（新高考）2022屆高三第三次模擬考試卷數(shù)學(xué)（三）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．王昌齡《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】“返回家鄉(xiāng)”的前提條件是“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要不充分條件，故選B．2．復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，有，由復(fù)數(shù)相等得到，故選C．3．已知具有線性相關(guān)的變量，，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回歸直線方程為，若，，則（）A．5 B．3 C．1 D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)榫€性回歸直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，所以，解得，故選A．4．已如A，B，C是表面積為的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，外接圓的半徑為，在中，由，，則，得，所以，因?yàn)榍騉的表面積為，則，解得，所以球心到的距離，即三棱錐的高為，，所以三棱錐的體積，故選C．5．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的零點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，所以，所以，為直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，則，則為直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如下圖所示：函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，聯(lián)立，可得，所以，直線與直線交于點(diǎn)，由圖象可知，點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，可得，故選D．6．十七世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過“幾何學(xué)里面有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，一個(gè)是黃金分割，如果把勾股定理比作金礦的話，那么可以把黃金分割比作磚石，”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為最美的三角形，它是一個(gè)頂角為的等腰三角形（另一種是頂角為的等腰三角形），如圖所示的五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，在其中一個(gè)黃金中，，根據(jù)這些信息可得到（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，由余弦定理可得：，，故選A．7．已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，另外六個(gè)數(shù)據(jù)分別是10，8，8，11，16，8，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為（）A．12 B．20 C．25 D．27【答案】D【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)字是，則平均數(shù)為，眾數(shù)是，若，則中位數(shù)為，此時(shí)；若，則中位數(shù)為，此時(shí)，；若，則中位數(shù)為，，，所有可能值為，，，其和為，故選D．8．已知圓，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線切點(diǎn)分別是和，下列說法正確的為（）A．圓上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為B．切線長的最小值為C．四邊形面積的最小值為2D．直線恒過定點(diǎn)【答案】D【解析】由圓，則圓心，半徑，∴圓心到直線的距離為，而，故A錯誤；由圓的性質(zhì)，切線長，∴當(dāng)最小時(shí)，有最小值，又，則，故B錯誤；∵四邊形ACBP面積為，∴四邊形ACBP面積的最小值為1，故C錯誤；設(shè)，由題知A，B在以為直徑的圓上，又，∴，即，又圓，即，∴直線AB的方程為，即，由，得，即直線AB恒過定點(diǎn)，故D正確，故選D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列說法不正確的是（）A．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)組成的集合為B．不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是C．函數(shù)的最小值為2D．“”是“”的充分不必要條件【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，若，則或，即或，綜上，實(shí)數(shù)組成的集合為，選項(xiàng)A判斷錯誤；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立；當(dāng)時(shí)，由不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，可得，解之得，綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為，故不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是，判斷正確；選項(xiàng)C：，令，則，為上的增函數(shù)，最小值為，即函數(shù)的最小值為，判斷錯誤；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，即由，不可以得出．由，可得．即由，可得出，故“”是“”的必要不充分條件，判斷錯誤，故選ACD．10．已知向量，，，，則（）A．若，則B．若，則C．的最小值為D．若向量與向量的夾角為銳角，則的取值范圍是【答案】ABC【解析】對于A，因?yàn)?，，，所以，解得，所以A正確；對于B，由，得，則，解得，故，所以B正確；對于C，因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以C正確；對于D，因?yàn)?，，因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為銳角，所以，解得；由題意知向量與向量不共線，，解得，所以的取值范圍是，所以D不正確，綜上可知，選ABC．11．在長方體中，，，，則下列命題為真命題的是（）A．若直線與直線CD所成的角為，則B．若經(jīng)過點(diǎn)A的直線與長方體所有棱所成的角相等，且與面交于點(diǎn)M，則C．若經(jīng)過點(diǎn)A的直線m與長方體所有面所成的角都為θ，則D．若經(jīng)過點(diǎn)A的平面β與長方體所有面所成的二面角都為，則【答案】ACD【解析】A：如下圖，直線與直線CD所成角，即為直線與直線AB所成角，則，正確；B：構(gòu)建如下圖示的坐標(biāo)系，過A的直線與長方體所有棱所成的角相等，與面交于且，又，則，故，則，錯誤；C：如下圖，過A的直線m與長方體所有面所成的角都為θ，則直線m為以為棱長的正方體的體對角線，故，正確；D：如下圖，過A的平面β與長方體所有面所成的二面角都為，只需面β與以為棱長的正方體中相鄰的三條棱頂點(diǎn)所在平面平行，如面，故，則，正確，故選ACD．12．已知函數(shù)，則（）A．是函數(shù)的一個(gè)周期B．是函數(shù)的一條對稱軸C．函數(shù)的最大值為，最小值為D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】因，A正確；因，B正確；令，有，則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即函數(shù)的最大值為，最小值為，C正確；函數(shù)由和復(fù)合而成，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上遞增，在上遞減，則函數(shù)在上不單調(diào)，D不正確，故選ABC．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則__________．【答案】【解析】由題意可得，成等比數(shù)列，，，，故答案為．14．若，則_________．【答案】3093【解析】由題設(shè)，含的項(xiàng)中，當(dāng)為奇數(shù)，項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，而當(dāng)為偶數(shù)，項(xiàng)系數(shù)為正，所以，令，則；令，得，所以，故答案為．15．已知A、B、C、D四點(diǎn)都在表面積為100π的球O的表面上，若AD是球O的直徑，且，，則該三棱錐A－BCD體積的最大值為__________．【答案】【解析】設(shè)球O的半徑為R，∵球O的表面積為，∴，∴，∵，，設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，圓心為，∴根據(jù)正弦定理知，∴，∴，∵AD是直徑，O是AD中點(diǎn)，∴D到平面ABC的距離為．在△ABC中，根據(jù)余弦定理得，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，∴△ABC面積的最大值為，∴三棱錐A－BCD體積的最大值，故答案為．16．已知函數(shù)（a>0且）在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________，若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是____________．【答案】，【解析】①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵摵瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，若要在上單調(diào)遞增，還需滿足，即，所以．②作出圖象：當(dāng)時(shí)，易知直線與曲線一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，故只需直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)即可；由，，得，令，得，代入，得，由，得，此時(shí)直線與曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．又，所以，綜上可知，的取值范圍是，故答案為，﹒四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）某項(xiàng)目的建設(shè)過程中，發(fā)現(xiàn)其補(bǔ)貼額x(單位：百萬元）與該項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)回報(bào)y(單位：千萬元）之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：補(bǔ)貼額x(單位：百萬元）23456經(jīng)濟(jì)回報(bào)y(單位：千萬元）2．5344．56參考公式．（1）請根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸直線方程；（2）請根據(jù)（1）中所得到的線性回歸直線方程，預(yù)測當(dāng)補(bǔ)貼額達(dá)到8百萬元時(shí)該項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)回報(bào)．【答案】（1）；（2）7．4千萬元．【解析】（1）∵，，，，∴，，∴．（2）當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)補(bǔ)貼額達(dá)到8百萬元時(shí)，預(yù)測該項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)回報(bào)為7．4千萬元．18．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，是其前n項(xiàng)和，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）正項(xiàng)數(shù)列，，滿足，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也成立，所以．（2）因?yàn)?，所以，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由遞增，得，所以的最小值為．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，M是棱PC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱PB上，且MN⊥PB．（1）求證：平面BMD；（2）若AD=2CD，直線PC與平面ABCD所成的角為60°，求平面DMN與平面PAD所成的銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AO=OC，又因?yàn)镻M=MC，所以O(shè)M//PA，又因?yàn)槠矫鍮MD，平面BMD，所以PA∥平面BMD．（2）由已知得DA，DC，DP兩兩垂直，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以∠PCD就是直線PC與平面ABCD所成的角，所以，故．設(shè)CD=1，則，，于是．設(shè)，，，由，得，即，解得，所以．設(shè)平面DMN的一個(gè)法向量為，則由，得，令，得，又平面PDA的一個(gè)法向量為，所以，所以平面DMN與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為．20．（12分）如圖，扇形OMN的半徑為，圓心角為，A為弧MN上一動點(diǎn)，B為半徑上一點(diǎn)且滿足．（1）若，求AB的長；（2）求△ABM面積的最大值．【答案】（1）1；（2）．【解析】（1）在△OAB中，由余弦定理得，即，即，即，∴．（2），，，，，設(shè)，，則在中，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，∴△ABM面積的最大值為．21．（12分）如圖，橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于y軸時(shí)，直線l被橢圓C截得的線段長為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知D為橢圓的左端點(diǎn)，問：是否存在直線l使得的面積為?若不存在，說明理由；若存在，求出直線l的方程．【答案】（1）；（2）存在方程使得．【解析】（1）橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長為，點(diǎn)在橢圓上，，解得，橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，不存在；設(shè)直線的方程為，并設(shè)兩點(diǎn)，，聯(lián)立，得，其判別式