初中幾何最值問題解題技巧與練習(xí)幾何最值問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重點，也是一個難點。它常常需要我們綜合運用幾何圖形的性質(zhì)、公理、定理以及代數(shù)方法來解決。這類問題不僅能考察學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力，還能培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想方法解決實際問題的能力。掌握幾何最值問題的解題技巧，對于提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)至關(guān)重要。一、解題核心思想與常用技巧解決幾何最值問題，關(guān)鍵在于緊緊抓住“最值”這一核心，通過轉(zhuǎn)化、化歸，將復(fù)雜問題簡化為我們熟悉的基本模型或基本定理的應(yīng)用。以下是幾種常用的解題思想與技巧：（一）巧用“兩點之間線段最短”與“將軍飲馬”模型“兩點之間，線段最短”是幾何學(xué)中最基本的公理之一，也是解決最值問題的重要依據(jù)。許多看似復(fù)雜的折線最值問題，都可以通過對稱、平移等變換，轉(zhuǎn)化為兩點之間的線段問題。核心提示：對于求直線同側(cè)兩點到直線上一點距離之和的最小值，或直線異側(cè)兩點到直線上一點距離之差的最大值問題，“將軍飲馬”模型是典型的解決方案。其本質(zhì)是通過軸對稱變換，將折線轉(zhuǎn)化為直線，從而利用“兩點之間線段最短”得出結(jié)果。例如，在直線l上找一點P，使PA+PB的值最?。ˋ、B在直線l同側(cè)）。我們可以作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，與直線l的交點即為所求點P，此時PA+PB=A'B。（二）善用“垂線段最短”原理點到直線的距離中，垂線段最短。這一原理在求點到直線上某點距離的最小值，或三角形、四邊形中某條邊上的高的最值問題時，有著廣泛的應(yīng)用。核心提示：當(dāng)問題中涉及到“最短距離”且與直線相關(guān)時，應(yīng)首先考慮能否應(yīng)用“垂線段最短”這一性質(zhì)。例如，求一個定點到一條定直線上動點的距離最小值，直接過定點作定直線的垂線，垂足即為所求點，垂線段長度即為最小值。（三）利用“三角形三邊關(guān)系”求最值三角形的三邊關(guān)系為：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。利用這一關(guān)系，我們可以解決一類涉及線段和、差最值的問題。核心提示：若已知三角形的兩邊長度固定，第三邊長度可變，則第三邊的取值范圍在已知兩邊之差與之和之間。當(dāng)三點共線時，可取到最值（此時不能構(gòu)成三角形，而是形成一條線段）。例如，已知A、B為定點，C為動點，若C的運動軌跡使得A、B、C能構(gòu)成三角形，則AC+BC的最小值大于AB（當(dāng)C在線段AB上時，AC+BC=AB，為最小值），AC-BC的最大值小于AB（當(dāng)C在BA延長線上時，AC-BC=AB，為最大值）。（四）借助“圖形變換”化折為直除了軸對稱（如將軍飲馬問題），平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換也是解決幾何最值問題的有力工具。通過恰當(dāng)?shù)淖儞Q，可以將分散的條件集中，將不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，將折線變?yōu)橹本€，從而更易于運用基本定理求解。核心提示：對于一些含折線的路徑最值問題，若直接運用“兩點之間線段最短”有困難，可以嘗試通過平移線段，將折線“拉直”；或者通過旋轉(zhuǎn)變換，將圖形的某一部分繞定點旋轉(zhuǎn)一定角度，使分散的線段集中到同一直線上或同一個三角形中。（五）運用“二次函數(shù)”求最值對于一些可以用代數(shù)方法表示的幾何量（如線段長度、圖形面積等），當(dāng)這些量隨著某個變量（如角度、線段長度）的變化而變化，且滿足二次函數(shù)關(guān)系時，我們可以建立二次函數(shù)模型，通過求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)來確定最值。核心提示：建立二次函數(shù)模型的關(guān)鍵是找到合適的自變量，并根據(jù)幾何關(guān)系列出函數(shù)解析式。在求最值時，要注意自變量的取值范圍（由幾何圖形的實際情況決定），確保頂點的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，否則最值應(yīng)在自變量取值范圍的端點處取得。（六）考慮“圓的性質(zhì)”圓上任意一點到圓心的距離等于半徑。利用這一性質(zhì)，可以解決定點到定圓上動點的距離最值問題。核心提示：設(shè)點P為定點，⊙O為定圓，半徑為r。則點P到⊙O上任意一點Q的距離PQ的最大值為PO+r，最小值為|PO-r|（當(dāng)P、O、Q三點共線時取到）。二、例題精講與練習(xí)（一）例題精講例1（將軍飲馬模型）：如圖，在直線l的同側(cè)有A、B兩點，試在直線l上找一點P，使得PA+PB的值最小。分析與解答：這是典型的“將軍飲馬”問題，直接運用軸對稱變換求解。1.作點A關(guān)于直線l的對稱點A'。2.連接A'B，交直線l于點P。3.點P即為所求，此時PA+PB=A'B，根據(jù)“兩點之間線段最短”，A'B的長度即為PA+PB的最小值。證明：在直線l上任取異于P的一點P'，連接P'A、P'A'、P'B。因為點A與A'關(guān)于直線l對稱，所以PA=PA'，P'A=P'A'。在△P'A'B中，P'A'+P'B>A'B（三角形兩邊之和大于第三邊），即P'A+P'B>PA+PB。所以，PA+PB最小。例2（垂線段最短）：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P是邊BC上的一個動點（不與B、C重合），過點P作PD⊥AB于點D，連接AP。求PD的最小值。分析與解答：PD是點P到直線AB的距離。根據(jù)“垂線段最短”，當(dāng)AP⊥BC時，AP最短，但這里PD是P到AB的距離。我們可以先表示出PD與BP（或PC）的關(guān)系。在Rt△ABC中，AB=√(AC2+BC2)=√(62+82)=10。因為PD⊥AB，所以∠PDB=∠ACB=90°，又∠B為公共角，所以△PDB∽△ACB。所以，PD/AC=PB/AB，即PD/6=PB/10，所以PD=(6/10)PB=(3/5)PB。要使PD最小，因為3/5是正數(shù)，所以只需PB最小。點P在BC上運動，當(dāng)P與C重合時，PB最大為8；當(dāng)P在BC上向C靠近時，PB逐漸減小。但題目要求P不與B、C重合，所以PB可以無限接近0，但此時PD也無限接近0？這似乎與直覺不符。哦，不對，我們再仔細(xì)審題。AP是連接的，但題目問的是PD的最小值。如果P可以無限靠近C，那么PD確實會無限靠近0。但考慮到實際圖形，當(dāng)P與C重合時，PD就是C到AB的距離，此時PD是固定的。若P不與C重合，當(dāng)P向C移動時，PD是逐漸減小的?；蛘?，我們換一種思路，PD是△APB的高（以AB為底）。但似乎前面的相似關(guān)系更直接。由相似得PD=(3/5)PB，PB的取值范圍是(0,8)，所以PD的取值范圍是(0,24/5)。但題目說“點P是邊BC上的一個動點（不與B、C重合）”，所以PD沒有最小值，只有無限趨近于0。這顯然不符合初中生的認(rèn)知，可能我題目設(shè)定有誤。或許應(yīng)該是求AP+PD的最小值？或者P是AC上的動點？為了符合“垂線段最短”的應(yīng)用，我們調(diào)整一下題目：求點P到AB的距離PD的最小值。當(dāng)P在BC上運動時，P到AB的距離PD，其實可以看作是動點P到定直線AB的距離。那么，根據(jù)“垂線段最短”，當(dāng)CP⊥AB時，CP最短，此時P為垂足。但這里P是在BC上，所以過C作AB的垂線，垂足為D'，交BC于點P'（此時P'與C重合）。所以，當(dāng)P與C重合時，PD最大，為C到AB的距離。當(dāng)P向B移動時，PD增大。因此，原題若P不與C重合，則PD沒有最小值。看來我最初的題目設(shè)計有瑕疵。那么，我們換一個正確的例子：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P是邊AB上的一個動點，求點P到AC、BC距離之和的最小值。這個問題更有意義，也能用到垂線段或者面積法。設(shè)P到AC的距離為h1，到BC的距離為h2。因為四邊形PECF（E在AC，F(xiàn)在BC）是矩形，所以h1+h2可以表示。連接PC，S△APC+S△BPC=S△ABC，即(1/2)*AC*h1+(1/2)*BC*h2=(1/2)*AC*BC。代入數(shù)據(jù)：(1/2)*6*h1+(1/2)*8*h2=24→3h1+4h2=24。要求h1+h2的最小值?？梢杂煤瘮?shù)法，h1=(24-4h2)/3，h1+h2=8-(4h2)/3+h2=8-h2/3。因為h2越大，h1+h2越小。h2最大時，P靠近A，h2接近0；h2最小時，P靠近B，h1接近0。這似乎也不是?？磥恚谩按咕€段最短”最好的例子還是直接求點到直線的距離。修正例2（垂線段最短）：已知直線l外一點A，試在直線l上找一點P，使得線段AP的長度最短，并說明理由。解答：過點A作AP⊥l，垂足為P，則點P即為所求。理由是“垂線段最短”，即AP是點A到直線l上所有點的連線中最短的。例3（三角形三邊關(guān)系）：已知線段AB=5，點C為平面內(nèi)一動點，且AC=2，求線段BC長度的最大值和最小值。分析與解答：點C到定點A的距離為定長2，所以點C的運動軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓。問題轉(zhuǎn)化為：已知點B到圓心A的距離為5，圓A的半徑為2，求點B到圓A上點C的距離BC的最大值和最小值。根據(jù)圓的性質(zhì)，BC的最大值為AB+AC=5+2=7（當(dāng)點C在BA的延長線上時）；BC的最小值為AB-AC=5-2=3（當(dāng)點C在線段AB上時）。這里也體現(xiàn)了三角形三邊關(guān)系：在△ABC中，|AB-AC|<BC<AB+AC，當(dāng)三點共線時，等號成立，此時BC取到最值。（二）練習(xí)題練習(xí)1（將軍飲馬模型）：如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，點E、F分別是AB、AD上的動點，且BE=AF，連接EF、EC、FC。求△EFC周長的最小值。練習(xí)2（垂線段最短與二次函數(shù)）：在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(0,3)，點B的坐標(biāo)為(4,0)，點P是x軸上一個動點（不與點B重合），連接AP，過點P作PD⊥AP交y軸于點D。設(shè)點P的坐標(biāo)為(t,0)，求線段OD長度的最大值（O為坐標(biāo)原點）。練習(xí)3（三角形三邊關(guān)系）：已知△ABC中，AB=10，AC=7，AD是BC邊上的中線，求線段AD長度的取值范圍。（提示：延長AD至E，使DE=AD，連接BE）練習(xí)4（圖形變換）：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點M為AC的中點，點N是AB上的動點，將△AMN沿MN翻折得到△A'MN，連接A'B，求A'B長度的最小值。三、總結(jié)幾何最值問題的求解，沒有一成不變的萬能公式，關(guān)鍵在于深刻理解并靈活運用上述幾種基本思想方法。在解題時，首先要仔細(xì)審題，分析圖形的構(gòu)成要素和動點的運動軌跡，判斷屬于哪一類最值問題。