初中數(shù)學(xué)函數(shù)復(fù)習(xí)題及詳解同學(xué)們，函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，不僅是期末考試的重點，更是后續(xù)學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。它像一座橋梁，連接著代數(shù)表達式與幾何圖形，幫助我們從變化的角度認識世界。本次復(fù)習(xí)，我們將通過一系列典型習(xí)題，回顧函數(shù)的基本概念、圖像與性質(zhì)，并著重練習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的應(yīng)用，希望能幫助大家鞏固知識，提升解題能力。一、函數(shù)的核心概念回顧在開始習(xí)題演練之前，我們先簡要回顧一下函數(shù)的核心概念，這是解決所有函數(shù)問題的基礎(chǔ)。*函數(shù)的定義：在一個變化過程中，如果有兩個變量\(x\)和\(y\)，并且對于\(x\)的每一個確定的值，\(y\)都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說\(x\)是自變量，\(y\)是\(x\)的函數(shù)。*函數(shù)的三要素：自變量\(x\)的取值范圍（定義域）、函數(shù)值\(y\)的取值范圍（值域）以及對應(yīng)關(guān)系（通常用解析式、圖像或表格表示）。*函數(shù)的表示方法：解析法（用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)關(guān)系）、列表法（用表格列出部分對應(yīng)值）、圖像法（用坐標(biāo)系中的曲線表示）。理解了這些基本概念，我們就能更有底氣地迎接下面的挑戰(zhàn)了。二、一次函數(shù)與正比例函數(shù)一次函數(shù)是我們接觸的第一種基本函數(shù)類型，其重要性不言而喻。（一）典型例題與詳解例題1：概念辨析與基礎(chǔ)運算1.下列關(guān)系式中，哪些表示\(y\)是\(x\)的函數(shù)？為什么？(1)\(y=2x+1\)(2)\(y^2=x\)(3)\(y=\sqrt{x-1}\)(其中\(zhòng)(x\geq1\))詳解：(1)對于\(x\)的每一個確定的值，通過\(y=2x+1\)都能計算出唯一的\(y\)值，因此\(y\)是\(x\)的函數(shù)。(2)當(dāng)\(x=4\)時，\(y^2=4\)，則\(y=2\)或\(y=-2\)，即\(y\)有兩個值與\(x=4\)對應(yīng)，不符合“唯一確定”，因此\(y\)不是\(x\)的函數(shù)。(3)給定\(x\geq1\)，對于這個范圍內(nèi)的每一個\(x\)，\(\sqrt{x-1}\)都有唯一確定的非負實數(shù)值，因此\(y\)是\(x\)的函數(shù)。2.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x-2}+\sqrt{x+1}\)中自變量\(x\)的取值范圍。詳解：要使函數(shù)有意義，需考慮分母不為零和二次根式的被開方數(shù)非負。即：\(x-2\neq0\)且\(x+1\geq0\)解得：\(x\neq2\)且\(x\geq-1\)因此，自變量\(x\)的取值范圍是\(x\geq-1\)且\(x\neq2\)。3.已知一次函數(shù)\(f(x)=kx+b\)，若\(f(1)=3\)，\(f(-2)=-3\)，求此函數(shù)的解析式。詳解：由題意可得：當(dāng)\(x=1\)時，\(y=3\)，代入\(y=kx+b\)得：\(k\times1+b=3\)，即\(k+b=3\)...(1)當(dāng)\(x=-2\)時，\(y=-3\)，代入\(y=kx+b\)得：\(k\times(-2)+b=-3\)，即\(-2k+b=-3\)...(2)聯(lián)立方程(1)和(2)：\(k+b=3\)\(-2k+b=-3\)用(1)式減去(2)式消去\(b\)：\((k+b)-(-2k+b)=3-(-3)\)化簡得：\(3k=6\)，解得\(k=2\)將\(k=2\)代入(1)式：\(2+b=3\)，解得\(b=1\)所以，此一次函數(shù)的解析式為\(y=2x+1\)。例題2：一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.一次函數(shù)\(y=-3x+2\)的圖像經(jīng)過哪些象限？\(y\)隨\(x\)的增大如何變化？詳解：對于一次函數(shù)\(y=kx+b\)(\(k\neq0\))：當(dāng)\(k>0\)時，函數(shù)圖像從左到右上升，\(y\)隨\(x\)的增大而增大；當(dāng)\(k<0\)時，函數(shù)圖像從左到右下降，\(y\)隨\(x\)的增大而減小。當(dāng)\(b>0\)時，圖像與\(y\)軸交于正半軸；當(dāng)\(b<0\)時，圖像與\(y\)軸交于負半軸；當(dāng)\(b=0\)時，圖像過原點（正比例函數(shù)）。在函數(shù)\(y=-3x+2\)中，\(k=-3<0\)，\(b=2>0\)。因此，圖像經(jīng)過第一、二、四象限。由于\(k<0\)，所以\(y\)隨\(x\)的增大而減小。2.已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點\(A(0,-2)\)和點\(B(1,0)\)，(1)求此一次函數(shù)的解析式；(2)畫出此函數(shù)的圖像；(3)結(jié)合圖像，當(dāng)\(x\)取何值時，\(y>0\)？詳解：(1)設(shè)此一次函數(shù)的解析式為\(y=kx+b\)(\(k\neq0\))。因為函數(shù)圖像經(jīng)過點\(A(0,-2)\)，將\(x=0\)，\(y=-2\)代入解析式得：\(b=-2\)。又因為圖像經(jīng)過點\(B(1,0)\)，將\(x=1\)，\(y=0\)和\(b=-2\)代入解析式得：\(k\times1+(-2)=0\)，解得\(k=2\)。所以，此一次函數(shù)的解析式為\(y=2x-2\)。(2)圖像繪制提示：兩點確定一條直線。我們已經(jīng)知道兩個點\(A(0,-2)\)（與\(y\)軸交點）和\(B(1,0)\)（與\(x\)軸交點）。在平面直角坐標(biāo)系中描出這兩點，然后用直尺連接即可得到函數(shù)圖像。(3)結(jié)合圖像分析：“\(y>0\)”即函數(shù)圖像在\(x\)軸上方的部分。由圖像可知，函數(shù)\(y=2x-2\)與\(x\)軸交于點\(B(1,0)\)，且由于\(k=2>0\)，函數(shù)值\(y\)隨\(x\)的增大而增大。因此，當(dāng)\(x>1\)時，函數(shù)圖像在\(x\)軸上方，即\(y>0\)。例題3：一次函數(shù)的應(yīng)用小明從家出發(fā)去學(xué)校，先以一定速度勻速步行，走了一段路后，發(fā)現(xiàn)時間有點緊，于是改乘公交車勻速前往學(xué)校。設(shè)小明從家出發(fā)后所用時間為\(t\)（分鐘），離家的距離為\(s\)（米），下圖能大致反映\(s\)與\(t\)之間函數(shù)關(guān)系的是（）（注：此處應(yīng)有四個選項圖像，分別代表不同情況，如：A.先平后斜；B.先斜后更斜；C.先斜后平；D.先斜后斜但斜率變?。┰斀猓悍治鲱}意：小明從家出發(fā)，初始時\(t=0\)，\(s=0\)。第一階段：步行，勻速前進。此時，離家距離\(s\)隨時間\(t\)的增大而均勻增大，反映在圖像上是一條過原點的線段，斜率為步行速度。第二階段：改乘公交車，勻速前往。公交車速度比步行速度快，所以此時\(s\)仍然隨\(t\)的增大而均勻增大，但增大的速度（即圖像的斜率）比步行階段要大。因此，圖像仍是一條線段，但比第一階段的線段更“陡”。到達學(xué)校后，距離不再變化，但題目選項中若沒有此階段，則默認只畫到到達學(xué)校前。因此，符合上述描述的圖像應(yīng)該是先有一條斜率較小的線段（步行），然后接著一條斜率較大的線段（公交）。答案應(yīng)為選項B（假設(shè)備選項B是先斜后更斜的圖像）。三、反比例函數(shù)反比例函數(shù)是另一種重要的基本初等函數(shù)，其形式和性質(zhì)與一次函數(shù)有較大差異。（一）典型例題與詳解例題1：反比例函數(shù)的概念與基本性質(zhì)1.若函數(shù)\(y=(m+1)x^{m^2-3}\)是反比例函數(shù)，求\(m\)的值。詳解：反比例函數(shù)的一般形式為\(y=\frac{k}{x}\)(\(k\)為常數(shù)，\(k\neq0\))，也可以寫成\(y=kx^{-1}\)(\(k\neq0\))。因此，對于函數(shù)\(y=(m+1)x^{m^2-3}\)是反比例函數(shù)，需滿足：1.指數(shù)部分等于-1：\(m^2-3=-1\)2.系數(shù)不為零：\(m+1\neq0\)解第一個方程：\(m^2-3=-1\)→\(m^2=2\)→\(m=\sqrt{2}\)或\(m=-\sqrt{2}\)解第二個不等式：\(m+1\neq0\)→\(m\neq-1\)綜上，\(m=\sqrt{2}\)或\(m=-\sqrt{2}\)。2.已知反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)(\(k\neq0\))的圖像經(jīng)過點\((2,-3)\)，(1)求這個反比例函數(shù)的解析式；(2)判斷點\((-1,6)\)是否在這個函數(shù)的圖像上。詳解：(1)因為反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像經(jīng)過點\((2,-3)\)，所以將\(x=2\)，\(y=-3\)代入解析式得：\(-3=\frac{k}{2}\)，解得\(k=-6\)。因此，這個反比例函數(shù)的解析式為\(y=\frac{-6}{x}\)（或?qū)懗蒤(y=-\frac{6}{x}\)）。(2)要判斷點\((-1,6)\)是否在函數(shù)圖像上，只需將\(x=-1\)代入函數(shù)解析式，看計算出的\(y\)值是否等于6。當(dāng)\(x=-1\)時，\(y=-\frac{6}{-1}=6\)，與點的縱坐標(biāo)相等。所以，點\((-1,6)\)在這個函數(shù)的圖像上。例題2：反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.反比例函數(shù)\(y=\frac{4}{x}\)的圖像在哪些象限？在每個象限內(nèi)，\(y\)隨\(x\)的增大如何變化？詳解：對于反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)(\(k\neq0\))：當(dāng)\(k>0\)時，函數(shù)圖像的兩個分支分別位于第一、三象限；在每個象限內(nèi)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小。當(dāng)\(k<0\)時，函數(shù)圖像的兩個分支分別位于第二、四象限；在每個象限內(nèi)，\(y\)隨\(x\)的增大而增大。在函數(shù)\(y=\frac{4}{x}\)中，\(k=4>0\)。因此，其圖像的兩個分支分別位于第一、三象限。在每個象限內(nèi)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小。2.若點\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)都在反比例函數(shù)\(y=-\frac{3}{x}\)的圖像上，且\(x_1<0<x_2\)，則\(y_1\)與\(y_2\)的大小關(guān)系是（）A.\(y_1>y_2\)B.\(y_1<y_2\)C.\(y_1=y_2\)D.無法確定詳解：對于反比例函數(shù)\(y=-\frac{3}{x}\)，\(k=-3<0\)。當(dāng)\(x_1<0\)時，點\(A(x_1,y_1)\)在第二象限，因此\(y_1>0\)。當(dāng)\(x_2>0\)時，點\(B(x_2,y_2)\)在第四象限，因此\(y_2<0\)。所以，\(y_1>0>y_2\)，即\(y_1>y_2\)。答案選A。四、二次函數(shù)初步（選學(xué)與拓展）初中階段對二次函數(shù)的學(xué)習(xí)相對基礎(chǔ)，主要涉及基本概念、圖像的開口方向、頂點、對稱軸以及簡單的應(yīng)用。（一）典型例題與詳解例題1：二次函數(shù)的概念與解析式1.寫出一個開口向上，頂點坐標(biāo)為\((1,-2)\)的二次函數(shù)的解析式。詳解：二次函數(shù)的頂點式為\(y=a(x-h)^2+k\)(\(a\neq0\))，其中\(zhòng)((h,k)\)為頂點坐標(biāo)。已知頂點坐標(biāo)為\((1,-2)\)，所以\(h=1\)，\(k=-2\)。又因為拋物線開口向上，所以\(a>0\)。我們可以取\(a=1\)（或其他正數(shù)）。因此，一個滿足條件的二次函數(shù)解析式可以是\(y=(x-1