初一上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)詳細(xì)歸納與訓(xùn)練初一上冊(cè)數(shù)學(xué)是初中數(shù)學(xué)體系構(gòu)建的起點(diǎn)，扎實(shí)掌握本章知識(shí)點(diǎn)將為后續(xù)代數(shù)與幾何學(xué)習(xí)筑牢根基。以下結(jié)合教材邏輯與學(xué)習(xí)規(guī)律，對(duì)各章節(jié)核心內(nèi)容進(jìn)行歸納，并配套針對(duì)性訓(xùn)練，助力同學(xué)們深化理解、提升應(yīng)用能力。第一章有理數(shù)一、有理數(shù)的基本概念1.正數(shù)與負(fù)數(shù)正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是在正數(shù)前加“-”（負(fù)號(hào)）的數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)常用來(lái)表示相反意義的量（如海拔、盈虧、溫度等）。訓(xùn)練1：（1）如果收入300元記作+300元，那么支出150元應(yīng)記作______。（2）下列數(shù)中，屬于正數(shù)的是（）A.-2B.0C.$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$D.-0.52.有理數(shù)的分類(lèi)有理數(shù)可按定義分為“整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）”和“分?jǐn)?shù)（正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)）”；也可按符號(hào)分為“正有理數(shù)（正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)）、0、負(fù)有理數(shù)（負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)）”。需注意：有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)都屬于分?jǐn)?shù)。訓(xùn)練2：把下列數(shù)填入對(duì)應(yīng)集合：$-3$，$0.6$，$-\frac{1}{2}$，$0$，$5$，$-0.\dot{3}$（循環(huán)小數(shù)）正有理數(shù)集合：$\{\boldsymbol{\quad\quad}\}$；負(fù)整數(shù)集合：$\{\boldsymbol{\quad\quad}\}$；分?jǐn)?shù)集合：$\{\boldsymbol{\quad\quad}\}$。3.數(shù)軸數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線。任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的大。訓(xùn)練3：在數(shù)軸上表示$-2$，$1.5$，$0$，$-\frac{1}{2}$，并比較它們的大小（用“<”連接）。4.相反數(shù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)（0的相反數(shù)是0）。若$a$與$b$互為相反數(shù)，則$a+b=0$；在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。訓(xùn)練4：（1）$-3$的相反數(shù)是______；$a$的相反數(shù)是______（用含$a$的式子表示）。（2）若$m$和$n$互為相反數(shù)，且$m=-5$，則$n=$______。5.絕對(duì)值數(shù)軸上表示數(shù)$a$的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做$a$的絕對(duì)值，記作$|a|$。性質(zhì)：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0；$|a|\geq0$（絕對(duì)值的非負(fù)性）。訓(xùn)練5：（1）計(jì)算$|-7|=$______，$|0|=$______，$|3.2|=$______。（2）若$|x|=5$，則$x=$______；若$|x-2|=0$，則$x=$______。二、有理數(shù)的運(yùn)算1.有理數(shù)的加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同符號(hào)，再把絕對(duì)值相加；異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的符號(hào)，再用較大絕對(duì)值減較小絕對(duì)值；互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。訓(xùn)練6：計(jì)算：（1）$(-3)+(-5)=$______；（2）$(-4)+7=$______；（3）$0+(-2.5)=$______。2.有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即$a-b=a+(-b)$。訓(xùn)練7：計(jì)算：（1）$5-8=$______；（2）$(-3)-(-7)=$______；（3）$(-2)-5=$______。3.有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，再把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)同0相乘，都得0。多個(gè)有理數(shù)相乘時(shí)，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定（偶數(shù)個(gè)負(fù)因數(shù)得正，奇數(shù)個(gè)得負(fù)）。訓(xùn)練8：計(jì)算：（1）$(-2)×3=$______；（2）$(-4)×(-5)=$______；（3）$0×(-100)=$______；（4）$(-2)×3×(-4)=$______。4.有理數(shù)的除法法則：除以一個(gè)非0數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)（$a÷b=a×\frac{1}$，$b≠0$）；兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，再把絕對(duì)值相除；0除以任何非0數(shù)都得0。訓(xùn)練9：計(jì)算：（1）$(-12)÷3=$______；（2）$(-24)÷(-6)=$______；（3）$0÷(-8)=$______；（4）$(-\frac{1}{2})÷\frac{1}{4}=$______。5.有理數(shù)的乘方求$n$個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫乘方，記作$a^n$（$a$是底數(shù)，$n$是指數(shù)）。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，偶次冪是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。訓(xùn)練10：計(jì)算：（1）$(-2)^3=$______；（2）$(-3)^4=$______；（3）$0^5=$______；（4）$-2^4=$______（注意與$(-2)^4$的區(qū)別）。6.有理數(shù)的混合運(yùn)算運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減；有括號(hào)的先算括號(hào)里的（小→中→大）。訓(xùn)練11：計(jì)算：（1）$-2^2+(-3)×(-4)$；（2）$[(-2)^3-(-4)]÷(-2)$。第二章整式的加減一、整式的相關(guān)概念1.單項(xiàng)式由數(shù)或字母的積組成的代數(shù)式叫單項(xiàng)式（單獨(dú)的數(shù)或字母也叫單項(xiàng)式）。單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫次數(shù)（注意：$\pi$是常數(shù)，不是字母）。訓(xùn)練12：（1）單項(xiàng)式$-3x^2y$的系數(shù)是______，次數(shù)是______。（2）下列單項(xiàng)式中，次數(shù)為3的是（）A.$3x$B.$-2xy^2$C.$x^3y$D.$2^3$2.多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式。多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)；多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫多項(xiàng)式的次數(shù)。訓(xùn)練13：（1）多項(xiàng)式$2x^3-3x^2+5$的項(xiàng)分別是______，常數(shù)項(xiàng)是______，次數(shù)是______。（2）多項(xiàng)式$-xy+3x^2-2$的次數(shù)是______，二次項(xiàng)系數(shù)是______。3.整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式。訓(xùn)練14：下列代數(shù)式中，屬于整式的是（）①$\frac{1}{x}$②$2x+y$③$-3x^2$④$\sqrt{x}$⑤$\pi$A.①②③B.②③⑤C.②③④D.①③⑤二、整式的加減運(yùn)算1.同類(lèi)項(xiàng)所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫同類(lèi)項(xiàng)（幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類(lèi)項(xiàng)）。訓(xùn)練15：下列各組中，屬于同類(lèi)項(xiàng)的是（）A.$2x^2y$與$2xy^2$B.$-3ab$與$2ba$C.$3x$與$3y$D.$2^3$與$3^2$2.合并同類(lèi)項(xiàng)把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫合并同類(lèi)項(xiàng)。法則：同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。訓(xùn)練16：合并同類(lèi)項(xiàng)：（1）$3x+2x=$______；（2）$-5y^2+3y^2=$______；（3）$2ab^2-3ab^2+ab^2=$______。3.去括號(hào)與添括號(hào)去括號(hào)：括號(hào)前是“+”，去括號(hào)后各項(xiàng)不變號(hào)；括號(hào)前是“-”，去括號(hào)后各項(xiàng)變號(hào)。添括號(hào)：與去括號(hào)相反，可用于式子變形。訓(xùn)練17：去括號(hào)：（1）$+(2x-3y)=$______；（2）$-(3a-2b)=$______；（3）$3(x+2y)-2(3x-y)=$______（先去括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng)）。4.整式的加減步驟：先去括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng)。訓(xùn)練18：計(jì)算：（1）$(3x^2+2x-1)+(2x^2-3x+5)$；（2）$(5a^2-3b)-(a^2-2b)$。第三章一元一次方程一、方程的基本概念1.方程與一元一次方程含有未知數(shù)的等式叫方程；只含一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)次數(shù)為1、等號(hào)兩邊都是整式的方程叫一元一次方程，標(biāo)準(zhǔn)形式為$ax+b=0$（$a≠0$）。訓(xùn)練19：下列方程中，是一元一次方程的是（）A.$3x+2y=5$B.$x^2-1=0$C.$2x-3=0$D.$\frac{1}{x}+1=2$2.方程的解使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解。訓(xùn)練20：檢驗(yàn)$x=2$是否為方程$3x-5=1$的解：將$x=2$代入左邊，得______，右邊為1，左邊______右邊（填“=”或“≠”），所以$x=2$______（填“是”或“不是”）該方程的解。二、解一元一次方程的步驟1.等式的性質(zhì)性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等（$a=b\impliesa±c=b±c$）；性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)非0數(shù)，結(jié)果仍相等（$a=b\impliesac=bc$；$c≠0$時(shí)，$\frac{a}{c}=\frac{c}$）。訓(xùn)練21：（1）若$x=y$，則$x+3=y+$______；（2）若$2x=6$，則$x=6÷$______；（3）若$x-5=y-5$，則$x=$______。2.解一元一次方程的一般步驟去分母（若有分母）→去括號(hào)→移項(xiàng)（變號(hào)）→合并同類(lèi)項(xiàng)→系數(shù)化為1。訓(xùn)練22：解方程：（1）$3x+5=14$；（2）$2(x-1)=4$；（3）$\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{3}=1$（去分母時(shí)，兩邊同乘6）。三、一元一次方程的應(yīng)用1.列方程解應(yīng)用題的一般步驟審（審題，找等量關(guān)系）→設(shè)（設(shè)未知數(shù)，可直接設(shè)或間接設(shè)）→列（列方程）→解（解方程）→驗(yàn)（檢驗(yàn)解的合理性）→答（作答）。2.常見(jiàn)應(yīng)用題類(lèi)型（1）和差倍分問(wèn)題：利用“和、差、倍、分”的關(guān)系列方程（如“甲比乙大5”→甲=乙+5）。訓(xùn)練23：某數(shù)的3倍比它的2倍大10，求這個(gè)數(shù)。（2）行程問(wèn)題：路程=速度×?xí)r間（相遇問(wèn)題：路程和=總路程；追及問(wèn)題：路程差=初始距離）。訓(xùn)練24：甲、乙兩人相距20km，甲的速度為6km/h，乙的速度為4km/h，兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，幾小時(shí)后相遇？（3）工程問(wèn)題：工作總量=工作效率×工作時(shí)間（通常把工作總量設(shè)為1）。訓(xùn)練25：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天完成，乙單獨(dú)做需15天完成，兩人合作幾天完成？（4）銷(xiāo)售問(wèn)題：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=$\frac{\text{利潤(rùn)}}{\text{進(jìn)價(jià)}}×100\%$，售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣。訓(xùn)練26：一件商品標(biāo)價(jià)200元，打8折出售，仍可獲利20%，求進(jìn)價(jià)。第四章幾何圖形初步一、幾何圖形的認(rèn)識(shí)1.立體圖形與平面圖形立體圖形（如長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐等）：各部分不都在同一平面內(nèi)；平面圖形（如線段、角、圓等）：各部分都在同一平面內(nèi)。訓(xùn)練27：下列圖形中，屬于立體圖形的是（）A.線段B.圓C.圓柱D.三角形2.從不同方向看立體圖形主視圖（正面看）、左視圖（左面看）、俯視圖（上面看），可幫助還原立體圖形的形狀。訓(xùn)練28：畫(huà)出正方體、圓柱、圓錐的主視圖、左視圖、俯視圖。二、直線、射線、線段1.基本事實(shí)直線：兩點(diǎn)確定一條直線（經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線）；線段：兩點(diǎn)之間，線段最短（兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短）。訓(xùn)練29：（1）建筑工人砌墻時(shí)，常用鉛錘線確定直線，利用的是______；（2）從A地到B地架設(shè)電線，總是沿線段AB架設(shè)，理由是______。2.線段的比較與運(yùn)算比較：度量法、疊合法；和差：如線段$AC=AB+BC$，$AB=AC-BC$；中點(diǎn)：若$M$是$AB$的中點(diǎn)，則$AM=MB=\frac{1}{2}AB$，$AB=2AM=2MB$。訓(xùn)練30：（1）已知線段$AB=8\mathrm{cm}$，點(diǎn)$C$在線段$AB$上，且$AC=3\mathrm{cm}$，則$BC=$______$\mathrm{cm}$；（2）若點(diǎn)$M$是線段$AB$的中點(diǎn)，$AB=6\mathrm{cm}$，則$AM=$______$\mathrm{cm