直線與平面垂直判定教學(xué)實錄師：同學(xué)們，上課了。在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)認(rèn)識了空間中的點、線、面，以及它們之間的一些基本位置關(guān)系。今天我們來深入探討一種非常特殊也非常重要的線面位置關(guān)系——直線與平面垂直。大家先想想，在我們的生活中，有哪些直線與平面垂直的例子呢？（學(xué)生思考片刻，開始小聲議論）生1：教室里的墻角線，是不是和地面垂直？師：嗯，墻角的那條棱，它和地面的關(guān)系，我們感覺是“立得很直”。還有嗎？生2：操場上的旗桿，應(yīng)該是和地面垂直的。師：非常好的例子！旗桿如果安裝得“正”，它就穩(wěn)穩(wěn)地立在地面上，我們說旗桿所在的直線與地面所在的平面是垂直的。那么，從這些例子中，我們能抽象出什么樣的幾何特征呢？今天，我們就來一起學(xué)習(xí)如何準(zhǔn)確地判定一條直線與一個平面是否垂直。（板書課題：直線與平面垂直的判定）一、直線與平面垂直的概念師：我們先來明確一下，什么叫做直線與平面垂直。請大家看我這里（拿起一個長方體模型）。這個長方體的一條側(cè)棱，比如這條AA'，它和底面ABCD是什么關(guān)系？生眾：垂直。師：為什么你覺得它是垂直的？生3：因為它和底面的邊AB、AD都垂直。師：哦，它和AB垂直，和AD也垂直。那如果一條直線和平面內(nèi)的兩條直線都垂直，它就和這個平面垂直嗎？（稍作停頓，觀察學(xué)生反應(yīng)）我們再看，這條側(cè)棱AA'，它僅僅和AB、AD垂直嗎？它和底面ABCD內(nèi)的其他直線，比如BC，或者CD，甚至是底面內(nèi)任意一條你能畫出來的直線，是什么關(guān)系呢？生4：好像也是垂直的。師：是的。如果我們把這條側(cè)棱看作直線l，底面看作平面α，那么當(dāng)l與α垂直時，直線l似乎與平面α內(nèi)的每一條直線都垂直。這給了我們一個啟示。（板書）直線與平面垂直的定義：如果一條直線l與一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α。直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面。它們唯一的公共點叫做垂足。師：大家注意定義中的“任意一條直線”，這個“任意”兩個字非常關(guān)鍵。它意味著這條直線l要和平面α內(nèi)所有的直線都垂直，無一例外。那么，根據(jù)這個定義，我們能不能直接用來判定一條直線與一個平面垂直呢？生5：好像有點困難，平面內(nèi)有無數(shù)條直線，我們不可能一一去檢驗。師：說得非常好！定義雖然精確地描述了線面垂直的本質(zhì)，但直接用它來判定，在操作上幾乎是不可能的。我們需要一個更簡便、更具操作性的判定方法。這就是我們今天要研究的核心問題：直線與平面垂直的判定定理。二、直線與平面垂直的判定定理探究師：我們回到剛才的長方體模型。側(cè)棱AA'垂直于底面ABCD，它也垂直于底面內(nèi)的兩條相交直線AB和AD。這兩條直線AB和AD有什么特點？生6：它們相交。師：對，它們是相交的。那么，是不是一條直線只要和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，它就和這個平面垂直呢？這只是我們從一個模型中觀察到的現(xiàn)象，能不能作為一個普遍的規(guī)律呢？師：接下來，我們來做一個探究實驗。請大家拿出準(zhǔn)備好的三角形紙片（任意銳角或鈍角三角形均可），我們一起來做一個翻折實驗。（教師邊演示邊說明）實驗步驟：1.取△ABC，我們過一個頂點A翻折紙片，得到折痕AD。2.將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）。3.觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系。師：請大家動手操作一下，并思考：當(dāng)折痕AD滿足什么條件時，AD所在的直線與桌面所在的平面α垂直？（學(xué)生動手操作，小組討論）（幾分鐘后）師：哪位同學(xué)愿意分享一下你們小組的發(fā)現(xiàn)？生7：我們小組發(fā)現(xiàn)，如果翻折后，當(dāng)AD⊥BD且AD⊥CD時，把BD、DC放在桌面上，AD就好像和桌面垂直了。師：很好的觀察！其他小組有類似的發(fā)現(xiàn)嗎？（多數(shù)學(xué)生點頭）當(dāng)AD同時垂直于BD和CD，并且BD和CD是相交的（它們在桌面上交于點D），這時AD就與桌面垂直。師：那么，如果我們把桌面看作平面α，BD和CD看作平面α內(nèi)的兩條相交直線，AD看作直線l。這個實驗是不是在告訴我們：如果直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么直線l就與平面α垂直？生眾：好像是這樣。師：這個結(jié)論非常重要。我們再從邏輯上思考一下，如果一條直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線m、n都垂直，設(shè)它們的交點為O。根據(jù)我們之前學(xué)過的線面垂直的定義，如果我們能證明l與平面α內(nèi)任意一條直線g都垂直，那么l就垂直于α。這個證明過程在立體幾何的理論體系中是可以嚴(yán)格完成的，有興趣的同學(xué)課后可以查閱相關(guān)資料。今天，我們主要通過實驗感知和邏輯推演的思路，來接受這個判定方法。師：因此，我們得到了直線與平面垂直的判定定理。（板書）直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。師：我們來解讀一下這個定理。定理的條件有幾個？分別是什么？生8：有三個條件。直線l垂直于平面α內(nèi)的直線m，直線l垂直于平面α內(nèi)的直線n，而且直線m和n相交。師：非常準(zhǔn)確?。ò鍟簵l件：①l⊥m，②l⊥n，③m∩n=O，m?α，n?α。結(jié)論：l⊥α）師：這里的關(guān)鍵詞是“平面內(nèi)”、“兩條相交直線”?！跋嘟弧边@個條件能不能去掉？如果是兩條平行直線呢？生9：不能去掉。如果是兩條平行直線，比如教室墻壁上的一條橫線和它的平行線，一條直線垂直于這兩條平行線，但這條直線不一定和墻面垂直，它可能是沿著墻面的方向。師：非常好的反例！這說明“相交”這個條件是必不可少的。因此，我們在應(yīng)用判定定理時，一定要注意這三個條件缺一不可。我們可以簡單概括為“線線垂直，則線面垂直”，但這里的“線線垂直”，必須是直線與平面內(nèi)“兩條相交直線”都垂直。三、定理應(yīng)用與例題講解師：理解了判定定理，我們來看如何運用它來解決問題。例題：如圖，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。師：這是一個文字證明題，我們首先要根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知、求證。（教師在黑板上畫出圖形，并標(biāo)注字母）已知：a∥b，a⊥α。求證：b⊥α。師：要證明b⊥α，根據(jù)我們今天學(xué)習(xí)的判定定理，我們需要在平面α內(nèi)找到兩條相交直線，使得b與這兩條相交直線都垂直。大家思考一下，如何利用已知條件a⊥α和a∥b來找到這樣的直線？生10：因為a⊥α，根據(jù)線面垂直的定義，a應(yīng)該垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線。師：對！那我們就在平面α內(nèi)任意取兩條相交直線m和n，設(shè)它們相交于點O。（在圖中畫出m，n）證明：在平面α內(nèi)任取兩條相交直線m，n，且m∩n=O。∵a⊥α（已知），∴a⊥m，a⊥n（直線與平面垂直的定義）。又∵a∥b（已知），∴b⊥m，b⊥n（如果兩條平行直線中的一條垂直于一條直線，那么另一條也垂直于這條直線）?！適?α，n?α，m∩n=O（作圖），∴b⊥α（直線與平面垂直的判定定理）。師：這個例題告訴我們，如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。這是一個非常有用的結(jié)論。在證明過程中，我們先利用了線面垂直的定義得到線線垂直，再結(jié)合平行線的性質(zhì)，得到了目標(biāo)直線與平面內(nèi)兩條相交直線的垂直關(guān)系，最后應(yīng)用判定定理完成證明。思路要清晰，步驟要完整。師：下面，請大家嘗試解決一個簡單的問題。練習(xí)：如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求證：A'C'⊥平面BB'D'D。（學(xué)生思考，動筆書寫，教師巡視指導(dǎo)，適時點撥?？烧堃晃粚W(xué)生板演，然后師生共同點評）師：（待學(xué)生完成后）我們來看這位同學(xué)的證明過程。他首先連接了AC，因為在正方體中A'C'∥AC。然后，因為BD⊥AC（正方形對角線互相垂直），所以BD⊥A'C'。又因為BB'⊥平面A'B'C'D'，而A'C'?平面A'B'C'D'，所以BB'⊥A'C'。BD和BB'都在平面BB'D'D內(nèi)，且BD∩BB'=B，所以A'C'⊥平面BB'D'D。思路非常清晰，完全符合判定定理的要求。四、課堂小結(jié)師：今天這節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的判定。大家回顧一下，我們主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？生11：學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的定義，還有直線與平面垂直的判定定理。師：很好。定義是從“線線垂直”（與平面內(nèi)任意一條直線垂直）的角度刻畫了線面垂直。而判定定理則給我們提供了一個便捷的判定方法，即只要證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可。兩者的聯(lián)系與區(qū)別要搞清楚。生12：判定定理的條件是“平面內(nèi)”、“兩條”、“相交直線”，缺一不可。師：非常關(guān)鍵的一點！在應(yīng)用定理時，一定要嚴(yán)格按照條件來。師：我們還通過實驗探究、例題分析等方式加深了對概念和定理的理解。立體幾何的學(xué)習(xí)，需要我們多觀察、多動手、多思考，逐步建立空間想象能力。五、作業(yè)布置師：今天的作業(yè)是：1.課本習(xí)題X.X第X題，第Y題。2.思考題：如何證明三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直時，頂點在底面的射影是底面三角形的垂心？（選做）3.預(yù)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容：直線與平面垂直的性質(zhì)。師：好了，今天的課就上到這里。下課！生眾：老師再見！師：同學(xué)們再見！---教學(xué)反思（此部分為教師課后填寫，非教學(xué)實錄正文）：1.本節(jié)課通過生活實例引入，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。實驗探究環(huán)節(jié)學(xué)生參與度高，對理解判定定理的形成過程有積極作用。2.對定義中“任意一條直線”和判定定理中“