高考數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)題解析高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)進(jìn)入沖刺階段，綜合題的訓(xùn)練與反思至關(guān)重要。這類題目往往知識(shí)點(diǎn)覆蓋面廣，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用要求高，是拉開分?jǐn)?shù)差距的關(guān)鍵。本文將選取幾道具有代表性的高考數(shù)學(xué)綜合題，進(jìn)行深入解析，旨在幫助同學(xué)們提煉解題思路，掌握解題技巧，提升綜合應(yīng)試能力。我們將側(cè)重于分析題目考查的核心知識(shí)點(diǎn)、解題的突破口以及易錯(cuò)點(diǎn)，力求讓大家在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)能夠沉著應(yīng)對(duì)，游刃有余。一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題：構(gòu)建模型，巧用導(dǎo)數(shù)研究性質(zhì)函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的主線，而導(dǎo)數(shù)則是研究函數(shù)性質(zhì)、解決函數(shù)問(wèn)題的銳利工具。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題，常常涉及函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點(diǎn)以及不等式證明等問(wèn)題，對(duì)邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力要求較高。例題：已知函數(shù)\(f(x)=xe^x-a(x+\lnx)\)，其中\(zhòng)(a\in\mathbb{R}\)。(1)若\(a=e\)，求函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)\(a>0\)時(shí)，求證：\(f(x)\geqa(1-a)\)。審題與思路點(diǎn)撥：第(1)問(wèn)，當(dāng)\(a=e\)時(shí)，函數(shù)具體化為\(f(x)=xe^x-e(x+\lnx)\)。求單調(diào)區(qū)間，常規(guī)思路是求導(dǎo)，然后分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)。這里需要注意函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)函數(shù)\(\lnx\)要求\(x>0\)，所以定義域是\((0,+\infty)\)。求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式可能需要進(jìn)行因式分解，以便于判斷符號(hào)。第(2)問(wèn)，證明不等式\(f(x)\geqa(1-a)\)，當(dāng)\(a>0\)時(shí)。這類問(wèn)題通?？梢赞D(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值（或下確界），并證明這個(gè)最小值大于等于\(a(1-a)\)。因此，需要對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)，分析其單調(diào)性，找到極值點(diǎn)，進(jìn)而確定最小值。這里可能會(huì)涉及到對(duì)參數(shù)\(a\)的討論，或者通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)來(lái)解決。解答過(guò)程：(1)當(dāng)\(a=e\)時(shí)，\(f(x)=xe^x-e(x+\lnx)\)，定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)。求導(dǎo)得：\(f'(x)=(x+1)e^x-e\left(1+\frac{1}{x}\right)=(x+1)e^x-e\left(\frac{x+1}{x}\right)=(x+1)\left(e^x-\frac{e}{x}\right)\)。因?yàn)閈(x>0\)，所以\(x+1>0\)。令\(g(x)=e^x-\frac{e}{x}\)，則\(g'(x)=e^x+\frac{e}{x^2}>0\)，故\(g(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增。又\(g(1)=e^1-\frac{e}{1}=0\)，所以當(dāng)\(x\in(0,1)\)時(shí)，\(g(x)<0\)，從而\(f'(x)<0\)；當(dāng)\(x\in(1,+\infty)\)時(shí)，\(g(x)>0\)，從而\(f'(x)>0\)。因此，\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,1)\)，單調(diào)遞增區(qū)間為\((1,+\infty)\)。(2)要證當(dāng)\(a>0\)時(shí)，\(f(x)\geqa(1-a)\)，即證\(xe^x-a(x+\lnx)-a(1-a)\geq0\)在\((0,+\infty)\)上恒成立。觀察\(x+\lnx\)，可令\(t=xe^x\)，則\(\lnt=x+\lnx\)，當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(t=xe^x\)單調(diào)遞增且\(t>0\)。于是不等式可化為\(t-a\lnt-a(1-a)\geq0\)，記\(h(t)=t-a\lnt-a(1-a)\)，\(t>0\)。則\(h'(t)=1-\frac{a}{t}=\frac{t-a}{t}\)。令\(h'(t)=0\)，得\(t=a\)。當(dāng)\(t\in(0,a)\)時(shí)，\(h'(t)<0\)，\(h(t)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(t\in(a,+\infty)\)時(shí)，\(h'(t)>0\)，\(h(t)\)單調(diào)遞增。故\(h(t)\)在\(t=a\)處取得最小值\(h(a)=a-a\lna-a(1-a)=a-a\lna-a+a^2=a^2-a\lna=a(a-\lna)\)。因?yàn)閈(a>0\)，令\(\varphi(a)=a-\lna\)，則\(\varphi'(a)=1-\frac{1}{a}=\frac{a-1}{a}\)。當(dāng)\(a\in(0,1)\)時(shí)，\(\varphi'(a)<0\)，\(\varphi(a)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(a\in(1,+\infty)\)時(shí)，\(\varphi'(a)>0\)，\(\varphi(a)\)單調(diào)遞增。所以\(\varphi(a)\geq\varphi(1)=1-0=1>0\)。因此，\(h(t)_{\min}=a\varphi(a)\geq0\)，即\(h(t)\geq0\)，原不等式得證。反思與總結(jié)：本題第(1)問(wèn)相對(duì)基礎(chǔ)，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求導(dǎo)和對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行合理變形，通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)并分析其單調(diào)性來(lái)確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。第(2)問(wèn)技巧性較強(qiáng)，通過(guò)變量代換（將\(xe^x\)視為整體\(t\)），將關(guān)于\(x\)的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于\(t\)的簡(jiǎn)單函數(shù)，大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題。這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。在證明過(guò)程中，兩次構(gòu)造函數(shù)（\(h(t)\)和\(\varphi(a)\)）并利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，是解決此類不等式恒成立問(wèn)題的常用策略。同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)，要注意積累這種“整體代換”、“構(gòu)造函數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)要熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求最值的步驟和方法，特別注意定義域?qū)瘮?shù)性質(zhì)的影響。二、立體幾何綜合題：空間想象，規(guī)范推理與計(jì)算立體幾何綜合題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離、體積的計(jì)算。這類題目既需要較強(qiáng)的空間想象能力，也需要規(guī)范的邏輯推理和準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)計(jì)算。例題：如圖，在四棱錐\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(E\)是\(PD\)的中點(diǎn)。已知\(AB=2\)，\(AD=2\sqrt{3}\)，\(PA=2\)。(1)求證：\(PB\parallel\)平面\(AEC\)；(2)求二面角\(E-AC-D\)的余弦值；(3)在線段\(PB\)上是否存在一點(diǎn)\(F\)，使得\(AF\perp\)平面\(AEC\)？若存在，求出線段\(PF\)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（注：此處原題應(yīng)配有圖形，解題時(shí)需結(jié)合圖形分析。若無(wú)圖形，需根據(jù)文字描述準(zhǔn)確還原幾何體。）審題與思路點(diǎn)撥：第(1)問(wèn)，證明線面平行。常規(guī)思路是在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行，或者利用面面平行的性質(zhì)。由\(E\)是\(PD\)中點(diǎn)，底面是矩形，考慮連接\(BD\)交\(AC\)于\(O\)，則\(O\)為\(BD\)中點(diǎn)，連接\(OE\)，利用三角形中位線性質(zhì)可證\(OE\parallelPB\)。第(2)問(wèn)，求二面角的余弦值。由于幾何體中存在\(PA\perp\)底面這種“線面垂直”的條件，非常適合建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解。需要準(zhǔn)確寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩個(gè)半平面的法向量，再利用向量夾角公式計(jì)算。注意二面角是銳角還是鈍角，根據(jù)圖形判斷余弦值的正負(fù)。第(3)問(wèn)，探索性問(wèn)題，是否存在點(diǎn)\(F\)使得\(AF\perp\)平面\(AEC\)。可先假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)\(F\)的坐標(biāo)（利用線段\(PB\)的參數(shù)方程或向量關(guān)系），根據(jù)\(AF\perp\)平面\(AEC\)，則\(AF\)應(yīng)與平面\(AEC\)的法向量平行（或\(AF\)垂直于平面內(nèi)兩條相交直線），從而列出方程求解參數(shù)。若參數(shù)有解且在合理范圍內(nèi)，則存在；否則不存在。解答過(guò)程：(1)證明：連接\(BD\)，交\(AC\)于點(diǎn)\(O\)。因?yàn)榈酌鎈(ABCD\)是矩形，所以\(O\)為\(BD\)的中點(diǎn)。又因?yàn)閈(E\)是\(PD\)的中點(diǎn)，所以在\(\trianglePBD\)中，\(OE\parallelPB\)。因?yàn)閈(PB\not\subset\)平面\(AEC\)，\(OE\subset\)平面\(AEC\)，所以\(PB\parallel\)平面\(AEC\)。(2)解：以\(A\)為原點(diǎn)，分別以\(AB\)、\(AD\)、\(AP\)所在直線為\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸，建立空間直角坐標(biāo)系\(A-xyz\)。則\(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(2,2\sqrt{3},0)\)，\(D(0,2\sqrt{3},0)\)，\(P(0,0,2)\)。因?yàn)閈(E\)是\(PD\)中點(diǎn)，所以\(E(0,\sqrt{3},1)\)。\(\overrightarrow{AE}=(0,\sqrt{3},1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(2,2\sqrt{3},0)\)。設(shè)平面\(AEC\)的法向量為\(\mathbf{n}=(x,y,z)\)，則\(\begin{cases}\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{AE}=0\\\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}\sqrt{3}y+z=0\\2x+2\sqrt{3}y=0\end{cases}\)。令\(y=1\)，則\(x=-\sqrt{3}\)，\(z=-\sqrt{3}\)。所以\(\mathbf{n}=(-\sqrt{3},1,-\sqrt{3})\)。平面\(ACD\)的一個(gè)法向量為\(\overrightarrow{AP}=(0,0,2)\)（或\(\mathbf{k}=(0,0,1)\)）。設(shè)二面角\(E-AC-D\)的大小為\(\theta\)，由圖可知\(\theta\)為銳角。則\(\cos\theta=\frac{|\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{AP}|}{|\mathbf{n}||\overrightarrow{AP}|}=\frac{|0+0+(-\sqrt{3})\times2|}{\sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2+(-\sqrt{3})^2}\times2}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+1+3}\times2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}\)。所以二面角\(E-AC-D\)的余弦值為\(\frac{\sqrt{21}}{7}\)。(3)解：假設(shè)在線段\(PB\)上存在一點(diǎn)\(F\)，使得\(AF\perp\)平面\(AEC\)。由\(P(0,0,2)\)，\(B(2,0,0)\)，可設(shè)\(\overrightarrow{PF}=\lambda\overrightarrow{PB}=\lambda(2,0,-2)\)，其中\(zhòng)(\lambda\in[0,1]\)。則\(F\)點(diǎn)坐標(biāo)為\(P+\overrightarrow{PF}=(0+2\lambda,0+0,2-2\lambda)=(2\lambda,0,2-2\lambda)\)。所以\(\overrightarrow{AF}=(2\lambda,0,2-2\lambda)\)。因?yàn)閈(AF\perp\)平面\(AEC\)，所以\(\overrightarrow{AF}\parallel\mathbf{n}\)（\(\mathbf{n}\)為平面\(AEC\)的法向量）。即存在實(shí)數(shù)\(\mu\)，使得\((2\lambda,0,2-2\lambda)=\mu(-\sqrt{3},1,-\sqrt{3})\)。則可得方程組：\(\begin{cases}2\lambda=-\sqrt{3}\mu\\0=\mu\times1\\2-2\lambda=-\sqrt{3}\mu\end{cases}\)。由第二個(gè)方程得\(\mu=0\)，代入第一個(gè)方程得\(\lambda=0\)，代入第三個(gè)方程得\(2=0\)，矛盾。因此，不存在這樣的點(diǎn)\(F\)。反思與總結(jié)：立體幾何證明題，輔助線的添加至關(guān)重要，如第(1)問(wèn)中連接對(duì)角線交點(diǎn)\(O\)，構(gòu)造中位線是證明線面平行的常用技巧。對(duì)于空間角的計(jì)算，向量法是一種普適且操作性強(qiáng)的方法，其關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后套用公式。坐標(biāo)系的選擇應(yīng)盡量使更多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以簡(jiǎn)化計(jì)算。探索性問(wèn)題的求解，通常先