人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊全冊教學(xué)課件第六章平面向量及其應(yīng)用

6.1平面向量的概念我們知道，力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量。本節(jié)我們將通過對這些量的抽象，形成向量概念及其表示方法；通過研究向量之間的一些特殊關(guān)系，初步認(rèn)識向量的一些特征。6.1.1向量的實(shí)際背景與概念在本章引言中，小船位移的大小是A，B兩地之間的距離15nmile，位移的方向是東南方向；小船航行速度的大小是10nmile/h，速度的方向是東南方向。又如，物體受到的重力是豎直向下的(圖1)，物體的質(zhì)量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的(圖2)，物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大。圖1圖2力、位移、速度等有各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它們的共同屬性。我們知道，從一支筆、一棵樹、一本書……中，可以抽象出只有大小的數(shù)量“1”。類似地我們可以對力、位移、速度……這些量進(jìn)行抽象，形成一種新的量。在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量，而把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量，如年齡身高、長度、面積、體積、質(zhì)量等都是數(shù)量。6.1.2向量的幾何表示由于數(shù)量可以用實(shí)數(shù)表示，而實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，所以數(shù)量可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，而且不同的點(diǎn)表示不同的數(shù)量。那么，該如何表示向量呢?我們?nèi)砸晕灰茷槔?，小船以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，我們可以用連接A，B兩點(diǎn)的線段長度代表小船行進(jìn)的距離，并在終點(diǎn)B處加上箭頭表示小船行駛的方向。于是，這條“帶有方向的線段”就可以用來表示位移。受此啟發(fā)，我們可以用帶箭頭的線段來表示向量，線段按一定比例(標(biāo)度)畫出，它的長短表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向。

表示有向線段時(shí)，起點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面。有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度。知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長度，它的終點(diǎn)就唯一確定了。

思考“向量就是有向線段，有向線段就是向量”的說法對嗎？答案錯(cuò)誤。理由是：①向量只有長度和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要長度和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；②有向線段有起點(diǎn)、長度和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管長度和方向相同，也是不同的有向線段。6.1.3相等向量與共線向量下面，我們通過向量之間的關(guān)系進(jìn)一步認(rèn)識向量。方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。如圖，用有向線段表示的向量a與b是兩個(gè)平行向量。向量a與b平行，記作a//b.我們規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有0//a.長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。如圖，用有向線段表示的向量a與b相等，記作a=b.任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)；同時(shí)，兩條方向相同且長度相等的有向線段表示同一個(gè)向量，因?yàn)橄蛄客耆伤哪：头较虼_定。

向量名稱定義零向量長度為0的向量，記作0單位向量長度等于

長度的向量平行向量(共線向量)方向

的非零向量；向量a，b平行，記作a∥b，規(guī)定：零向量與任意向量_____相等向量長度

且方向

的向量；向量a，b相等，記作a＝b1個(gè)單位相同或相反平行相等相同思考(1)平行向量是否一定方向相同？

不一定(2)不相等的向量是否一定不平行？

不一定(3)與任意向量都平行的向量是什么向量？

零向量(4)若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？

平行(共線)向量典例剖析

解析兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不確定；兩個(gè)單位向量也可能反向，則不相等，故B，C，D都錯(cuò)誤，A正確。BCD

解因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線。(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量。當(dāng)堂檢測在同一平面內(nèi)，把所有長度為1的向量的起點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)形成的圖形是()A.單位圓 B.一段弧C.線段 D.直線A(多選)下列說法錯(cuò)誤的為（）A.共線的兩個(gè)單位向量相等B.相等向量的起點(diǎn)相同解析：A錯(cuò)，共線的兩個(gè)單位向量的方向可能相反；B錯(cuò)，相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都可能不相同；C錯(cuò)，直線AB與CD可能重合；D錯(cuò)，AB與CD可能平行，則A，B，C，D四點(diǎn)不共線.ABCD

所以BA＝CD且BA∥CD，所以四邊形ABCD為平行四邊形.A4.如圖所示，設(shè)O是正方形ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的

有__________.(填序號)①②③0所以唯有零向量才能同時(shí)與兩個(gè)不共線向量平行。完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第六章平面向量及其應(yīng)用

6.2平面向量的運(yùn)算

6.2.1向量的加法運(yùn)算我們知道，數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算而使數(shù)的威力無窮。那么，向量是否也能像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算呢?人們從向量的物理背景和數(shù)的運(yùn)算中得到啟發(fā)，引進(jìn)了向量的運(yùn)算，本節(jié)我們就來研究平面向量的運(yùn)算，探索其運(yùn)算性質(zhì)，體會向量運(yùn)算的作用。下面先學(xué)習(xí)向量的加法。6.2.1向量的加法運(yùn)算如圖，某質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A

經(jīng)過點(diǎn)B到點(diǎn)C，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移如何表示?

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則，位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型。如圖，在光滑的平面上，一個(gè)物體同時(shí)受到兩個(gè)外力F1與F2的作用，你能作出這個(gè)物體所受的合力F嗎?我們知道，合力F在以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的對角線上，并且大小等于這條對角線的長。從運(yùn)算的角度看，F(xiàn)可以看作F1與F2的和，即力的合成可以看作向量的加法。

對于零向量與任意向量a，我們規(guī)定a+0=0+a=a.典例精析例1如圖，已知向量a，b，求作向量a+b.

(1)(2)一般地，我們有|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)a，b方向相同時(shí)等號成立。根據(jù)數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，定義了一種運(yùn)算，就要研究相應(yīng)的運(yùn)算律，運(yùn)算律可以有效地簡化運(yùn)算.

由圖(2)，你能否驗(yàn)證(a+b)+c=a+(b+c)?綜上所述，向量的加法滿足交換律和結(jié)合律.典例精析長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸，如圖，一艘船從長江南岸A地出發(fā)，垂直于對岸航行，航行速度的大小為15km/h，同時(shí)江水的速度為向東6km/h.用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度;(2)求船實(shí)際航行的速度的大小(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到1°.

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6.2平面向量的運(yùn)算

6.2.2向量的減法運(yùn)算與數(shù)x

的相反數(shù)是－x類似，我們規(guī)定，與向量a

長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向，因此a

和－a互為相反向量，于是－(－a)=a我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量.由兩個(gè)向量和的定義易知a+(－a)=(－a)+a=0,即任意向量與其相反向量的和是零向量。這樣，如果a，b互為相反向量，那么a=－b，b=－a，a+b=0.向量a

加上b的相反向量，叫做a

與b

的差，即a－b=a+(－b).求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.我們看到，向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行：減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.

如圖(1)，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.

典例精析

典例精析完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第六章平面向量及其應(yīng)用

6.2平面向量的運(yùn)算

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算

計(jì)算：(1)(－3)×4a;(2)3(a＋b)－2(a－b)－a;(3)(2a+3b－c)－(3a－2b+c).解：(1)原式=(－3×4)a=－12a;(2)原式=3a+3b－2a+2b－a=5b;(3)原式=2a+3b－c－3a+2b－c

=－a+5b－2c.典例精析

典例精析

典例精析

典例精析

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6.2平面向量的運(yùn)算

6.2.4向量的數(shù)量積前面我們學(xué)習(xí)了向量的加、減運(yùn)算.類比數(shù)的運(yùn)算，出現(xiàn)了個(gè)自然的問題：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義?

功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量來確定.這給我們一種啟示，能否把“功”看作兩個(gè)向量“相乘”的結(jié)果呢？受此啟發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念.因?yàn)榱ψ龉Φ挠?jì)算公式中涉及力與位移的夾角，所以我們先要定義向量的夾角概念.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.對比向量的線性運(yùn)算，我們發(fā)現(xiàn)，向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，而兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長度及其夾角有關(guān).a，b的夾角記作.典例精析

典例精析

a·a

常常記作a2.與向量的線性運(yùn)算一樣，定義了向量的數(shù)量積后，就要研究數(shù)量積運(yùn)算是否滿足一些運(yùn)算律.

下面我們利用向量投影證明分配律(3).

典例精析我們知道，對任意a，b∈R，恒有(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)(a－b)=a2－b2對任意向量a，b，是否也有下面類似的結(jié)論?(1)(a+b)2=

a2+2a·b+b2；(2)(a+b)·(a－b)=a2－b2.解：(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2(2)(a+b)·(a-b)

=a·a－a·b+b·a－b·b=a2－b2.因此，上述結(jié)論是成立的.典例精析已知|a|

=6，|

b|=4，a

與b的夾角為60°，求(a+2b)·(a－3b).

典例精析已知|a|=3，|

b|=4，且a與b不共線.當(dāng)k為何值時(shí)，向量a+kb與a－kb互相垂直?

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6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

6.3.1平面向量基本定理上節(jié)我們學(xué)習(xí)了向量的運(yùn)算，知道位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示.類似地，平面內(nèi)任一向量是否可以由同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量表示呢?我們知道，已知兩個(gè)力，可以求出它們的合力；反過來，一個(gè)力可以分解為兩個(gè)力.如圖，我們可以根據(jù)解決實(shí)際問題的需要，通過作平行四邊形，將力F分解為多組大小、方向不同的分力.由力的分解得到啟發(fā)，我們能否通過作平行四邊形，將向量a分解為兩個(gè)向量，使向量a是這兩個(gè)向量的和呢?

典例精析

典例精析

向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應(yīng)的兩條線段(或直線)是否垂直的重要方法之一.完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第六章平面向量及其應(yīng)用

6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形.把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。如圖，重力G

沿互相垂直的兩個(gè)方向分解就是正交分解。正交分解是向量分解中常見而實(shí)用的一種情形.重力G可以分解為這樣兩個(gè)分力：平行于斜面使木塊沿斜面下滑的力F1，垂直于斜面的壓力F2。在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時(shí)，將為我們研究問題帶來方便.思考我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對有序?qū)崝?shù)(即它的坐標(biāo))表示.那么，如何表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)向量呢?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底.對于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使得a=xi+

yj.這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x，y).①其中，x

叫做

a

在x

軸上的坐標(biāo)，y

叫做a在y

軸上的坐標(biāo)，①叫做向量

a

的坐標(biāo)表示.顯然，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).

典例精析

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6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

6.3.3平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示思考已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a+b，a－b的坐標(biāo)嗎?a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)

=x1i+x2i

+y1j+y2j

=(x1+x2)i+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2，y1+y2).同理可得a－b=(x1－x2，y1－y2).這就是說，兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).典例精析已知a=(2，1)，b=(－3，4)，求a+b，a－b的坐標(biāo).解：a+b=(2，1)+(－3，4)=(－1，5)，

a－b=(2，1)－(－3，4)=(5，－3).探究

因此，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).典例精析如圖，已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).解法1：如圖，設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y).

1=3－x，2=4－y，x=2，y=2.所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，2).

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6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示思考

這就是說，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).典例精析已知a=(2，1)，b=(－3，4)，求3a+4b的坐標(biāo).解：3a+4b=3(2，1)+4(－3，4)=(6，3)+(－12，16)

=(－6，19).探究如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)向量共線的條件?

典例精析已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a//b，求y.解：因?yàn)閍//b，所以

4y－2×6=0.解得y=3.典例精析已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判斷A，B，C

三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.解：在平面直角坐標(biāo)系中作出A，B，C三點(diǎn)(如右圖).觀察圖形，我們猜想A，B，C三點(diǎn)共線.下面來證明.

典例精析設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2

，y2).(1)當(dāng)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)

若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則

此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

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6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示思考已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，怎樣用a與b

的坐標(biāo)表示a·b呢?因?yàn)閍=x1i+y1j，b=x2i+y2j，所以a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+y1x2j·i+y1y2j2.又i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0所以a·b=x1x2+y1y2.這就是說，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.

典例精析若點(diǎn)A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，則△ABC是什么形狀？證明你的猜想.

典例精析

用向量方法證明兩角差的余弦公式cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

典例精析

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6.4平面向量的應(yīng)用

6.4.1平面幾何中的向量方法前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的概念和運(yùn)算，并通過平面向量基本定理，把向量的運(yùn)算化歸為實(shí)數(shù)的運(yùn)算.本節(jié)我們將學(xué)習(xí)運(yùn)用向量方法解決平面幾何、物理中的問題，感受向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用.同時(shí)我們還將借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，把解直角三角形問題拓展到解任意三角形問題.由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此平面幾何中的許多問題都可用向量運(yùn)算的方法加以解決.下面通過兩個(gè)具體實(shí)例，說明向量方法在平面幾何中的應(yīng)用.典例精析

平面幾何經(jīng)常涉及距離(線段長度)和角度問題，而平面向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角，因此我們可以用向量方法解決某些幾何問題.用向量方法解決幾何問題時(shí)，通常先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素，然后通過向量的運(yùn)算來研究點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系，最后再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，便得到幾何問題的結(jié)論.用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”:(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題;(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.典例精析如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎?分析：平行四邊形中與兩條對角線對應(yīng)的向量恰是與兩條鄰邊對應(yīng)的兩個(gè)向量的和與差，我們可以通過向量運(yùn)算來探索它們的模之間的關(guān)系.

完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第六章平面向量及其應(yīng)用

6.4平面向量的應(yīng)用

6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例典例精析在日常生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，兩個(gè)拉力夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎?分析：不妨以兩人共提旅行包為例，只要研究清楚兩個(gè)拉力的合力、旅行包所受的重力以及兩個(gè)拉力的夾角三者之間的關(guān)系，就可以獲得問題的數(shù)學(xué)解釋.

典例精析如圖，一條河兩岸平行，河的寬度d=500m，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行.已知船的速度v1的大小為|v1|

=10km/h，水流速度v2的大小為|v2|

=2km/h，那么當(dāng)航程最短時(shí)，這艘船行駛完全程需要多長時(shí)間(精確到0.1min)？分析：如果水是靜止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行駛，就能使航程最短，此時(shí)所用時(shí)間也是最短的.考慮到水的流速，要使航程最短，船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于河岸.

完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第六章平面向量及其應(yīng)用

6.4平面向量的應(yīng)用

6.4.3余弦定理、正弦定理一個(gè)三角形含有各種各樣的幾何量，例如三邊邊長、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積等，它們之間存在著確定的關(guān)系.例如，在初中，我們得到過勾股定理、銳角三角函數(shù)，這是直角三角形中的邊、角定量關(guān)系.對于一般三角形，我們已經(jīng)定性地研究過三角形的邊、角關(guān)系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法.這些判定方法表明，給定三角形的三個(gè)角、三條邊這六個(gè)元素中的某些元素，這個(gè)三角形就是唯一確定的.那么三角形的其他元素與給定的某些元素有怎樣的數(shù)量關(guān)系?1.余弦定理我們知道，兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.這說明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.也就是說，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來表示.那么，表示的公式是什么?探究在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，怎樣用a，b和C表示c?

由①得|c

|2=c·c=(a－b)·(a－b)=a·a+b·b－2a·b=a2+b2－2|a|

|b|cosC.所以c2=a2+b2－2abcosC同理可得a2=b2+c2－2bccosAb2=c2+a2－2cacosB.于是，我們得到了三角形中邊角關(guān)系的一個(gè)重要定理：余弦定理三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即a2=b2+c2－2bccosA,b2=c2+a2－2cacosB.c2=a2+b2－2abcosC.利用余弦定理，我們可以從三角形已知的兩邊及其夾角直接求出第三邊.由余弦定理，可以得到如下推論：

余弦定理及其推論把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫.利用推論，可以由三角形的三邊直接計(jì)算出三角形的三個(gè)角.從余弦定理及其推論可以看出，三角函數(shù)把幾何中關(guān)于三角形的定性結(jié)論變成了可定量計(jì)算的公式.如果△ABC中有一個(gè)角是直角，例如，C=90°，這時(shí)cos

C=0.由余弦定理可得c2=a2+b2，這就是勾股定理.由此可見，余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例.一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.

已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形

.典例精析在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°，解這個(gè)三角形(角度精確到1°，邊長精確到1cm).

典例精析

分析：由條件可求cosC，再利用余弦定理及其推論可求出B的值.

2.正弦定理在初中，我們得到了三角形中等邊對等角的結(jié)論.實(shí)際上，三角形中還有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.從量化的角度看，可以將這個(gè)邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為：在△ABC中，設(shè)A

的對邊為a，B

的對邊為b，求A，B，a，b之間的定量關(guān)系.

如果得出了這個(gè)定量關(guān)系，那么就可以直接解決“在△ABC中，已知A，B，a，求b”的問題.我們從熟悉的直角三角形的邊、角關(guān)系的分析入手.根據(jù)銳角三角函數(shù)，在Rt△ABC中(如圖)，有

對于銳角三角形和鈍角三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？因?yàn)樯婕叭切蔚倪?、角關(guān)系，所以仍然采用向量方法來研究.我們希望獲得△ABC中的邊a，b，c與它們所對角A，B，C的正弦之間的關(guān)系式.在向量運(yùn)算中，兩個(gè)向量的數(shù)量積與長度、角度有關(guān)，這就啟示我們可以用向量的數(shù)量積來探究.思考向量的數(shù)量積運(yùn)算中出現(xiàn)了角的余弦，而我們需要的是角的正弦.如何實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化?

下面先研究銳角三角形的情形.

正弦定理給出了任意三角形中三條邊與它們各自所對的角的正弦之間的一個(gè)定量關(guān)系.利用正弦定理，不僅可以解決“已知兩角和一邊，解三角形”的問題，還可以解決“已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形”的問題.以上我們利用向量方法獲得了正弦定理、余弦定理.事實(shí)上，探索和證明這兩個(gè)定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加簡潔.你還能想到其他方法嗎?典例精析

典例精析

3.余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例在實(shí)踐中，我們經(jīng)常會遇到測量距離、高度、角度等實(shí)際問題.解決這類問題，通常需要借助經(jīng)緯儀以及卷尺等測量角和距離的工具進(jìn)行測量.具體測量時(shí)，我們常常遇到“不能到達(dá)”的困難，這就需要設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)臏y量方案.下面我們通過幾道例題來說明這種情況.需要注意的是，題中為什么要給出這些已知條件，而不是其他的條件.事實(shí)上，這些條件往往隱含著相應(yīng)測量問題在某種特定情境和條件限制下的一個(gè)測量方案，而且是這種情境與條件限制下的恰當(dāng)方案.典例精析如圖，A，B兩點(diǎn)都在河的對岸(不可到達(dá))，設(shè)計(jì)一種測量A，B兩點(diǎn)間距離的方法，并求出A，B間的距離.分析：若測量者在A，B兩點(diǎn)的對岸取定一點(diǎn)C(稱作測量基點(diǎn))，則在點(diǎn)C處只能測出∠ACB的大小，因而無法解決問題.為此，可以再取一點(diǎn)D，測出線段CD的長，以及∠ACD，∠CDB，∠BDA，這樣就可借助正弦定理和余弦定理算出距離了.

思考：在上述測量方案下，還有其他計(jì)算A，B兩點(diǎn)間距離的方法嗎?

典例精析如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn).設(shè)計(jì)一種測量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度，分析：由銳角三角函數(shù)知識可知，只要獲得一點(diǎn)C(點(diǎn)C到地面的距離可求)到建筑物的頂部A的距離CA，并測出由點(diǎn)C觀察A的仰角，就可以計(jì)算出建筑物的高度.為此，應(yīng)再選取一點(diǎn)D，構(gòu)造另一個(gè)含有CA的△ACD，并進(jìn)行相關(guān)的長度和角度的測量，然后通過解三角形的方法計(jì)算出CA.

位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營救.甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西30°，且與甲船相距7nmile的C處的乙船.那么乙船前往營救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的目標(biāo)方向線(由觀測點(diǎn)看目標(biāo)的視線)的方向是北偏東多少度(精確到1°)?需要航行的距離是多少海里(精確到1nmile)?分析：首先應(yīng)根據(jù)“正東方向”“南偏西30°”“目標(biāo)方向線”等信息，畫出示意圖.解：根據(jù)題意，畫出示意圖(如圖).由余弦定理，得

完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第七章復(fù)數(shù)

7.1復(fù)數(shù)的概念在解決求判別式小于0的實(shí)系數(shù)一元二次方程根的問題時(shí)，一個(gè)自然的想法是，能否像引進(jìn)無理數(shù)而把有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集那樣，通過引進(jìn)新的數(shù)而使實(shí)數(shù)集得到擴(kuò)充，從而使方程變得可解呢？復(fù)數(shù)概念的引入與這種想法直接相關(guān).7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念從方程的角度看，負(fù)實(shí)數(shù)能不能開平方，就是方程x2+a=0(a>0)有沒有解，進(jìn)而可以歸結(jié)為方程x2+1=0有沒有解.探究我們知道，方程x2+1=0在實(shí)數(shù)集中無解.聯(lián)系從自然數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充過程，你能給出一種方法，適當(dāng)擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，使這個(gè)方程有解嗎?回顧已有的數(shù)集擴(kuò)充過程，可以看到，每一次擴(kuò)充都與實(shí)際需求密切相關(guān).例如，為了解決正方形對角線的度量，以及x2－2=0這樣的方程在有理數(shù)集中無解的問題，人們把有理數(shù)集擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)集.數(shù)集擴(kuò)充后，在實(shí)數(shù)集中規(guī)定的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算，與原來在有理數(shù)集中規(guī)定的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致，并且加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律.依照這種思想，為了解決x2+1=0這樣的方程在實(shí)數(shù)系中無解的問題，我們設(shè)想引入一個(gè)新數(shù)i，使得x=i是方程x2+1=0的解，即使得i2=－1.i是數(shù)學(xué)家歐拉最早引入的，它取自imaginary(想象的，假想的)一詞的詞頭.i2=i·i.思考把新引進(jìn)的數(shù)i添加到實(shí)數(shù)集中，我們希望數(shù)i和實(shí)數(shù)之間仍然能像實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，并希望加法和乘法都滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對加法滿足分配律.那么，實(shí)數(shù)系經(jīng)過擴(kuò)充后，得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢?依照以上設(shè)想，把實(shí)數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi；把實(shí)數(shù)a與bi相加，結(jié)果記作a＋bi.注意到所有實(shí)數(shù)以及i都可以寫成a+bi(a，b∈R)的形式，從而這些數(shù)都在擴(kuò)充后的新數(shù)集中.我們把形如a+bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a，b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.這樣，方程x2+1=0在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R).以后不作特殊說明時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi都有a，b∈R，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a，b∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定:a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c

且b=d.

復(fù)數(shù)集C與實(shí)數(shù)集R之間有什么關(guān)系?顯然，實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即R

?

C.這樣，復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)可以分類如下:復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)(b=0)，虛數(shù)(b≠0)(當(dāng)a=0時(shí)為純虛數(shù))復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系，可用圖表示.典例精析當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+(m－1)i是下列數(shù)?(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)分析：因?yàn)閙∈R，所以m+1，m－1都是實(shí)數(shù).由復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的取值.解：(1)當(dāng)m－1=0，即m=1時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù).(2)當(dāng)m－1≠0，即m≠1時(shí)，復(fù)數(shù)z

是虛數(shù)(3)當(dāng)m+1=0，且m－1≠0，即m=－1時(shí)，復(fù)數(shù)z

是純虛數(shù).7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，因此實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示.復(fù)數(shù)有什么幾何意義呢?思考根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(a，b)唯一確定；反之也對.由此你能想到復(fù)數(shù)的幾何表示方法嗎?因?yàn)槿魏我粋€(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(a，b)唯一確定，并且任給一個(gè)復(fù)數(shù)也可以唯一確定一個(gè)有序?qū)崝?shù)對，所以復(fù)數(shù)z=a+bi與有序?qū)崝?shù)對(a，b)是一一對應(yīng)的.而有序?qū)崝?shù)對(a，b)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.如圖，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點(diǎn)Z(a，b)表示.這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).例如，復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)(0，0)表示實(shí)數(shù)0，實(shí)軸上的點(diǎn)(2，0)表示實(shí)數(shù)2，虛軸上的點(diǎn)(0，－1)表示純虛數(shù)－i，點(diǎn)(－2，3)表示復(fù)數(shù)－2+3i等.按照這種表示方法，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對應(yīng).由此可知，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)按如下方式建立了一一對應(yīng)關(guān)系這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.思考在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的.你能用平面向量來表示復(fù)數(shù)嗎?

這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.

典例精析設(shè)復(fù)數(shù)z1=

4+3i，z2=4－3i.在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點(diǎn)和向量；(2)求復(fù)數(shù)z1，z2的模，并比較它們的模的大小.

一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即如果z=a+bi，那么z=a－bi.典例精析設(shè)z∈C，在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z，那么滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形?(1)|z

|=1；(2)1＜|z

|<

2.

(2)不等式1<|z|<2可化為不等式|z

|＜2，|z

|＞1.不等式|z|＜2的解集是圓|z|=2的內(nèi)部所有的點(diǎn)組成的集合，不等式|z|>1的解集是圓|z|=1外部所有的點(diǎn)組成的集合，這兩個(gè)集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是滿足條件1<|z|＜2的點(diǎn)Z的集合.容易看出，所求的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1及2為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界.完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第七章復(fù)數(shù)

7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算在上一節(jié)，我們把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集.引入新數(shù)集后，就要研究其中的數(shù)之間的運(yùn)算.下面就來討論復(fù)數(shù)集中的運(yùn)算問題.7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的加法法則如下：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)

是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的和(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).特別地，當(dāng)z1，z2都是實(shí)數(shù)時(shí)，把它們看作復(fù)數(shù)時(shí)的和就是這兩個(gè)實(shí)數(shù)的和.可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相加，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相加.復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律嗎?思考容易得到，對任意z1，

z2，z3∈C，有探究我們知道，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對應(yīng)。而我們討論過向量加法的幾何意義，你能由此出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎?

思考我們知道，實(shí)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算.類比實(shí)數(shù)減法的意義，你認(rèn)為該如何定義復(fù)數(shù)的減法?我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi(x，y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c，d∈R)的差，記作(a+bi)－(c+di).根據(jù)復(fù)數(shù)相等的含義，c+x=a，d+y=b,因此x=a－c，y=b－d，所以x+yi=(a－c)+(b－d)i,即(a+bi)－(c+di)=(a－c)+(b－d)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.由此可見，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相減，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相減.典例精析計(jì)算(5－6i)+(－2－i)－(3+4i).解：(5－6i)+(－2－i)－(3+4i)=(5－2－3)+(－6－1－4)i=－1li.典例精析根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之間的距離.

解：因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1=x1+y1i

，z2=x2+y2i，所以點(diǎn)Z1，Z2之間的距離為

7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的乘法法則如下：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2

=(ac－bd)+(ad+bc)i很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的積是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).特別地，當(dāng)z1，

z2都是實(shí)數(shù)時(shí)，把它們看作復(fù)數(shù)時(shí)的積就是這兩個(gè)實(shí)數(shù)的積.可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成－1，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可.容易得到，對于任意z1，z2，z∈C，有典例分析計(jì)算(1－2i)(3+4i)(－2+i).解：(1－2i)(3+4i)(－2+i)=(11－2i)(－2+i)=－20+15i.計(jì)算：(1)(2+3i)(2－3i);(2)(1+i)2.分析：本例可以用復(fù)數(shù)的乘法法則計(jì)算，也可以用乘法公式計(jì)算.解：(1)(2+3i)(2－3i)=22－(3i)2=4－(－9)=13;(2)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i－1=2i探究類比實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算.請?zhí)角髲?fù)數(shù)除法的法則.復(fù)數(shù)除法的法則是:

由此可見，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).

典例精析計(jì)算(1+2i)÷(3－4i).

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程:

(2)將方程ax2+bx+c=0的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得

配方，得

即

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為

完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第七章復(fù)數(shù)

7.3復(fù)數(shù)的三角表示前面我們研究了復(fù)數(shù)a+bi及其四則運(yùn)算，本節(jié)研究復(fù)數(shù)的另一種重要表示——復(fù)數(shù)的三角表示。它可以幫助我們進(jìn)一步認(rèn)識復(fù)數(shù)，同時(shí)能給復(fù)數(shù)的運(yùn)算帶來便利.7.3.1復(fù)數(shù)的三角表示式

探究

思考

其中

一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式.我們可以根據(jù)運(yùn)算的需要，將復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式進(jìn)行互化.典例精析畫出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式：

(2)1－i.分析：只要確定復(fù)數(shù)的模和一個(gè)輻角，就能將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式.

(2)復(fù)數(shù)1－i對應(yīng)的向量如圖所示，則

典例精析分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個(gè)輻角，畫出它們對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：(1)cosπ＋isinπ

每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此，兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.7.3.2復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義前面，我們研究了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除運(yùn)算，下面我們利用復(fù)數(shù)的三角表示研究復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算及其幾何意義.

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到

即這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.

典例精析

探究復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算。根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示，你能得出復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示嗎?

所以根據(jù)復(fù)數(shù)除法的定義，有這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.典例分析

完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第八章立體幾何初步

8.1基本立體圖形在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分。如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體。本節(jié)我們主要從幾何體的組成元素及其相互關(guān)系的角度，認(rèn)識幾種最基本的空間幾何體.觀察如圖，這些圖片中的物體具有怎樣的形狀？在日常生活中，我們把這些物體的形狀叫做什么？如何描述它們的形狀？圖①觀察一個(gè)物體，將它抽象成空間幾何體，并描述它的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)先從整體入手，想象圍成物體的每個(gè)面的形狀、面與面之間的關(guān)系，并注意利用平面圖形的知識.在圖①中，可以發(fā)現(xiàn)紙箱、金字塔、茶葉盒、金剛石、儲物箱等物體有相同的特點(diǎn)：圍成它們的每個(gè)面都是平面圖形，并且都是平面多邊形；紙杯、腰鼓、奶粉罐、籃球和足球、鉛錘等物體也有相同的特點(diǎn)：圍成它們的面不全是平面圖形，有些面是曲面.一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體(如圖).圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，如面ABE，面BAF；兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，如棱AE，棱EC；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)，如頂點(diǎn)E，頂點(diǎn)C.圖①中的紙箱、金字塔、茶葉盒、儲物箱等物體都具有多面體的形狀.在空間幾何體中說某個(gè)面是多邊形，一般也包括這個(gè)多邊形內(nèi)部的平面部分.

一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.如下圖中的旋轉(zhuǎn)體就是由平面曲線OAA’O’繞軸OO’旋轉(zhuǎn)形成的。圖①中的紙杯、奶粉罐、籃球和足球、鉛錘等物體都具有旋轉(zhuǎn)體的形狀.下面，我們從多面體和旋轉(zhuǎn)體組成元素的形狀、位置關(guān)系入手，進(jìn)一步認(rèn)識一些特殊的多面體和旋轉(zhuǎn)體.1.棱柱觀察圖中的長方體，它的每個(gè)面是什么樣的多邊形？不同的面之間有什么位置關(guān)系？可以發(fā)現(xiàn)，長方體的每個(gè)面都是平行四邊形(矩形)，并且相對的兩個(gè)面，如面ABCD和面A'B'C'D'，給我們以平行的形象，如同教室的地面和天花板一樣.如圖，一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.圖中的茶葉盒所表示的多面體就是棱柱.在棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是全等的多邊形；其余各面叫做棱柱的側(cè)面，它們都是平行四邊形；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示，如圖中的棱柱記作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'。棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……，我們把這樣的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……在圖中的長方體中，側(cè)棱和底面給我們以垂直的形象，如同教室里相鄰墻面的交線和地面的關(guān)系一樣.一般地，我們把側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(圖(1)(3))，側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(圖(2)(4)).底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱(圖(3)).底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體(圖(4)).2.棱錐像圖中金字塔這樣的多面體，均由平面圖形圍成，其中一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，并且這些三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn).如圖，一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱，各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn).棱錐用表示頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母來表示，如圖中的棱錐記作棱錐S-ABCD.棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……，我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……，其中三棱錐又叫四面體.底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.3.棱臺如圖，用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.圖①中的儲物箱就給我們以棱臺的形象在棱臺中，原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面，類似于棱柱、棱錐，棱臺也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn).棱臺用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示，如圖中的棱臺記作棱臺ABCD-A'B'C'D'.由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……典例精析將下列各類幾何體之間的關(guān)系用Venn圖表示出來：多面體，長方體，棱柱，棱錐，棱臺，直棱柱，四面體，平行六面體.解：如圖所示4.圓柱如圖，以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線.在生活中，許多物體和容器都是圓柱形的，如圖①中的奶粉罐。圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作圓柱O’O.5.圓錐與圓柱一樣，圓錐也可以看作由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的.如圖，以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.圖①中的鉛錘就是圓錐形物體圓錐也有軸、底面、側(cè)面和母線.圓錐也用表示它的軸的字母表示，如上圖中的圓錐記作圓錐SO.6.圓臺如圖，與棱臺類似，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.圖中的紙杯就是具有圓臺結(jié)構(gòu)特征的物體與圓柱和圓錐一樣，圓臺也有軸、底面、側(cè)面、母線(請你在圖中標(biāo)出它們).圓臺也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓臺記作圓臺O’O.7.球如圖，半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面.球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球。半圓的圓心叫做球的球心；連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑。球常用表示球心的字母來表示，如圖中的球記作球O.棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺和球是常見的簡單幾何體，其中棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體，棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體，棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體.8.簡單組合體現(xiàn)實(shí)世界中的物體表示的幾何體，除柱體、錐體、臺體和球等簡單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡單幾何體組合而成的，這些幾何體稱作簡單組合體.簡單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成，如圖(1)(2)中物體表示的幾何體；一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，如圖(3)(4)中的幾何體，現(xiàn)實(shí)世界中的物體大多是由具有柱體、錐體、臺體、球等結(jié)構(gòu)特征的物體組合而成.如圖(1)，以直角梯形ABCD的下底AB所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，說出這個(gè)幾何體的結(jié)構(gòu)特征.典例精析解：幾何體如圖(2)所示，其中DE⊥AB，垂足為E.

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8.2立體圖形的直觀圖前面我們認(rèn)識了柱體、錐體、臺體、球以及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征.為了將這些空間幾何體畫在紙上，用平面圖形表示出來，使我們能夠根據(jù)平面圖形想象空間幾何體的形狀和結(jié)構(gòu)，這就需要學(xué)習(xí)直觀圖的有關(guān)知識.直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形，畫立體圖形的直觀圖，實(shí)際上是把不完全在同一平面內(nèi)的點(diǎn)的集合，用同一平面內(nèi)的點(diǎn)表示。因此，直觀圖往往與立體圖形的真實(shí)形狀不完全相同，在立體幾何中，立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面圖形.

要畫立體圖形的直觀圖，首先要學(xué)會畫水平放置的平面圖形.在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過投影.一個(gè)物體的投影，不僅與這個(gè)物體的形狀有關(guān)，而且還與投影的方式和物體與投影面的位置關(guān)系有關(guān).如果一個(gè)矩形垂直于投影面，投影線不垂直于投影面，則矩形的平行投影是一個(gè)平行四邊形(如右圖).利用平行投影，人們獲得了畫直觀圖的斜二測畫法.利用這種畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，其步驟是：(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對應(yīng)的x’軸與y’軸，兩軸相交于點(diǎn)O’，日使∠x’O’y’=45°(或135°，它們確定的平面表示水平面.(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x’軸或y’軸的線段.

典例精析用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖.畫法：(1)如圖(1)，在正六邊形ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，AD的垂直平分線MN為y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.在圖(2)中，畫相應(yīng)的x’軸與y’軸，兩軸相交于點(diǎn)O’，使∠x’O’y’=45°

(3)連接A’B’，C’D’，D’E’，F(xiàn)’A’，并擦去輔助線x’軸和y’軸，便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A’B’C’D’E’F’(圖(3)).畫直觀圖時(shí)，除多邊形外，還經(jīng)常會遇到畫圓的直觀圖的問題，生活的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，水平放置的圓看起來非常像橢圓，因此我們一般用橢圓作為圓的直觀圖，實(shí)際畫圖時(shí)常用如圖所示的橢圓模板.在立體幾何中，常用正等測畫法畫水平放置的圓.畫幾何體的直觀圖時(shí)，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸，并且使平行于z軸的線段的平行性和長度都不變.下面介紹幾種簡單幾何體的直觀圖的畫法.典例精析已知長方體的長、寬、高分別是3cm，2cm，1.5cm，用斜二測畫法畫出它的直觀圖.分析：畫棱柱的直觀圖，通常將其底面水平放置，利用斜二測畫法畫出底面，再畫出側(cè)棱，就可以得到棱柱的直觀圖，長方體是一種特殊的棱柱，為畫圖簡便，可取經(jīng)過長方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所在直線作為x軸、y軸、z軸.畫法：(1)畫軸.如圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O(A)，使∠xOy=45°，∠xOz

=90°.(2)畫底面.在x軸正半軸上取線段AB，使AB=3cm；在y軸正半軸上取線段AD，使AD=1cm.過點(diǎn)B作y軸的平行線，過點(diǎn)D作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)為C，則?ABCD就是長方體的底面ABCD的直觀圖.(3)畫側(cè)棱.在z軸正半軸上取線段AA’，使AA’=1.5cm，過B，C，D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，在這些平行線上分別截取1.5cm長的線段BB’，CC’，DD’.(4)成圖.順次連接A’，B’，C’，D’，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長方體的直觀圖了.畫幾何體的直觀圖時(shí)，如果不作嚴(yán)格要求，圖形尺寸可以適當(dāng)選取.用斜二測畫法畫圖的角度也可以自定，但要求圖形具有一定的立體感典例精析已知圓柱的底面半徑為1cm，側(cè)面母線長3cm，畫出它的直觀圖.解：(1)畫軸.如圖，畫x軸、z軸，使∠xOz=90°.(2)畫下底面.以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上取線段AB，使OA=OB=1cm.利用橢圓模板畫橢圓，使其經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，這個(gè)橢圓就是圓柱的下底面.(3)畫上底面.在Oz上截取點(diǎn)O’，使OO’=3cm，過點(diǎn)O’作平行于軸Ox的軸O’x’.類似下底面的作法作出圓柱的上底面.(4)成圖，連接AA’，BB’，整理得到圓柱的直觀圖.對于圓錐的直觀圖，一般先畫圓錐的底面，再借助于圓錐的軸確定圓錐的頂點(diǎn)，最后畫出兩側(cè)的兩條母線(如圖).畫球的直觀圖，一般需要畫出球的輪廓線，它是一個(gè)圓.同時(shí)還經(jīng)常畫出經(jīng)過球心的截面圓，它們的直觀圖是橢圓，用以襯托球的立體性(如圖).典例精析某簡單組合體由上下兩部分組成，下部是一個(gè)圓柱，上部是一個(gè)圓錐，圓錐的底面與圓柱的上底面重合，畫出這個(gè)組合體的直觀圖.分析：畫組合體的直觀圖，先要分析它的結(jié)構(gòu)特征，知道其中有哪些簡單幾何體以及它們的組合方式，然后再畫直觀圖，本題中沒有尺寸要求，畫圖時(shí)只需選擇合適的大小，表達(dá)出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征就可以了.畫法：如圖，先畫出圓柱的上下底面，再在圓柱和圓錐共同的軸線上確定圓錐的頂點(diǎn)，最后畫出圓柱和圓錐的母線，并標(biāo)注相關(guān)字母，就得到組合體的直觀圖.完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第八章立體幾何初步

8.3簡單幾何體的表面積與體積前面我們分別認(rèn)識了基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征和平面表示，本節(jié)進(jìn)一步認(rèn)識簡單幾何體的表面積和體積.表面積是幾何體表面的面積，它表示幾何體表面的大小，體積是幾何體所占空間的大小.8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和.典例精析如圖，四面體P-ABC的各棱長均為a，求它的表面積.分析：因?yàn)樗拿骟wP-ABC的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個(gè)面的面積的4倍.

2.棱柱、棱錐、棱臺的體積我們以前已經(jīng)學(xué)習(xí)了特殊的棱柱——正方體、長方體的體積公式，它們分別是V正方體=a3(a是正方體的棱長),V長方體=abc(a，b，c分別是長方體的長、寬、高).一般地，如果棱柱的底面積是S，高是h，那么這個(gè)棱柱的體積V棱柱=Sh.棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線，這點(diǎn)與垂足(垂線與底面的交點(diǎn))之間的距離.如果一個(gè)棱柱和一個(gè)棱錐的底面積相等，高也相等，那么，棱柱的體積是棱錐的體積的3倍，因此，一般地，如果棱錐的底面面積為S，高為h，那么該棱錐的體積棱錐的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的距離.

由于棱臺是由棱錐截成的，因此可以利用兩個(gè)棱錐的體積差，得到棱臺的體積公式

其中S’，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高.棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，這點(diǎn)與垂足之間的距離.典例精析如圖，一個(gè)漏斗的上面部分是一個(gè)長方體，下面部分是一個(gè)四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面ABCD是邊長為1m的正方形，那么這個(gè)漏斗的容積是多少立方米(精確到0.01m3)?(計(jì)算漏斗的容積時(shí)不考慮漏斗的厚度)分析：漏斗由兩個(gè)多面體組成，其容積就是兩個(gè)多面體的體積和。解：由題意知V長方體ABCD-A’B’C’D’=1×1×0.5

=0.5(m3),

所以這個(gè)漏斗的容積

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積與多面體的表面積一樣，圓柱、圓錐、圓臺的表面積也是圍成它的各個(gè)面的面積和.利用圓柱、圓錐、圓臺的展開圖(如下圖)，可