1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀理解和掌握空間向量的坐標(biāo)表示及意義，會用向量的坐標(biāo)表達(dá)空間向量的相關(guān)運(yùn)算.會求空間向量的夾角、長度以及有關(guān)平行、垂直的證明.利用空間向量的坐標(biāo)表示，將形與數(shù)有機(jī)結(jié)合，并能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算與證明是學(xué)習(xí)空間向量及運(yùn)算的關(guān)鍵.也是解決空間幾何的重要手段與工具.知識點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系1．空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较颍运鼈兊拈L為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(2)相關(guān)概念：O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．注意點(diǎn)：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0.(2)畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐標(biāo)系均為右手直角坐標(biāo)系．在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．2．空間一點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)（1）空間點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點(diǎn)A，對應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．注：空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)點(diǎn)的位置x軸上y軸上z軸上坐標(biāo)的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)點(diǎn)的位置Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)坐標(biāo)的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)（2）空間點(diǎn)的對稱問題①空間點(diǎn)的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱問題，要掌握對稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．②對稱點(diǎn)的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論．（3）空間向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，可簡記作a＝(x，y，z)．【即學(xué)即練1】設(shè){i，j，k}是空間向量的一個(gè)單位正交基底，則向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐標(biāo)分別是________．答案：(3,2，－1)，(－2,4,2)【即學(xué)即練2】畫一個(gè)正方體ABCD－A1B1C1D1，若以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，則①頂點(diǎn)A，D1的坐標(biāo)分別為________________；②棱C1C中點(diǎn)的坐標(biāo)為________；③正方形AA1B1B對角線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為________．答案①(0,0,0)，(0,1,1)②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))【即學(xué)即練3】在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(－2,1,4)．(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為P1(－2，－1，－4)．(2)由點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為P2(－2,1，－4)．(3)設(shè)對稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐標(biāo)為(6，－3，－12)．【即學(xué)即練4】已知、，設(shè)點(diǎn)、在平面上的射影分別為、，則向量的坐標(biāo)為________．【解析】點(diǎn)、在平面上的射影分別為、，∴向量的坐標(biāo)為．故答案為：.【即學(xué)即練5】已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M為BC1的中點(diǎn)，N為A1B1的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))的坐標(biāo)．【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝i，eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝j(luò)，eq\f(1,4)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝k，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)，∴eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4)．知識點(diǎn)2空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則設(shè)向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa(λa1，λa2，λa3)數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3注意點(diǎn)：(1)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致．(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)．(3)運(yùn)用公式可以簡化運(yùn)算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(4)向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量，用坐標(biāo)表示；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量．2．空間向量相關(guān)結(jié)論的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有(1)平行關(guān)系：當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；(2)垂直關(guān)系：a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(3)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).注意點(diǎn)：(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0)．(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，則eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)＝eq\f(z1,z2)成立的條件是x2y2z2≠0.3．空間兩點(diǎn)間的距離公式在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．(1)eq\o(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2＋z2).注：空間兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)過程如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，eq\o(P1P2,\s\up6(—→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，于是|eq\o(P1P2,\s\up6(—→))|＝eq\r(\o(P1P2,\s\up6(—→))·\o(P1P2,\s\up6(—→)))＝所以P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(—→))|＝，因此，空間中已知兩點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝.【即學(xué)即練6】已知a＋b＝(2，eq\r(2)，2eq\r(3))，a－b＝(0，eq\r(2)，0)，則a＝________，b＝________，a·b＝________.【解析】a＋b＝(2，eq\r(2)，2eq\r(3))，a－b＝(0，eq\r(2)，0)，∴a＝(1，eq\r(2)，eq\r(3))，b＝(1,0，eq\r(3))，∴a·b＝1＋0＋3＝4.【即學(xué)即練7】已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝________.【解析】易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，則(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.【即學(xué)即練8】若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】設(shè)，則=k，即，即“”可推出“”；又若＝時(shí)，＝(0，0，0)，雖有成立，但條件顯然不成立，所以“”推不出“”，故“”是“”充分不必要條件.故選：A．【即學(xué)即練9】已知，，且，則的值為（）.A． B．2 C． D．【解析】，4，，，3，，，存在實(shí)數(shù)使得，，解得，．．故選：．【即學(xué)即練10】已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，則x的值為()A．－2 B．2C．3 D．－3【解析】b－c＝(－2,3,1)，∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.故選A【即學(xué)即練11】已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，則線段AB的長為()A．4eq\r(3) B．2eq\r(3)C．4eq\r(2) D．3eq\r(2)【解析】|AB|＝eq\r(1＋32＋1＋32＋1＋32)＝4eq\r(3).故選A【即學(xué)即練12】在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC一定是()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【解析】∵eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(3,4，－8)，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝(5,1，－7)，eq\o(BC,\s\up7(―→))＝(2，－3,1)，∴|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝eq\r(32＋42＋（－8）2)＝eq\r(89)，|eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝eq\r(52＋12＋（－7）2)＝eq\r(75)，|eq\o(BC,\s\up7(―→))|＝eq\r(22＋（－3）2＋1)＝eq\r(14)，∴|eq\o(AC,\s\up7(―→))|2＋|eq\o(BC,\s\up7(―→))|2＝|eq\o(AB,\s\up7(―→))|2，∴△ABC一定為直角三角形．故選C【即學(xué)即練13】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是AA1，CB1的中點(diǎn)．(1)求BM，BN的長．(2)求△BMN的面積．【解析】以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．則B(0,1,0)，M(1,0,1)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1)).(1)∵eq\o(BM,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))，∴|eq\o(BM,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋(－1)2＋12)＝eq\r(3)，|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\r(02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋12)＝eq\f(\r(5),2).故BM的長為eq\r(3)，BN的長為eq\f(\r(5),2).(2)S△BMN＝eq\f(1,2)·BM·BN·sin∠MBN.∵cos∠MBN＝cos〈eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BM,\s\up6(→))·\o(BN,\s\up6(→)),|\o(BM,\s\up6(→))||\o(BN,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(3,2),\r(3)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(15),5)，∴sin∠MBN＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),5)))2)＝eq\f(\r(10),5)，故S△BMN＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(\r(5),2)×eq\f(\r(10),5)＝eq\f(\r(6),4).即△BMN的面積為eq\f(\r(6),4).考點(diǎn)一空間向量的坐標(biāo)表示解題方略：1．建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要考慮如何建系才能使點(diǎn)的坐標(biāo)簡單、便于計(jì)算，一般是要使盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上．充分利用幾何圖形的對稱性．2.求某點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法作MM′垂直于平面Oxy，垂足為M′，求M′的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，再求M點(diǎn)在z軸上射影的豎坐標(biāo)z，即為M點(diǎn)的豎坐標(biāo)z，于是得到M點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y，z)．3.空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律及注意點(diǎn)(1)由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)：空間向量的坐標(biāo)可由其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)確定．已知空間點(diǎn)的坐標(biāo)、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量eq\o(AB,\s\up7(―→))的坐標(biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)．即eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)直接計(jì)算問題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后代入公式計(jì)算．(3)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)：把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，通過解方程(組)，求出其坐標(biāo)．【例1-1】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若eq\o(AB,\s\up7(―→))＝3i，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝2j，eq\o(AA1,\s\up7(―→))＝5k，則向量eq\o(AC1,\s\up7(―→))在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是()A．(1,1,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，\f(1,5)))C．(3,2,5) D．(3,2，－5)【解析】eq\o(AC1,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CC1,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AD,\s\up7(―→))＋eq\o(AA1,\s\up7(―→))＝3i＋2j＋5k，∴向量eq\o(AC1,\s\up7(―→))在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是(3,2,5)，故選C.變式1：在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．(1)寫出E，F(xiàn)，G，H的坐標(biāo)；(2)寫出向量eq\o(EF,\s\up7(―→))，eq\o(GH,\s\up7(―→))的坐標(biāo)．【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．點(diǎn)E在z軸上，它的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)均為0，而E為DD1的中點(diǎn)，故其坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2))).由F作FM⊥AD，F(xiàn)N⊥DC，垂足分別為M，N，由平面幾何知識知FM＝eq\f(1,2)，F(xiàn)N＝eq\f(1,2)，故F點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).點(diǎn)G在y軸上，其x、z軸坐標(biāo)均為0，又GD＝eq\f(3,4)，故G點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0)).由H作HK⊥CG于K，由于H為C1G的中點(diǎn)．故HK＝eq\f(1,2)，CK＝eq\f(1,8)，∴DK＝eq\f(7,8)，故H點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2))).(2)eq\o(EF,\s\up7(―→))＝eq\o(OF,\s\up7(―→))－eq\o(OE,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq\o(GH,\s\up7(―→))＝eq\o(OH,\s\up7(―→))－eq\o(OG,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)，\f(1,2))).【例1-2】點(diǎn)P(1,1,1)關(guān)于Oxy平面的對稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為______，點(diǎn)P關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為________．【解析】點(diǎn)P(1,1,1)關(guān)于Oxy平面的對稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1,1，－1)，點(diǎn)P關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－1，－1,1)．【例1-3】已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，則a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________.【解析】a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1,0，－1)，2a－3b＝2(1,1,0)－3(0,1,1)＝(2，－1，－3)．∴(a－b)·(2a－3b)＝(1,0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.答案：－25【例1-4】已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)B的坐標(biāo)應(yīng)為()A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)【解析】eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝(9,1,1)．故選B變式1：已知A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且eq\o(AB,\s\up7(―→))＝2a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A．(－7,10,24) B．(7，－10，－24)C．(－6,8,24) D．(－5,6,24)【解析】∵a＝(－3,4,12)，且eq\o(AB,\s\up7(―→))＝2a，∴eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(－6,8,24)．∵A的坐標(biāo)為(1，－2,0)，∴eq\o(OA,\s\up7(―→))＝(1，－2,0)，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(OA,\s\up7(―→))＝(－6＋1,8－2,24＋0)＝(－5,6,24)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－5,6,24)．故選D.變式2：已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，則C的坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))【解析】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y，z)，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y，z)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2，－4)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以x＝－eq\f(6,5)，y＝－eq\f(4,5)，z＝－eq\f(8,5)，所以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5))).故選C變式3：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使：(1)eq\o(OP,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→)))；(2)eq\o(AP,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→)))．【解析】eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(2,6，－3)，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝(－4,3,1)，∴eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))＝(6,3，－4)．(1)eq\o(OP,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)(6,3，－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2)).(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y，z)，則eq\o(AP,\s\up7(―→))＝(x－2，y＋1，z－2)，∵eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→)))＝eq\o(AP,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))，∴x＝5，y＝eq\f(1,2)，z＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)，0)).【例1-5】已知，點(diǎn)Q在直線OP上，那么當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，由點(diǎn)在直線上，可得存在實(shí)數(shù)使得，即，可得,所以,則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).故選：C.考點(diǎn)二空間向量的平行與垂直解題方略：解決空間向量垂直、平行問題的有關(guān)思路(1)若有關(guān)向量已知時(shí)，通常需要設(shè)出向量的坐標(biāo)．例如，設(shè)向量a＝(x，y，z)．(2)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件，在有關(guān)平行的問題中，通常需要引入?yún)?shù)．例如，已知a∥b，則引入?yún)?shù)λ，有a＝λb，再轉(zhuǎn)化為方程組求解；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，列方程(組)求解．(3)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量平行、垂直的充要條件證明．【例2-1】已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，則()A．x＝eq\f(1,3)，y＝1 B．x＝eq\f(1,2)，y＝－4C．x＝2，y＝－eq\f(1,4) D．x＝1，y＝－1【解析】由題意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)．∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在實(shí)數(shù)λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1＝λ（2－x），,4＝3λ，,4－y＝λ（－2y－2），))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,x＝\f(1,2)，,y＝－4.))故選B【例2-2】已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是()A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(7,5)【解析】依題意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝eq\f(7,5).故選D變式1：已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.①設(shè)向量c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1，1))，試判斷2a－b與c是否平行？②若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.【解析】①因?yàn)閍＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，所以2a－b＝(3,2，－2)，又c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1，1))，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.②因?yàn)閍＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．又因?yàn)?ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或－eq\f(5,2).【例2-3】正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點(diǎn)，P，Q分別為線段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3eq\o(B1P,\s\up7(―→))＝eq\o(PD1,\s\up7(―→))，若PQ⊥AE，eq\o(BD,\s\up7(―→))＝λeq\o(DQ,\s\up7(―→))，求λ的值．【解析】如圖所示，以D為原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up7(―→))，eq\o(DC,\s\up7(―→))，eq\o(DD1,\s\up7(―→))的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則A(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a,1)，因?yàn)?eq\o(B1P,\s\up7(―→))＝eq\o(PD1,\s\up7(―→))，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，所以3a－3＝－a，解得a＝eq\f(3,4)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，1)).由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b，b,0)，因?yàn)镻Q⊥AE，所以eq\o(PQ,\s\up7(―→))·eq\o(AE,\s\up7(―→))＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,4)，b－\f(3,4)，－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))＝0，即－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,4)))－eq\f(1,2)＝0，解得b＝eq\f(1,4)，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，因?yàn)閑q\o(BD,\s\up7(―→))＝λeq\o(DQ,\s\up7(―→))，所以(－1，－1,0)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，所以eq\f(λ,4)＝－1，故λ＝－4.【例2-4】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G分別是CC1，A1C1，CD的中點(diǎn)．證明：AB1∥GE，AB1⊥EF.證明：如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).∴eq\o(AB1,\s\up7(―→))＝(1,0,1)，eq\o(GE,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(EF,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2)))，∴eq\o(AB1,\s\up7(―→))＝2eq\o(GE,\s\up7(―→))，eq\o(AB1,\s\up7(―→))·eq\o(EF,\s\up7(―→))＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋0＋1×eq\f(1,2)＝0，∴eq\o(AB1,\s\up7(―→))∥eq\o(GE,\s\up7(―→))，eq\o(AB1,\s\up7(―→))⊥eq\o(EF,\s\up7(―→)).故AB1∥GE，AB1⊥EF.【例2-5】如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求證：CF⊥平面BDE.【證明】(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，連接EG.因?yàn)镋F∥AC，且EF＝1，AG＝eq\f(1,2)AC＝1，所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥EG.因?yàn)镋G?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.則C(0,0,0)，A(eq\r(2)，eq\r(2)，0)，B(0，eq\r(2)，0)，D(eq\r(2)，0,0)，E(0,0,1)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(2)，1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，0,1)．所以eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝0－1＋1＝0，eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝－1＋0＋1＝0，所以eq\o(CF,\s\up6(→))⊥eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即CF⊥BE，CF⊥DE.又BE∩DE＝E，且BE?平面BDE，DE?平面BDE，所以CF⊥平面BDE.考點(diǎn)三利用坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角、距離問題解題方略：1．利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的步驟(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)利用已知條件寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角．2．利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長度的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長．（一）夾角問題【例3-1】已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則eq\o(AC,\s\up7(―→))與eq\o(AB,\s\up7(―→))的夾角為()A．30° B．45°C．60° D．90°【解析】設(shè)eq\o(AC,\s\up7(―→))與eq\o(AC,\s\up7(―→))的夾角為θ.由題意得eq\o(AC,\s\up7(―→))＝(－1,1,0)，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(0,3,3)，∴cosθ＝eq\f(eq\o(AC,\s\up7(―→))·eq\o(AB,\s\up7(―→)),|eq\o(AC,\s\up7(―→))||eq\o(AB,\s\up7(―→))|)＝eq\f(3,\r(2)×3\r(2))＝eq\f(1,2)，∴θ＝60°，故選C.變式1：已知a＋b＝(2，eq\r(2)，2eq\r(3))，a－b＝(0，eq\r(2)，0)，則cos〈a，b〉＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,6)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(6),6)【解析】由已知得a＝(1，eq\r(2)，eq\r(3))，b＝(1,0，eq\r(3))，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1＋0＋3,\r(6)×\r(4))＝eq\f(\r(6),3).故選C【例3-2】若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．【解析】a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，設(shè)a，b的夾角為θ，因?yàn)棣葹殁g角，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a，b不會反向，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)（二）距離（模長）問題【例3-3】已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，則線段AB在yOz平面上的射影長為________．【解析】點(diǎn)A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分別為A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴線段AB在yOz平面上的射影長|A′B′|＝eq\r(（0－0）2＋（4－5）2＋（3＋7）2)＝eq\r(101).變式1：如圖，已知邊長為6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中點(diǎn)，eq\o(FM,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(MA,\s\up7(―→))，則線段OM的長為()A．3eq\r(2) B.eq\r(19)C．2eq\r(5) D.eq\r(21)【解析】由題意可建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則E(0,0,6)，B(6,6,0)，M(6,0,4)，O(3,3,3)，所以|eq\o(OM,\s\up7(―→))|＝eq\r(（6－3）2＋（0－3）2＋（4－3）2)＝eq\r(19)，即線段OM的長為eq\r(19)，故選B.變式2：已知，，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A． B．C．4 D．8【解析】設(shè)向量的夾角為θ，，，于是＝．由此可得．所以以為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選：A【例3-4】設(shè)，向量且，則（）A． B． C．3 D．4【解析】因?yàn)?，所以存在使得，所以，解得，所以，因?yàn)椋?，得，所以，所以，所?故選：C變式1：已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，則|a－b＋2c|等于()A．3eq\r(10)B．2eq\r(10)C.eq\r(10)D．5【解析】∵a－b＋2c＝(9,3,0)，∴|a－b＋2c|＝eq\r(92＋32＋02)＝3eq\r(10).故選A【例3-5】已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值是________．【解析】由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)．∴|b－a|＝eq\r(（1＋t）2＋（2t－1）2＋02)＝eq\r(5t2－2t＋2)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))2＋\f(9,5)).∴當(dāng)t＝eq\f(1,5)時(shí)，|b－a|的最小值為eq\f(3\r(5),5).答案：eq\f(3\r(5),5)變式1：已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值時(shí)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求此時(shí)的|eq\o(AB,\s\up6(→))|.【解析】由空間兩點(diǎn)間的距離公式得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（1－x）2＋[（x＋2）－（5－x）]2＋[（2－x）－（2x－1）]2)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7))，當(dāng)x＝eq\f(8,7)時(shí)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|有最小值為eq\f(\r(35),7).此時(shí)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,7)，\f(27,7)，\f(9,7)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,7)，\f(6,7))).（三）綜合應(yīng)用【例3-6】如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥B1C；(2)求FH的長；(3)求EF與C1G所成角的余弦值．【解析】(1)證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq\o(B1C,\s\up6(—→))＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(—→))＝eq\f(1,2)×(－1)＋eq\f(1,2)×0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－1)＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(B1C,\s\up6(—→))，即EF⊥B1C.(2)解∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))，∴eq\o(FH,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,8)，\f(1,2)))，∴|eq\o(FH,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(41),8).∴FH的長為eq\f(\r(41),8).(3)解∵C1(0,1,1)，G1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))，∴eq\o(C1G,\s\up6(—→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))－(0,1,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，－1)).∴|eq\o(C1G,\s\up6(—→))|＝eq\f(\r(17),4).又eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(C1G,\s\up6(—→))＝eq\f(1,2)×0＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－1)＝eq\f(3,8)，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，∴|cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(C1G,\s\up6(—→))〉|＝eq\f(|\o(EF,\s\up6(→))·\o(C1G,\s\up6(—→))|,\o(|EF,\s\up6(→))|·|\o(C1G,\s\up6(—→))|)＝eq\f(\r(51),17).即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為eq\f(\r(51),17).題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1、在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,3，－5)關(guān)于平面Oxy對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(－1,3，－5) B．(1,3,5)C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5)【解析】B2、已知點(diǎn)P(2,3，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy的對稱點(diǎn)為P1，點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz的對稱點(diǎn)為P2，點(diǎn)P2關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)為P3，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為__________．【解析】點(diǎn)P(2,3，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy的對稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2,3,1)，點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz的對稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－2,3,1)，點(diǎn)P2關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)P3的坐標(biāo)是(2，－3,1)．3、已知點(diǎn)A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．【解析】設(shè)點(diǎn)P(x，y，z)，則由eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－2－2x，,y－3＝6－2y，,z－1＝8－2z，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3，,z＝3，))即P(－1,3,3)．4、【多選】若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，則()A．cos〈a，b〉＝－eq\f(2,5) B．a(chǎn)⊥bC．a(chǎn)∥b D．|a|＝|b|【解析】∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，∴|a|＝eq\r(5)，|b|＝eq\r(5)，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2,5)＝－eq\f(2,5).故A、D正確，B、C不正確．故選AD5、已知M1(2,5，－3)，M2(3，－2，－5)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)在線段M1M2上的一點(diǎn)M滿足eq\o(M1M2,\s\up7(――→))＝4eq\o(MM2,\s\up7(――→))，則向量eq\o(OM,\s\up7(―→))的坐標(biāo)為________．【解析】設(shè)M(x，y，z)，則eq\o(M1M2,\s\up7(――→))＝(1，－7，－2)，eq\o(MM2,\s\up7(――→))＝(3－x，－2－y，－5－z)．又∵eq\o(M1M2,\s\up7(――→))＝4eq\o(MM2,\s\up7(――→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝4（3－x），,－7＝4（－2－y），,－2＝4（－5－z），))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(11,4)，,y＝－\f(1,4)，,z＝－\f(9,2).))答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,4)，－\f(1,4)，－\f(9,2)))6、已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq\r(29)，且λ>0，則λ等于()A．5B．4C．3D．2【解析】λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝eq\r(42＋（1－λ）2＋λ2)＝eq\r(29)，且λ>0，解得λ＝3.故選C7、已知點(diǎn)A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，則A，B兩點(diǎn)的距離的最小值為()A.eq\f(3\r(10),10)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(3\r(5),5)D.eq\f(3,5)【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，所以|AB|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋(t－t)2＝5t2－2t＋2，由二次函數(shù)易知，當(dāng)t＝eq\f(1,5)時(shí)，取得最小值為eq\f(9,5)，所以|AB|的最小值為eq\f(3\r(5),5).8、已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq\r(14)，若(a＋b)·c＝7，則a與c的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，所以cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a||c|)＝－eq\f(1,2)，所以〈a，c〉＝120°.故選C9、已知向量a＝(5,3,1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，t，－\f(2,5)))，若a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為________．【解析】由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))＝3t－eq\f(52,5)，因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以a·b<0，即3t－eq\f(52,5)<0，所以t<eq\f(52,15).若a與b的夾角為180°，則存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，即(5,3,1)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，t，－\f(2,5)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝－2λ，,3＝tλ，,1＝－\f(2,5)λ，))所以t＝－eq\f(6,5)，故t的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(6,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(52,15))).題組B能力提升練10、如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E在棱AB上移動，則直線D1E與A1D所成角的大小是________，若D1E⊥EC，則AE＝________.【解析】在長方體ABCD－A1B1C1D1中，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．又AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E在棱AB上移動.則D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,2,0)，設(shè)E(1，m,0)，0≤m≤2，則eq\o(D1E,\s\up6(—→))＝(1，m，－1)，eq\o(A1D,\s\up6(—→))＝(－1,0，－1)，∴eq\o(D1E,\s\up6(—→))·eq\o(A1D,\s\up6(—→))＝－1＋0＋1＝0，∴直線D1E與A1D所成角的大小是90°.∵eq\o(D1E,\s\up6(—→))＝(1，m，－1)，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(－1,2－m,0)，D1E⊥EC，∴eq\o(D1E,\s\up6(—→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝－1＋m(2－m)＋0＝0，解得m＝1，∴AE＝1.答案90°111、已知棱長為a的正四面體ABCD，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，O為A在底面上的射影，M，N分別為線段AB，AD的中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)是________，CN與DM所成角的余弦值為________．【解析】由正四面體的棱長為a，知△BCD的外接圓半徑為eq\f(\r(3),3)a.∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a，－\f(\r(3),6)a，0))，又正四面體的高為eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2)＝eq\f(\r(6),3)a，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6),3)a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)a，0))，∴AD的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),6)a，\f(\r(6),6)a))，AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a，－\f(\r(3),12)a，\f(\r(6),6)a)).∴eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a，－\f(5\r(3),12)a，\f(\r(6),6)a))，又Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(\r(3),6)a，0))，∴eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a，\f(\r(3),3)a，\f(\r(6),6)a)).∴|cos〈eq\o(DM,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(DM,\s\up6(→))·\o(CN,\s\up6(→))|,|\o(DM,\s\up6(→))||\o(CN,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,6)，∴異面直線CN與DM所成角的余弦值為eq\f(1,6).12、在△ABC中，A(2，－5,3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,1,2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，－2,5)．①求頂點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；②求eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))；③若點(diǎn)P在AC上，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】①設(shè)B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－2，y＋5，z－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x1－x，y1－y，z1－z)．因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝(4,1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝4，,y＋5＝1，,z－3＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝－4，,z＝5，))所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，－4,5)．因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))＝(3，－2,5)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－6＝3，,y1＋4＝－2，,z1－5＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝9，,y1＝－6，,z1＝10，))所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(9，－6,10)．②因?yàn)閑q\o(CA,\s\up6(→))＝(－7,1，－7)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，－2,5)，所以eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－21－2－35＝－58.③設(shè)P(x2，y2，z2)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(9－x2，－6－y2,10－z2)，于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝eq\f(1,2)(9－x2，－6－y2,10－z2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2＝\f(1,2)（9－x2），,y2＋5＝\f(1,2)（－6－y2），,z2－3＝\f(1,2)（10－z2），))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(13,3)，,y2＝－\f(16,3)，,z2＝\f(16,3)，))故點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，－\f(16,3)，\f(16,3))).13、已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)當(dāng)(λa＋b)∥(a－3b)時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的值；(2)當(dāng)(a－3b)⊥(λa＋b)時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的值．【解析】(1)∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．∵(λa＋b)∥(a－3b)，∴eq\f(λ－2,7)＝eq\f(5λ＋3,－4)＝eq\f(－λ＋5,－16)，解得λ＝－eq\f(1,3).(2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得