1.1.1空間向量及其運算課程標準課標解讀1．理解空間向量的概念，空間向量的共線定理、共面定理及推論.2．會進行空間向量的線性運算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關運算.1．理解空間向量的相關概念的基礎上進行與向量的加、減運算、數(shù)量積的運算、夾角的相關運算及空間距離的求解.2．利用空間向量的相關定理及推論進行空間向量共線、共面的判斷..知識點1空間向量的有關概念1．在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模．注：數(shù)學中討論的向量與向量的起點無關，只與大小和方向有關，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2.表示法：（1）幾何表示法：空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模（2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起點是A，終點是B，則a也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.3．幾類特殊的空間向量名稱定義表示法零向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量記為0單位向量模為1的向量叫做單位向量|a|＝1或|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝1相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量記為－a共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有0∥aa∥b或eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量a＝b或eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))注意點：(1)平面向量是一種特殊的空間向量．(2)兩個向量相等的充要條件為長度相等，方向相同．(3)向量不能比較大小．(4)共線向量不一定具備傳遞性，比如0．易錯辨析：（1）空間向量就是空間中的一條有向線段？有向線段是空間向量的一種表示形式，但不能把二者完全等同起來．（2）單位向量都相等？單位向量長度相等，方向不確定（3）共線的單位向量都相等?共線的單位向量是相等向量或相反向量（4）若將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個圓？將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個球（5）任一向量與它的相反向量不相等？零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的．（6）若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反？|a|＝|b|只能說明a，b的長度相等而方向不確定（7）若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))？向量不能比較大?。?）空間中，a∥b，b∥c，則a∥c？平行向量不一定具有傳遞性，當b＝0時，a與c不一定平行（9）若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p？向量的相等滿足傳遞性（10）若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同？當兩個空間向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等；但當兩個向量相等時，不一定起點相同，終點也相同【即學即練1】【多選】給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若，則或B．若向量是向量的相反向量，則C．在正方體中，D．若空間向量，，滿足，，則【即學即練2】如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則下列向量相等的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))B.eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→))D.eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))知識點2空間向量的線性運算（一）空間向量的加減運算加法運算三角形法則語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語言敘述共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和圖形敘述減法運算三角形法則語言敘述共起點，連終點，方向指向被減向量圖形敘述加法運算交換律a＋b＝b＋a結合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)注意點：（1）空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結合律，這樣就可以自由結合運算，可以將向量合并；（2）求向量和時，可以首尾相接，也可共起點；求向量差時，可以共起點．（3）空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；（二）空間向量的數(shù)乘運算定義與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘幾何意義λ>0λa與向量a的方向相同λa的長度是a的長度的|λ|倍λ<0λa與向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的運算律結合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb注意點：(1)當λ＝0或a＝0時，λa＝0．(2)λ的正負影響著向量λa的方向，λ的絕對值的大小影響著λa的長度．(3)向量λa與向量a一定是共線向量．非零向量a與λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反．(4)由于向量a，b可平移到同一個平面內(nèi)，而平面向量滿足數(shù)乘運算的分配律，所以空間向量也滿足數(shù)乘運算的分配律．(5)根據(jù)空間向量的數(shù)乘運算的定義，結合律顯然也成立．(6)實數(shù)與空間向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，如λ±a無法運算．【即學即練3】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)).其中運算結果為eq\o(AC1,\s\up6(→))的有________個．【即學即練4】已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則下列各式運算結果不是eq\o(AC1,\s\up7(→))的為()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) B．eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)) D．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))【即學即練5】在空間四邊形ABCD中，連接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E為其中心，則eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))的化簡結果為________．知識點3共線向量與共面向量1．共線向量與共面向量的區(qū)別共線(平行)向量共面向量定義表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量注：規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.平行于同一個平面的向量叫做共面向量充要條件共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.注：（1）存在唯一實數(shù)，使得；（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．1、空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).2、空間中四點共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使得對空間中任意一點，都有用途共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進而證線面平行）②證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進而證面面平行）。2.直線l的方向向量如圖O∈l，在直線l上取非零向量a，設P為l上的任意一點，則?λ∈R使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝λa.定義：把與a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．3.與空間向量的線性運算相關的結論(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)).(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，有eq\o(AC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)).(3)若O為空間中任意一點，則①點P是線段AB中點的充要條件是eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))；②若G為△ABC的重心，則eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))．易錯辨析：（1）若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量?空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.所以，任意兩個空間向量總是共面，而三個向量可能共面也可能不共面（2）在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線？在平面內(nèi)共線的向量在空間一定共線（3）在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線？在空間共線的向量，平移到同一平面內(nèi)一定共線【即學即練6】已知空間四邊形ABCD，點E?F分別是AB與AD邊上的點，M?N分別是BC與CD邊上的點，若，，，，則向量與滿足的關系為（

）A． B． C． D．【即學即練7】在下列命題中：①若向量共線，則所在的直線平行；②若向量所在的直線是異面直線，則一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則三個向量一定也共面；④已知三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為.⑤若與是平面上互不平行的向量，點，點，則與、一定不共面．其中正確命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【即學即練8】對于空間任意一點，若，則A，B，C，P四點（

）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．與點位置有關考點一空間向量的概念辨析解題方略：空間向量有關概念問題的解題策略(1)兩個向量的模相等，則它們的長度相等，但方向不確定，即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件．(2)空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關概念．熟練掌握空間向量的有關概念、向量的加減法的運算法則及向量加法的運算律是解決好這類問題的關鍵．【例1-1】下列關于空間向量的說法中正確的是()A．單位向量都相等B．若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D．相等向量其方向必相同變式1：【多選】下列命題為真命題的是()A．若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝bB．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))C．若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝pD．空間中，a∥b，b∥c，則a∥c變式2：下列說法正確的是()A．若|a|＜|b|，則a＜bB．若a，b為相反向量，則a＋b＝0C．空間內(nèi)兩平行向量相等D．四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))【例1-2】(1)試寫出與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；(2)試寫出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的模．變式1：如圖，在長方體中，為與的交點.若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．變式2：向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結論正確的是()A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＋b為實數(shù)0C．a(chǎn)與b方向相同 D．|a|＝3變式3：【多選】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，則下列結論中正確的有()A．eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))與eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→))是一對相反向量B．eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))與eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OD1,\s\up7(→))是一對相反向量C．eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))與eq\o(OA1,\s\up7(→))＋eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→))＋eq\o(OD1,\s\up7(→))是一對相反向量D．eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))與eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC1,\s\up7(→))是一對相反向量考點二空間向量的線性運算解題方略：1、解決空間向量線性運算問題的方法進行向量的線性運算，實質(zhì)上是在正確運用向量的數(shù)乘運算及運算律的基礎上進行向量求和，即通過作出向量，運用平行四邊形法則或三角形法則求和．運算的關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行四邊形中．注：(1)向量減法是加法的逆運算，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量．首尾相連的若干向量構成封閉圖形時，它們的和向量為零向量．2、空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果．3、利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧(1)數(shù)形結合：利用數(shù)乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量．(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質(zhì)．【例2-1】已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結果的向量：(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA,\s\up7(→))′；(2)eq\o(DD,\s\up7(→))′－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))；(3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD,\s\up7(→))′－eq\o(BC,\s\up7(→)))．變式1：若本例條件不變，化簡下列表達式，并在圖中標出化簡結果的向量：(1)eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(A′D′,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up7(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→)).變式2：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列選項中化簡后為零向量的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(C1A1,\s\up7(→)) D．eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))變式3：【多選】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式運算結果為eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))變式4：如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡以下式子，并在圖中標出化簡結果．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DG,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→)).【例2-2】設有四邊形ABCD，O為空間任意一點，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．空間四邊形C．等腰梯形 D．矩形【例2-3】如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→)).變式1：如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．變式2：正六棱柱中，設，，，那么等于（

）A． B． C． D．變式3：如圖，在四面體ABCD中，E，G分別是CD，BE的中點，若記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AG,\s\up6(→))＝________.變式4：在如圖所示的正四面體OABC中，E，F(xiàn)，G，H分別是OA，AB，BC，OC的中點．設，，，則下列說法不正確的是（

）．A． B．C． D．【例2-4】已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中點，求下列各題中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).變式1：如圖，設O為?ABCD所在平面外任意一點，E為OC的中點，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up7(→))＋xeq\o(OB,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))，求x，y的值．考點三空間向量共線問題解題方略：1．要判定空間圖形中的兩向量共線，往往尋找圖形中的三角形或平行四邊形，并利用向量運算法則進行轉化，從而使其中一個向量表示為另一個向量的倍數(shù)關系，即可證得這兩向量共線．2．證明空間三點P，A，B共線的方法(1)eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))(λ∈R)．(2)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))(t∈R)．(3)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．【例3-1】若空間中任意四點O，A，B，P滿足eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))，其中m＋n＝1，則()A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對【例3-2】設e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2，且A，B，D三點共線，則k＝________.變式1：已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．【例3-3】如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，判斷eq\o(CE,\s\up7(→))與eq\o(MN,\s\up7(→))是否共線．變式1：如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為A1C上一點，且eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，BD與AC交于點M.求證：C1，O，M三點共線．考點四空間向量共面問題解題方略：1．解決向量共面的策略(1)若已知點P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．(2)證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．2．證明空間四點P，M，A，B共面的等價結論(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OM,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→)))．【例4-1】如圖，、分別是空間四邊形的邊、的中點，則向量與、______．（填“共面”或“不共面”）【例4-2】在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))－2eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))B．eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0C．eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0D．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))變式1：下列條件中，一定使空間四點P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．變式2：對于空間任一點O和不共線的三點A，B，C，若有eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))，則“