1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1．會(huì)進(jìn)行空間向量的線性運(yùn)算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關(guān)運(yùn)算.1．理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行與向量的加、減運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算、夾角的相關(guān)運(yùn)算及空間距離的求解.知識(shí)點(diǎn)1空間向量的夾角定義如圖，已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉范圍0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，記作a⊥b拓展提升：（1）當(dāng)兩個(gè)非零向量同向時(shí)，它們的夾角為多少度？反向時(shí)，它們的夾角為多少度？只有兩個(gè)非零空間向量才有夾角，當(dāng)兩個(gè)非零空間向量共線同向時(shí)，夾角為0，共線反向時(shí)，夾角為π.（2）〈a，b〉，〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉，它們有什么關(guān)系？對(duì)空間任意兩個(gè)非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．【即學(xué)即練1】在正四面體ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角等于()A．30°B．60°C．150°D．120°【解析】〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.故選D知識(shí)點(diǎn)2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1．(1)空間向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(2)運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c2.投影向量及直線與平面所成的角(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖②)．(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時(shí)，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．注意點(diǎn)：(1)向量a，b的數(shù)量積記為a·b，而不能表示為a×b或者ab.(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實(shí)數(shù)，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，其符號(hào)由夾角θ的范圍決定．①當(dāng)θ為銳角時(shí)，a·b>0；但當(dāng)a·b>0時(shí)，θ不一定為銳角，因?yàn)棣纫部赡転?.②當(dāng)θ為鈍角時(shí)，a·b<0；但當(dāng)a·b<0時(shí)，θ不一定為鈍角，因?yàn)棣纫部赡転棣?(3)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律和結(jié)合律．【即學(xué)即練2】在棱長(zhǎng)為的正方體中，設(shè)，，，則的值為（）A． B． C． D．【解析】．故選B．【即學(xué)即練3】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，設(shè)，，，求：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）在正方體中，，故（2）由（1）知，（3）由（1）及知，【即學(xué)即練4】如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，則的值為（

）A．1 B． C． D．【解析】由題意得，故.故選：D.知識(shí)點(diǎn)3空間向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)若a，b為非零向量，則a⊥b?a·b＝0；(2)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(3)若a，b為非零向量，則cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(4)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a，b共線時(shí)等號(hào)成立)．【即學(xué)即練5】已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且這三條棱彼此之間的夾角都是60°，則AC1的長(zhǎng)為()A．6B.eq\r(6)C．3D.eq\r(3)【解析】設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).由eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，得|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6).故選B【即學(xué)即練6】已知是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則=+與b=-2的夾角是（）A．60° B．120° C．30° D．90°【解析】由題意得=(+)·(2)==，||=，||=.=.°.故選:B.【即學(xué)即練7】在空間四邊形OABC中，連接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量與所成角的余弦值．【解析】，＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16，∴故答案為：考點(diǎn)一空間向量數(shù)量積的概念辨析解題方略：注意空間向量的夾角的定義及熟練掌握數(shù)量積的運(yùn)算律【例1-1】對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】顯然〈a，b〉＝0?a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共線和反向共線兩種情況，即當(dāng)a∥b時(shí)，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b?〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分條件．故選B【例1-2】如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量eq\o(AC,\s\up6(→))分別與向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(B′A′,\s\up6(→))，eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))的夾角．【解析】連接BD(圖略)，則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，所以〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(A′B′,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(B′A′,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝135°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD′,\s\up6(→))〉＝∠D′AC＝60°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝90°.【例1-3】設(shè)、為空間中的任意兩個(gè)非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【解析】對(duì)于①，，①正確；對(duì)于②，向量不能作比值，即錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，設(shè)、的夾角為，則，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，④正確.故選：B.考點(diǎn)二空間向量數(shù)量積的運(yùn)算解題方略：求空間向量數(shù)量積的步驟(1)將待求數(shù)量積的兩向量的模長(zhǎng)及它們的夾角理清；(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角余弦值的乘積；(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．注：在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形，將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式;其次利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積;最后利用數(shù)量積的定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關(guān)系或特殊角.【例2-1】已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的單位向量，則a·b＝()A．1B．2C．3 D．4【解析】∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.故選A【例2-2】已知四面體A-BCD的所有棱長(zhǎng)都是2,點(diǎn)E,F分別是AD,DC的中點(diǎn),則()A．1 B．-1 C． D．【解析】由題意可得，所以．故選B．變式1：已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1，如圖所示．求：(1)eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))；(2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))·(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))．【解析】在正四面體OABC中，|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝1.〈eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))〉＝〈eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))〉＝〈eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))〉＝60°.(1)eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝|eq\o(OA,\s\up7(→))||eq\o(OB,\s\up7(→))|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).(2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))·(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＝(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))·(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))＝(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))·(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))－2eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\o(OA,\s\up7(→))2＋2eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))－2eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))2－2eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝12＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1＋1－1＋1－1＝1.變式2：已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1，若E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，求值：(1)eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(AO,\s\up7(→))；(2)eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))；(3)eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→)).【解析】(1)eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up7(→))||eq\o(AO,\s\up7(→))|cos〈eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AO,\s\up7(→))〉＝eq\f(1,2)cos60°＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up7(→))|2＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up7(→))||eq\o(CB,\s\up7(→))|cos〈eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(CB,\s\up7(→))〉＝eq\f(1,2)cos120°＝－eq\f(1,4).變式3：已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心為O1，則eq\o(AO1,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))的值為()A．－1 B．0C．1 D．2【解析】eq\o(AO1,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1O1,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，則eq\o(AO1,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(|eq\o(AB,\s\up7(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up7(→))|2)＝1，故選C.【例2-3】已知空間向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為________．【解析】∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.考點(diǎn)三利用空間向量的數(shù)量積求夾角解題方略：1、求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：①結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意向量夾角的范圍；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后確定〈a，b〉的值．2、利用數(shù)量積求夾角或其余弦值的步驟注：求兩向量夾角，必須特別關(guān)注兩向量方向，應(yīng)用向量夾角定義確定夾角是銳角、直角還是鈍角．【例3-1】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求eq\o(BC1,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))夾角的大?。窘馕觥坎环猎O(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則eq\o(BC1,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)))·(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))·(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))2＋eq\o(AA1,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝0＋eq\o(AD,\s\up7(→))2＋0＋0＝eq\o(AD,\s\up7(→))2＝1，又∵|eq\o(BC1,\s\up7(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(2)，∴cos〈eq\o(BC1,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(BC1,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→)),|eq\o(BC1,\s\up7(→))||eq\o(AC,\s\up7(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).∵〈eq\o(BC1,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))〉∈[0，π]，∴〈eq\o(BC1,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))〉＝eq\f(π,3).即eq\o(BC1,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))夾角的大小為eq\f(π,3).變式1：已知空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2)D．0【解析】eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|cos∠AOC－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|cos∠AOB＝eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|－eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.故選D變式2：在邊長(zhǎng)及對(duì)角線都為1的空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【解析】如圖，連接對(duì)角線，，則可構(gòu)成棱長(zhǎng)均為1的正四面體由，分別是，的中點(diǎn)，，又，則所以直線和夾角的余弦值為.故選：B變式3：如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為，且兩兩夾角為.求：（1）的長(zhǎng)；（2）與夾角的余弦值.【解析】（1）記，，，則，，，，，即的長(zhǎng)為；（2），，，，，，又，，即與夾角的余弦值為.【例3-2】已知，是空間兩向量，若，則與的夾角為______．【解析】設(shè)與的夾角為，所以根據(jù)，，即，又，．故答案為：變式1：已知，是兩個(gè)空間單位向量，它們的夾角為，設(shè)向量，．求：(1)；(2)向量與的夾角.【解析】(1)因?yàn)?，是兩個(gè)空間單位向量，它們的夾角為，所以，所以；(2)因?yàn)?，所以，，又因?yàn)樗?，因?yàn)?，所以，即向量與的夾角為.【例3-3】已知空間向量、滿足，，，若向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為鈍角，所以且與不共線，因?yàn)?，所以，即，解得①；?dāng)與平行時(shí)，則存在實(shí)數(shù)k，使得，即，因?yàn)?、不平行，所以即，則②．由①②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【例3-4】如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為_____________【解析】三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則，，.又，，所以而，，所以.故答案為：.考點(diǎn)四利用空間向量的數(shù)量積證明垂直解題方略：利用空間向量解決垂直問題的方法(1)證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直．(2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的數(shù)量積并判斷是否為0.【例4-1】已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求證：AD⊥BC.【證明】∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＝0.∴eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→)))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(BD,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(DC,\s\up7(→))＝0.∴eq\o(AD,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，從而AD⊥BC.變式1：如圖，四面體OABC各棱的棱長(zhǎng)都是1，D，E分別是OC，AB的中點(diǎn)，記，，.(1)用向量表示向量；(2)求證.【解析】(1)根據(jù)題意，.(2)根據(jù)題意，相互之間的夾角為，且模均為1，由（1），所以.變式2：如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點(diǎn)．(1)用，，表示向量；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出的位置，若不存在，說明理由．【解析】(1)；(2)假設(shè)存在點(diǎn)，使，設(shè)，顯然，，因?yàn)?，所以，即，，因?yàn)?，，，所以有：，即，解得，所以?dāng)時(shí)，.【例4-2】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)，求證：A1O⊥平面GBD.證明：設(shè)eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝c，則a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.∵eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝c＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝b－a，eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(CG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.∴eq\o(A1O,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·(b－a)＝c·b－c·a＋eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2－eq\f(1,2)b·a＝eq\f(1,2)(b2－a2)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.于是eq\o(A1O,\s\up7(→))⊥eq\o(BD,\s\up7(→))，即A1O⊥BD.同理可證eq\o(A1O,\s\up7(→))⊥eq\o(OG,\s\up7(→))，即A1O⊥OG.又BD∩OG＝O，于是有A1O⊥平面GBD.考點(diǎn)五利用空間向量的數(shù)量積求距離(即線段長(zhǎng)度)解題方略：求兩點(diǎn)間的距離或線段長(zhǎng)的方法將相應(yīng)線段用向量表示，通過向量運(yùn)算來求對(duì)應(yīng)向量的模．用其他已知夾角和模的向量表示該向量；（3）因?yàn)閍·a＝|a|2，所以|a|＝，這是利用向量解決距離問題的基本公式．另外，該公式還可以推廣為|a±b|＝．（4）可用|a·e|＝|a||cosθ|(e為單位向量，θ為a，e的夾角)來求一個(gè)向量在另一個(gè)向量所在直線上的投影．【例5-1】已知空間向量?jī)蓛蓨A角均為，其模均為1，則（

）A． B． C．2 D．【解析】.故選：B【例5-2】如圖所示，在?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求線段PC的長(zhǎng)．【解析】∵eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))，∴|eq\o(PC,\s\up7(→))|2＝(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)))2＝|eq\o(PA,\s\up7(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up7(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up7(→))|2＋2eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋2eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(DC,\s\up7(→))＋2eq\o(DC,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))＝62＋42＋32＋2|eq\o(AD,\s\up7(→))||eq\o(DC,\s\up7(→))|cos120°＝61－12＝49.∴|eq\o(PC,\s\up7(→))|＝7，即PC＝7.變式1：如圖，平行六面體中，，，，則（）A． B． C． D．【解析】，,.故選：D變式2：如圖，已知一個(gè)60°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，AC，BD分別是在這兩個(gè)面內(nèi)且垂直于AB的線段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長(zhǎng)．【解析】∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°.∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，且eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2|eq\o(CA,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝62＋42＋82＋2×6×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝68，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2eq\r(17)，故CD的長(zhǎng)為2eq\r(17).變式3：如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6．求PC的長(zhǎng)．【解析】因?yàn)?，所以，所以．故PC的長(zhǎng)為7．變式4：如圖，三棱錐各棱的棱長(zhǎng)都是1，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱OC上，且，記，，．(1)用向量，，表示向量；(2)求的最小值．【解析】(1)根據(jù)題意，連接OD，CD，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱OC上，如下圖：由題意可得，，記，，，∴()＝.(2)根據(jù)題意，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，三棱錐的各個(gè)面是邊長(zhǎng)為1，易得，，在中，由余弦定理可得，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則的最小值為．變式5：已知正方形ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)均為1，且平面ABCD⊥平面ABEF，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜eq\r(2))．(1)求線段MN的長(zhǎng)；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，線段MN最短？【解析】(1)由已知得|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(BF,\s\up7(→))|＝eq\r(2)，∴eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,\r(2))))eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(NF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,\r(2))))eq\o(BF,\s\up7(→))，∴eq\o(NM,\s\up7(→))＝eq\o(NF,\s\up7(→))＋eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,\r(2))))eq\o(BF,\s\up7(→))＋eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,\r(2))))eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,\r(2))))(eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→)))－eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,\r(2))))(－eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,\r(2))))eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,\r(2))))eq\o(BE,\s\up7(→))，∴|eq\o(NM,\s\up7(→))|＝eq\r(eq\o(NM,\s\up7(→))·eq\o(NM,\s\up7(→)))＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,\r(2))))eq\o(BC,\s\up7(→))－\f(a,\r(2))eq\o(BE,\s\up7(→))))2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,\r(2))))2－\f(2a,\r(2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,\r(2))))eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(BE,\s\up7(→))＋\f(1,2)a2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2))(0＜a＜eq\r(2))．即MN的長(zhǎng)度為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2))(0＜a＜eq\r(2))．(2)由(1)知當(dāng)a＝eq\f(\r(2),2)，即M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，最小值為eq\f(\r(2),2).考點(diǎn)六利用空間向量的數(shù)量積求投影解題方略：向量a在向量b上的投影數(shù)量|a|cos〈a，b〉向量a在向量b上的投影向量|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)【例6-1】如圖，在長(zhǎng)方體中，已知，，，分別求向量在、、方向上的投影數(shù)量．【解析】非零向量在非零向量方向上的投影數(shù)量為，由空間向量的平行六面體法則可得，在長(zhǎng)方體中，，因此，向量在方向上的投影數(shù)量為，向量在方向上的投影數(shù)量為，向量在方向上的投影數(shù)量為.變式1：如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，E為的中點(diǎn).（1）求，的大??；（2）求向量在向量方向上的投影的數(shù)量.【解析】（1）在正方體中，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以；?）連接，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以在向量方向上的投影為，因?yàn)?，所以向量在向量方向上的投影的?shù)量為1【例6-2】已知正方體的棱長(zhǎng)為1，E為棱上的動(dòng)點(diǎn).求向量在向量方向上投影的數(shù)量的取值范圍.【解析】由已知E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)因?yàn)樗运韵蛄吭谙蛄糠较蛏贤队暗臄?shù)量為，又，，所以向量在向量方向上投影的數(shù)量的取值范圍為題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．在正方體中，有下列命題：①；②；③與的夾角為．其中正確的命題有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【解析】對(duì)于①，所以①正確；對(duì)于②，，所以②正確；對(duì)于③，因?yàn)椤?分別為面的對(duì)角線，所以,所以與的夾角為，所以③錯(cuò)誤故選：B2．四邊形ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，連接AC，BD，SB，SC，SD，下列各組運(yùn)算中，不一定為零的是（

）A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于：若與垂直，又與垂直，則平面與垂直，則與垂直，與與不一定垂直矛盾，所以與不一定垂直，即向量、不一定垂直，則向量、的數(shù)量積不一定為0；對(duì)于：根據(jù)題意，有平面，則，又由，則有平面，進(jìn)而有，即向量、一定垂直，則向量、的數(shù)量積一定為0；對(duì)于：根據(jù)題意，有平面，則，又由，則有平面，進(jìn)而有，即向量、一定垂直，則向量、的數(shù)量積一定為0；對(duì)于：根據(jù)題意，有平面，則，即向量、一定垂直，則向量、的數(shù)量積一定為0.故選：．3．已知正三棱錐的底面的邊長(zhǎng)為2，M是空間中任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)中點(diǎn)為,連接,設(shè)中點(diǎn)為,則,當(dāng)與重合時(shí)，取最小值0.此時(shí)有最小值，故選：A4．棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AD上的點(diǎn)，且滿足，，則（

）A． B． C． D．【解析】由已知，因?yàn)?，，所以，，．故選：D．5．如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，圓錐PO的軸截面PAE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是底面圓的內(nèi)接正三角形．則（

）A． B． C． D．【解析】由題得,,．故選：B6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》商功中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．在塹堵中，，P為的中點(diǎn)，則（

）．A．6 B． C．2 D．【解