2025年絕對(duì)值不等式試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.不等式|x-3|<2的解集是（）A.{x|1<x<5}B.{x|x<1或x>5}C.{x|-1<x<5}D.{x|1<x<3}答案：A2.不等式|2x+1|≥3的解集為（）A.{x|x≥1或x≤-2}B.{x|-2≤x≤1}C.{x|x≥1}D.{x|x≤-2}答案：A3.若|x-1|<a的充分條件是|x-1|<b（其中a，b>0），則a，b的大小關(guān)系是（）A.a<bB.a≤bC.a>bD.a≥b答案：D4.不等式|x+1|-|x-2|>1的解集是（）A.{x|x>1}B.{x|x>2}C.{x|1<x<2}D.{x|x<2}答案：A5.不等式|x|+|x-1|<2的解集是（）A.{x|-1<x<1}B.{x|-1<x<2}C.{x|0<x<1}D.{x|0<x<2}答案：B6.不等式|2x-1|-|x-2|<0的解集為（）A.{x|-1<x<1}B.{x|x<-1}C.{x|x>1}D.{x|x<-1或x>1}答案：A7.已知不等式|x-a|<b的解集是{x|-3<x<9}，則a，b的值分別為（）A.a=3，b=6B.a=-3，b=9C.a=6，b=3D.a=-3，b=6答案：A8.若不等式|x+1|+|x-3|≥a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.a≤4B.a≥4C.a>4D.a<4答案：A9.不等式|x-2|+|x+3|>7的解集是（）A.{x|x<-4或x>3}B.{x|-4<x<3}C.{x|x<-3或x>2}D.{x|-3<x<2}答案：A10.不等式|x|-|x-2|≤1的解集為（）A.{x|x≤3/2}B.{x|x≥3/2}C.{x|x≤-3/2}D.{x|x≥-3/2}答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列不等式中，與不等式|x-2|<3同解的是（）A.-3<x-2<3B.x-2<3且x-2>-3C.|x|<5D.-1<x<5答案：ABD2.不等式|x+1|+|x-2|>5的解集可以表示為（）A.{x|x<-2}B.{x|x>3}C.{x|-2<x<3}D.{x|x<-2或x>3}答案：ABD3.若|x-1|+|x-3|>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值可能是（）A.1B.2C.3D.0答案：AD4.不等式|2x-3|≤1的解集包含以下哪些數(shù)（）A.1B.2C.3D.0答案：AB5.關(guān)于x的不等式|x-a|<b（b>0）的解集的區(qū)間長(zhǎng)度是（）A.2bB.b-aC.a+bD.大于0的數(shù)答案：AD6.下列說(shuō)法正確的是（）A.不等式|x|<a的解集為{x|-a<x<a}（a>0）B.不等式|x|>a的解集為{x|x>a或x<-a}（a>0）C.不等式|x-1|<0無(wú)解D.不等式|x-1|≥0的解集為R答案：ABCD7.不等式|x+2|-|x-1|>1的解集的子集有（）A.{x|0<x<1}B.{x|x>0}C.{x|-1<x<0}D.{x|x>1}答案：ABD8.若不等式|ax+1|<2的解集為{x|-1<x<1}，則a的值可能為（）A.-3B.3C.1D.-1答案：AB9.對(duì)于不等式|x-1|+|x-2|≤3，以下說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)x<1時(shí)，不等式可化為-(x-1)-(x-2)≤3B.當(dāng)1≤x≤2時(shí)，不等式可化為(x-1)-(x-2)≤3C.當(dāng)x>2時(shí)，不等式可化為(x-1)+(x-2)≤3D.不等式的解集為{x|0≤x≤3}答案：ABCD10.不等式|x|+|x-2|≥2的解集是（）A.RB.{x|x≤0或x≥2}C.{x|0≤x≤2}D.包含所有實(shí)數(shù)答案：AD三、判斷題1.不等式|x|<-1無(wú)解。（）答案：√2.不等式|x-1|>x-1的解集是{x|x<1}。（）答案：√3.若|a|>|b|，則a>b。（）答案：×4.不等式|x+1|+|x-1|的最小值是2。（）答案：√5.不等式|2x-3|<5的解集是{x|-1<x<4}。（）答案：√6.不等式|x|+|x-3|>3的解集為{x|x<0或x>3}。（）答案：√7.若|x-a|<b，則a-b<x<a+b（b>0）。（）答案：√8.不等式|x-2|-|x+1|>3無(wú)解。（）答案：√9.不等式|x|>x的解集是{x|x<0}。（）答案：√10.若|x|+|y|≤1，則|x+y|≤1。（）答案：√四、簡(jiǎn)答題1.解不等式|2x-5|<3。答案：由|2x-5|<3可得-3<2x-5<3。先解-3<2x-5，移項(xiàng)得2x>-3+5，即2x>2，解得x>1；再解2x-5<3，移項(xiàng)得2x<3+5，即2x<8，解得x<4。所以不等式的解集為{x|1<x<4}。2.求不等式|x+1|+|x-3|≥6的解集。答案：當(dāng)x<-1時(shí)，不等式化為-(x+1)-(x-3)≥6，即-x-1-x+3≥6，-2x+2≥6，-2x≥4，解得x≤-2；當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，不等式化為(x+1)-(x-3)≥6，4≥6，無(wú)解；當(dāng)x>3時(shí)，不等式化為(x+1)+(x-3)≥6，2x-2≥6，2x≥8，解得x≥4。所以解集為{x|x≤-2或x≥4}。3.已知不等式|x-a|<1的解集為A，不等式x2-3x+2<0的解集為B，若A?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：解|x-a|<1得a-1<x<a+1，所以A={x|a-1<x<a+1}。解x2-3x+2<0得(x-1)(x-2)<0，即1<x<2，所以B={x|1<x<2}。因?yàn)锳?B，所以a-1≥1且a+1≤2，解得2≤a≤1，矛盾，所以不存在這樣的a。4.解不等式|x|-|x-1|>1/2。答案：當(dāng)x<0時(shí)，不等式化為-x-(1-x)>1/2，-x-1+x>1/2，-1>1/2，無(wú)解；當(dāng)0≤x≤1時(shí)，不等式化為x-(1-x)>1/2，x-1+x>1/2，2x>3/2，解得x>3/4，所以3/4<x≤1；當(dāng)x>1時(shí)，不等式化為x-(x-1)>1/2，1>1/2恒成立。綜上，解集為{x|x>3/4}。五、討論題1.討論不等式|x-1|+|x-2|=a的解的情況。答案：設(shè)y=|x-1|+|x-2|。當(dāng)x<1時(shí)，y=-(x-1)-(x-2)=-2x+3，此時(shí)y>1；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y=(x-1)-(x-2)=1；當(dāng)x>2時(shí)，y=(x-1)+(x-2)=2x-3，此時(shí)y>1。所以y=|x-1|+|x-2|的最小值是1。當(dāng)a<1時(shí)，方程|x-1|+|x-2|=a無(wú)解；當(dāng)a=1時(shí)，1≤x≤2是方程的解；當(dāng)a>1時(shí)，方程有解。2.探討如何利用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)解不等式|x+2|+|x-3|>7。答案：絕對(duì)值的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)到點(diǎn)的距離。|x+2|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到-2的距離，|x-3|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到3的距離，那么|x+2|+|x-3|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到-2和3的距離之和。-2和3在數(shù)軸上的距離是5。要使距離之和大于7，那么點(diǎn)x在-2的左側(cè)超過(guò)1個(gè)單位，即x<-4；或者點(diǎn)x在3的右側(cè)超過(guò)1個(gè)單位，即x>4。所以不等式的解集為{x|x<-4或x>4}。3.已知不等式|x-3|-|x+1|≤a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：設(shè)f(x)=|x-3|-|x+1|。當(dāng)x<-1時(shí)，f(x)=-(x-3)+(x+1)=4；當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，f(x)=-(x-3)-(x+1)=-2x+2，此時(shí)-4≤f(x)≤4；當(dāng)x>3時(shí)，f(x)=(x-3)-(x+1)=-4。所以f(x)的最大值是4。因?yàn)椴坏仁絴x-3|-|x+1|≤a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以a2-3a≥4，即a2-3a-4≥0，(a-4)(a+1)≥0，解得a≤-1或a≥4。4.