代入可得：即∴，解，∴在y軸上存在定點(diǎn)T(0，1)，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)T.5．已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)過定點(diǎn)的直線l交動(dòng)點(diǎn)P的軌跡于不同的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為，求證直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由已知有，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；（2）由已知條件可知直線和直線斜率一定存在，設(shè)直線方程為，，，則，由，可得，則，即為，，，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，即，即，即，即，即得，整理，得，滿足，則直線方程為，恒過定點(diǎn).類型三圓錐曲線的面積問題（3道）6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)雙曲線C1以橢圓C2：1長軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，以C2的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)．(1)求C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過（0，1）的直線l與C1的右支相切，且與C2交于點(diǎn)M，N，求OMN的面積．【解析】（1）解：由題意得雙曲線a＝1，c＝2，則b2＝c2﹣a2＝3，所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)過（0，1）的直線l的方程為y＝kx+1，聯(lián)立，可得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣4＝0，因?yàn)橹本€與雙曲線相切，所以Δ＝4k2+16（3﹣k2）＝0，解得k＝±2，因?yàn)橹本€l與雙曲線右支相切，所以l方程為：y＝﹣2x+1，聯(lián)立，可得19x2﹣16x﹣8＝0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2，x1x2，則|MN||x1﹣x2|?，又原點(diǎn)O到直線l的距離d，所以O(shè)MN的面積Sd?|MN|．7．已知橢圓，已知點(diǎn)，橢圓上有兩點(diǎn)，且在線段上，(1)求的最小值；(2)若是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)并延長交直線軸于點(diǎn)，求面積的取值范圍.【解析】（1）解：設(shè)，，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為；（2）解：設(shè)，則，設(shè)的方程為，聯(lián)立，消得，，則有，直線的方程為，令，得，所以為定點(diǎn)，則，令，，則，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以，所以，所以，即面積的取值范圍為.8．已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于圓的半徑．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與，直線交于，兩點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【解析】（1）由題設(shè)知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于圓的半徑，而可化為，即該圓的半徑為，所以，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知，直線與直線的斜率都存在，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，不妨設(shè)直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，得，恒成立．設(shè)，，則，，所以，同理，得，所以四邊形的面積，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以四邊形的面積的最小值是．類型四圓錐曲線的向量問題（3道）9．已知拋物線C：的焦點(diǎn)與橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)重合．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l：交拋物線C于，兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求證：．【解析】（1）∵橢圓：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，即．∴拋物線C的方程為：．（2）聯(lián)立方程組消去x，整理得．∴．∴，即,∴,∴．10．已知橢圓C:的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若直線交C于A，B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．【解析】（1）由離心率得：，所以，點(diǎn)在橢圓C上，則，所以，C的方程為；（2）聯(lián)立方程組，消去x得，令，，則，，所以，因?yàn)?，所以，即，此時(shí)滿足，所以.11．已知橢圓的焦距為2，且過點(diǎn)．不過原點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列．(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）解：由題意可得，

解得，故橢圓方程為．（2）解：設(shè)直線為，設(shè)，，因?yàn)橹本€，，的斜率依次成等比數(shù)列，所以．

聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，所以，，，

，所以，得．存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形．理由如下：

四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，則

因?yàn)椋?/p>

所以，即，

當(dāng)，時(shí)，滿足，所以直線的方程為或或或．類型五圓錐曲線的斜率問題（3道）12．已知橢圓()的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，以的短半軸長為半徑的圓被直線截得的弦長為2.(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)，直線（不過原點(diǎn)也不過點(diǎn)P）交于A，B兩點(diǎn)，且直線AP，BP的傾斜角互補(bǔ)，若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，求直線OM的斜率.【解析】(1)解：由已知得，，∴，,又原點(diǎn)到直線的距離為＝，

因此b2＝（）2＋12＝3，，

故橢圓的方程為；(2)解：由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，由可得，則△，且，，直線，的傾斜角互補(bǔ)，則，代入，，所以即有，整理可得

，即

又直線不經(jīng)過點(diǎn)即

故

13．已知橢圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．(1)求橢圓的方程；(2)如圖，、是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于點(diǎn)、，直線與直線交于點(diǎn)．記、、的斜率分別為、、，是否存在實(shí)數(shù)，使得？【解析】（1）解：拋物線的焦點(diǎn)為，由題意可得，，，故，因此，橢圓的方程為.（2）解：設(shè)、，設(shè)直線的方程為，其中，聯(lián)立，得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，易知點(diǎn)、，，所以，直線的方程為，將代入直線的方程可得，即點(diǎn)，，，所以，，所以，.14．設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且其離心率為．(1)求橢圓的方程;(2)若在軸上的截距為2的直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線的斜率之和等于12，求直線的方程．【解析】（1）解：因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且其離心率為，所以，解得，所以，故所求橢圓方程為；（2）解：若直線垂直于軸，則、的斜率都不存在，不合題意.所以直線斜率存在，設(shè)：，點(diǎn)、，聯(lián)立，化簡可得，由，解得或，所以，，所以，解得，所以直線的方程為．類型六圓錐曲線中角的問題（3道）15．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（a，0），且|AF|＝1．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點(diǎn)P，Q，求∠PFQ的大?。窘馕觥?1)由題意得解得a＝2，c＝1，從而，所以橢圓C的方程為．(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F(xiàn)（1，0），則，，故，即∠PFQ＝90°．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，．直線MA的方程為，令x＝4，得，即，同理可得．所以，．因?yàn)?，所以∠PFQ＝90°．綜上，∠PFQ＝90°．16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，．(1)求C的方程：(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得恒成立（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在求出坐標(biāo)，若不存在說明理由．【解析】（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，由題意易得，從而，解得p＝1，所以C的方程為；（2）設(shè)，，，由題可知直線l斜率不為零，設(shè)，代入拋物線方程消去x，得，從而，，①由可得將①代入上式，得恒成立，所以，因此存在點(diǎn)P，且滿足題意，P點(diǎn)坐標(biāo)為．17．已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)F與點(diǎn)的連線與其一條漸近線平行.(1)求雙曲線C的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A?B，試問是否存在一定點(diǎn)P，使恒成立，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）設(shè)，由條件知的斜率等于，即，又，,，，雙曲線的方程為：.（2）存在點(diǎn)滿足恒成立，且點(diǎn)在軸上.理由如下:設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)，設(shè)直線,由,消去得,,設(shè)，由韋達(dá)定理得，①,，②，?的斜率之和為，即，因?yàn)?，，所以代入整理得：，③將①②代入③可得，?④④式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，，,即存在點(diǎn)滿足恒成立，且點(diǎn)在軸上.類型七圓錐曲線中的三點(diǎn)共線問題（3道）18．已知的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，.(1)求的方程.(2)若，是直線上一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，判斷直線的斜率是否為定值.若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.【解析】（1）解：根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)到直線的距離為，則，令，則，解得，所以當(dāng)軸時(shí)，，則.故的方程為.（2）解：設(shè).當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，化簡得，由，得，則設(shè)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，整理得.因?yàn)?，所以，即直線AN的斜率為定值0.當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，A，B，M，N都在x軸上，則直線AN的斜率為定值.綜上所述，直線AN的斜率為定值0.19．設(shè)直線x=m（m>0）與雙曲線C：的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，且△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為.(1)求m的值；(2)與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M'，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，若，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，證明：直線l經(jīng)過x軸上的一個(gè)定點(diǎn).【解析】(1)雙曲線C：（m>0）的漸近線方程為，不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（m，m）和（m，-m），所以

解得m=1.(2)由（1）知C：，則F的坐標(biāo)為（2，0），設(shè)l與x軸交于點(diǎn)（p，0），則l的方程為（），設(shè).則.聯(lián)立，得，由題可知，所以因?yàn)?，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，所以，即，即，所以因?yàn)閗≠0，所以，所以，所以，所以解得，

所以直線l經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)20．已知橢圓C：的短軸長為2，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C上任意一點(diǎn)A作兩條直線與C的另外兩個(gè)交點(diǎn)為M，N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線AM和AN的斜率分別為和，且，證明：M，O，N三點(diǎn)共線．【解析】（1）由題意得：，，，∴，，∴橢圓C的方程為．（2）設(shè)，，，則，，兩式相減得：，即．∵，∴，∴，∴，，三點(diǎn)共線，∵點(diǎn)在橢圓C上，∴與重合，又與關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴弦MN過原點(diǎn)O，即M，O，N三點(diǎn)共線．類型八圓錐曲線的對(duì)稱問題（3道）21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，M是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線AM，BM的斜率之積是，記M的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)若過點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與E交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（與Q不重合），直線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)，則直線AM的斜率為，直線BM的斜率為，∴，整理得，故E的方程為．（2）由題意知，過點(diǎn)F的直線PQ的斜率存在且不為0，可設(shè)其方程為，設(shè)，，則，將代入，得．則，∴，．則直線方程為，令，則，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為．22．已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為?，焦距為2，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，，設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若直線，關(guān)于直線對(duì)稱，求直線的斜率.【解析】（1）解：依題意可得，又，所以，，.所以；（2）解：因?yàn)?，所以是的中點(diǎn).結(jié)合軸，所以軸，所以，則，解得，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)橹本€、關(guān)于直線對(duì)稱.所以、的傾斜角互補(bǔ)，所以，顯然直線的斜率存在，設(shè)：，由，得，由得.設(shè)，，則，，由，整理得，所以，即若，則，所以直線的方程為，此時(shí)，直線過點(diǎn)，舍去.所以，即，所以直線的斜率為.23．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為A．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（均與A，不重合），過點(diǎn)與軸垂直的直線分別交直線，于點(diǎn)，，證明：點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱．【解析】(1)由題意得，，所以直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得解得或，當(dāng)時(shí)，，所以．(2)設(shè)，，的方程為，聯(lián)立消去得，則，．直線的方程為，設(shè)，則，直線的方程為，設(shè)，則．，因?yàn)?，即，所以點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱．類型九圓錐曲線的最值問題（3道）24．如圖，設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的射影，M為PD上的一點(diǎn)，且．(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C方程；(2)求點(diǎn)M到直線距離的最大值.【解析】（1）解：設(shè)點(diǎn)，由，可得，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，代入可得，整理得，即點(diǎn)M的軌跡方程.（2）解：設(shè)平行于直線且與相切的直線，聯(lián)立方程組，整理得，當(dāng)與C相切時(shí)，則滿足，解得，即，所以的方程為或，所以點(diǎn)M到直線距離的最大值.25．拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．(1)求的準(zhǔn)線方程；(2)若是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過向作兩條切線，切點(diǎn)為M，N，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）由橢圓可得，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，

又因?yàn)榈慕裹c(diǎn)在軸正半軸上，所以的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，從而的準(zhǔn)線方程為；（2）由（1）知的方程為，即，則，

設(shè)，切點(diǎn)，，從而切線方程為，即，

同理切線方程為，

分別代入有，從而和均滿足直線方程，所以直線的方程為，即，

又因?yàn)樵谥本€上，所以，

所以直線的方程為，從而直線恒過定點(diǎn)，

當(dāng)?shù)街本€的距離達(dá)到最大值時(shí)，必有，因?yàn)?，所以，所以，從而此時(shí)的坐標(biāo)為26．已知橢圓E：（）的離心率為，且點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程；(2)過橢圓E的右焦點(diǎn)F作不與兩坐標(biāo)軸重合的直線l，與E交于不同的兩點(diǎn)Ｍ，N，線段的中垂線與y軸相交于點(diǎn)T，求（O為原點(diǎn)）的最小值，并求此時(shí)直線l的方程.【解析】(1)橢圓E：的離心率e，則，即，又，解得，所以橢圓E的方程為.(2)由（1）知，，設(shè)直線l的方程為，，由消去x并整理得：，則，，，線段MN的中點(diǎn)，則線段的中垂線方程為：，令，得，即點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值24，此時(shí)直線l的方程為或.類型十圓錐曲線中的定點(diǎn)問題（3道）27．已知橢圓的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．(1)求橢圓的方程；(2)若直線交于兩點(diǎn)，直線與關(guān)于軸對(duì)稱，證明：直線恒過一定點(diǎn)．【解析】（1）由，可得，∴，又離心率為，∴，，∴橢圓C的方程為.（2）設(shè)，由，可得，∴，可得，，由直線與關(guān)于軸對(duì)稱，∴，即，∴，即，∴，可得，所以直線方程為，恒過定點(diǎn).28．已知雙曲線過點(diǎn)，且C的漸近線方程為．(1)求C的方程．(2)A，B為C的實(shí)軸端點(diǎn)，Q為C上異于A，B的任意一點(diǎn)，與y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過兩個(gè)定點(diǎn)．【解析】(1)由C的漸近線方程為，得，故可設(shè)C的方程為，將點(diǎn)代入可得，故C的方程為．(2)證明：設(shè)，則直線的方程為，令，得，則，直線的方程為，令，得，則．設(shè)是以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則，即，，即，因?yàn)樵贑上，所以，則，所以，令，得．故以為直徑的圓過兩個(gè)定點(diǎn)，且這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為29．已知F1（，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上．(1)求雙曲線C的方程；(2)已知點(diǎn)A，B是雙曲線C上異于P的兩點(diǎn)，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，若，證明：直線AB過定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)雙曲線C的方程為（），由題意知，因?yàn)?，所以解得∴雙曲線C的方程為（2）設(shè)直線AB的方程為，，由，整理得，則，，得，直線PA方程為令，則M（0，），同理N（0，）.由，可得，∴0，0，∴，∴，∴，∴∴，∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線AB方程為恒過定點(diǎn)，顯然不可能∴，直線AB方程為恒過定點(diǎn)類型十一圓錐曲線中的定值問題（3道）30．已知點(diǎn)，圓：，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線與交于點(diǎn)，記的軌跡為．(1)求的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求證：為定值，并求出該定值．【解析】（1）解：圓的圓心為，半徑，由點(diǎn)在的垂直平分線上，得，所以，所以的軌跡是以A，為焦點(diǎn)的橢圓，，，所以，，，所以的方程為；（2）證明：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易知，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，，，則把代入得，顯然，有，，，所以，綜上所述，為定值．31．如圖所示：已知橢圓：的長軸長為4，離心率．是橢圓的右頂點(diǎn)，直線過點(diǎn)交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，．記的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的取值范圍；(3)求證：為定值．【解析】（1）令橢圓E的半焦距為c，依題意，，，解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）依題意，直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線：，，設(shè)，由消去x并整理得：，則，，，由（1）知，則有，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，所以的取值范圍是.（3）由（2）知，，由得，即，而，同理，因此，，所以為定值.32．已知橢圓過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的上頂點(diǎn)作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．①求證：；②設(shè)OA，OB分別與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線CD的垂線OH，垂足為H，證明：為定值．【解析】(1)因?yàn)椋?，又因?yàn)椋獾?，，所以橢圓的方程為；(2)①證明：設(shè)，，依題意，直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，所以，又因?yàn)椋?，因此，．②證明