2025年大學線性代數(shù)期末考試押題及答案一、選擇題（每題3分，共30分）1.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert3A^T\vert\)的值為（）A.\(6\)B.\(18\)C.\(54\)D.\(216\)答案：C解析：根據(jù)矩陣的性質(zhì)，\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)（\(n\)為矩陣\(A\)的階數(shù)），\(\vertA^T\vert=\vertA\vert\)。已知\(A\)是\(3\)階方陣，\(\vertA\vert=2\)，那么\(\vert3A^T\vert=3^3\vertA^T\vert=27\times\vertA\vert=27\times2=54\)。2.若向量組\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,4,t)\)線性相關(guān)，則\(t\)的值為（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)答案：D解析：兩個向量\(\alpha_1=(a_1,b_1,c_1)\)，\(\alpha_2=(a_2,b_2,c_2)\)線性相關(guān)的充要條件是對應分量成比例。對于\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,4,t)\)，有\(zhòng)(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{t}\)，解得\(t=6\)。3.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesm\)矩陣，則（）A.當\(m>n\)時，必有行列式\(\vertAB\vert\neq0\)B.當\(m>n\)時，必有行列式\(\vertAB\vert=0\)C.當\(n>m\)時，必有行列式\(\vertAB\vert\neq0\)D.當\(n>m\)時，必有行列式\(\vertAB\vert=0\)答案：B解析：因為\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\leqn\)，且\(AB\)是\(m\timesm\)矩陣。當\(m>n\)時，矩陣\(AB\)的秩\(r(AB)\leqn<m\)，而一個方陣的行列式不為零的充要條件是其秩等于階數(shù)，所以\(\vertAB\vert=0\)。4.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)為（）A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&-3\\-2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&-3\\-2&4\end{pmatrix}\)答案：A解析：對于二階矩陣\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，其伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)。已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。5.設(shè)\(\lambda_1,\lambda_2\)是矩陣\(A\)的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為\(\alpha_1,\alpha_2\)，則\(\alpha_1,\alpha_2\)一定是（）A.線性相關(guān)的B.線性無關(guān)的C.對應同一特征值的特征向量D.可能線性相關(guān)也可能線性無關(guān)答案：B解析：矩陣不同特征值對應的特征向量一定線性無關(guān)。設(shè)\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=0\)，兩邊同時左乘\(A\)得\(A(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2)=k_1A\alpha_1+k_2A\alpha_2=k_1\lambda_1\alpha_1+k_2\lambda_2\alpha_2=0\)，又\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=0\)即\(k_1\alpha_1=-k_2\alpha_2\)，代入上式可得\(k_1\lambda_1\alpha_1-k_1\lambda_2\alpha_1=k_1(\lambda_1-\lambda_2)\alpha_1=0\)，因為\(\lambda_1\neq\lambda_2\)，\(\alpha_1\neq0\)，所以\(k_1=0\)，同理可得\(k_2=0\)，所以\(\alpha_1,\alpha_2\)線性無關(guān)。6.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充要條件是（）A.系數(shù)矩陣\(A\)的行向量組線性無關(guān)B.系數(shù)矩陣\(A\)的行向量組線性相關(guān)C.系數(shù)矩陣\(A\)的列向量組線性無關(guān)D.系數(shù)矩陣\(A\)的列向量組線性相關(guān)答案：D解析：齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充要條件是\(r(A)<n\)（\(n\)為未知數(shù)的個數(shù)），而\(r(A)\)等于\(A\)的列向量組的秩，所以\(Ax=0\)有非零解的充要條件是\(A\)的列向量組線性相關(guān)。7.設(shè)二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_2x_3\)，則其矩陣\(A\)為（）A.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&3\\0&3&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\0&2&3\\0&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&4&0\\0&2&6\\0&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&3\\3&3&3\end{pmatrix}\)答案：A解析：對于二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\)（\(a_{ij}=a_{ji}\)），其矩陣\(A=(a_{ij})\)。在\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_2x_3\)中，\(a_{11}=1\)，\(a_{12}=a_{21}=2\)，\(a_{13}=a_{31}=0\)，\(a_{22}=2\)，\(a_{23}=a_{32}=3\)，\(a_{33}=3\)，所以\(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&3\\0&3&3\end{pmatrix}\)。8.設(shè)\(A\)是可逆矩陣，則下列說法錯誤的是（）A.\(A\)的行列式不為零B.\(A\)的秩等于其階數(shù)C.\(A\)的行向量組線性無關(guān)D.\(A\)的列向量組線性相關(guān)答案：D解析：可逆矩陣的行列式不為零，秩等于其階數(shù)，行向量組和列向量組都線性無關(guān)。因為\(A\)可逆，則\(\vertA\vert\neq0\)，\(r(A)=n\)（\(n\)為\(A\)的階數(shù)），所以\(A\)的行向量組和列向量組的秩都為\(n\)，即行向量組和列向量組都線性無關(guān)。9.已知向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，向量組\(\alpha_1+2\alpha_2,\alpha_2+k\alpha_3,\alpha_3\)線性相關(guān)，則\(k\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(-\frac{1}{2}\)答案：A解析：設(shè)\(x_1(\alpha_1+2\alpha_2)+x_2(\alpha_2+k\alpha_3)+x_3\alpha_3=0\)，即\(x_1\alpha_1+(2x_1+x_2)\alpha_2+(kx_2+x_3)\alpha_3=0\)。因為\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，則\(\begin{cases}x_1=0\\2x_1+x_2=0\\kx_2+x_3=0\end{cases}\)，由\(x_1=0\)代入\(2x_1+x_2=0\)得\(x_2=0\)，再代入\(kx_2+x_3=0\)得\(x_3=0\)。由于向量組\(\alpha_1+2\alpha_2,\alpha_2+k\alpha_3,\alpha_3\)線性相關(guān)，所以上述齊次線性方程組有非零解，其系數(shù)行列式\(\begin{vmatrix}1&0&0\\2&1&0\\0&k&1\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}1&0\\k&1\end{vmatrix}=1=0\)不成立，換一種思路，因為\(\alpha_1+2\alpha_2,\alpha_2+k\alpha_3,\alpha_3\)線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)\(x_1,x_2,x_3\)使\(x_1(\alpha_1+2\alpha_2)+x_2(\alpha_2+k\alpha_3)+x_3\alpha_3=0\)，即\(x_1\alpha_1+(2x_1+x_2)\alpha_2+(kx_2+x_3)\alpha_3=0\)，因為\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，所以\(\begin{cases}x_1=0\\2x_1+x_2=0\\kx_2+x_3=0\end{cases}\)有非零解，由前兩個方程可得\(x_1=0,x_2=0\)，要使方程組有非零解，則\(k=\frac{1}{2}\)時，方程組有非零解。10.設(shè)\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，\(P\)是\(n\)階可逆矩陣，已知\(n\)維列向量\(\alpha\)是\(A\)的屬于特征值\(\lambda\)的特征向量，則矩陣\((P^{-1}AP)^T\)屬于特征值\(\lambda\)的特征向量是（）A.\(P^{-1}\alpha\)B.\(P^T\alpha\)C.\(P\alpha\)D.\((P^{-1})^T\alpha\)答案：B解析：已知\(A\alpha=\lambda\alpha\)，且\(A=A^T\)。\((P^{-1}AP)^T=P^TA^T(P^{-1})^T=P^TA(P^T)^{-1}\)。設(shè)\(\beta\)是\((P^{-1}AP)^T\)屬于特征值\(\lambda\)的特征向量，則\((P^{-1}AP)^T\beta=\lambda\beta\)，令\(\beta=P^T\alpha\)，則\((P^{-1}AP)^T(P^T\alpha)=P^TA(P^T)^{-1}(P^T\alpha)=P^TA\alpha=\lambdaP^T\alpha\)，所以矩陣\((P^{-1}AP)^T\)屬于特征值\(\lambda\)的特征向量是\(P^T\alpha\)。二、填空題（每題3分，共15分）1.行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=\)______。答案：\(0\)解析：對行列式進行初等行變換，\(r_2-4r_1\)，\(r_3-7r_1\)得\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{vmatrix}\)，再\(r_3-2r_2\)得\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{vmatrix}=0\)。2.已知向量組\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(1,0,1)\)，\(\alpha_3=(0,1,1)\)，則該向量組的秩為______。答案：\(3\)解析：將向量組構(gòu)成矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\)，計算其行列式\(\vertA\vert=1\times\begin{vmatrix}0&1\\1&1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\times(0-1)-1\times(1-0)+0=-2\neq0\)，所以\(r(A)=3\)，即向量組的秩為\(3\)。3.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\((A+2E)^{-1}=\)______，其中\(zhòng)(E\)是二階單位矩陣。答案：\(\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}\)解析：先計算\(A+2E=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\3&6\end{pmatrix}\)。求\((A+2E)\)的逆，\(\vertA+2E\vert=3\times6-3\times2=12\)，\((A+2E)^=\begin{pmatrix}6&-2\\-3&3\end{pmatrix}\)，則\((A+2E)^{-1}=\frac{1}{\vertA+2E\vert}(A+2E)^=\frac{1}{12}\begin{pmatrix}6&-2\\-3&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}\)。4.設(shè)\(A\)是\(3\)階矩陣，且\(r(A)=2\)，則齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為______。答案：\(1\)解析：對于齊次線性方程組\(Ax=0\)，基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為\(n-r(A)\)（\(n\)為未知數(shù)的個數(shù)），已知\(n=3\)，\(r(A)=2\)，則基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為\(3-2=1\)。5.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2-4x_1x_2+3x_2^2\)經(jīng)正交變換化為標準形為______。答案：\(y_1^2-3y_2^2\)解析：二次型\(f(x_1,x_2)\)的矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&3\end{pmatrix}\)，求其特征值，\(\vert\lambdaE-A\vert=\begin{vmatrix}\lambda-1&2\\2&\lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-3)-4=\lambda^2-4\lambda-1=0\)，解得\(\lambda_1=2+\sqrt{3}\)，\(\lambda_2=2-\sqrt{3}\)。通過正交變換可將二次型化為標準形\(f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2=(2+\sqrt{3})y_1^2+(2-\sqrt{3})y_2^2\)，也可通過配方法\(f(x_1,x_2)=x_1^2-4x_1x_2+3x_2^2=(x_1-2x_2)^2-x_2^2\)，令\(\begin{cases}y_1=x_1-2x_2\\y_2=x_2\end{cases}\)，則\(f=y_1^2-y_2^2\)，若用正交變換，特征值為\(\lambda_1=1+\sqrt{4}=3\)，\(\lambda_2=1-\sqrt{4}=-1\)，標準形為\(y_1^2-3y_2^2\)。三、計算題（每題10分，共40分）1.計算\(n\)階行列式\(D_n=\begin{vmatrix}a&b&b&\cdots&b\\b&a&b&\cdots&b\\b&b&a&\cdots&b\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}\)。解：將\(D_n\)的第\(2,3,\cdots,n\)列都加到第\(1\)列，得\(D_n=\begin{vmatrix}a+(n-1)b&b&b&\cdots&b\\a+(n-1)b&a&b&\cdots&b\\a+(n-1)b&b&a&\cdots&b\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a+(n-1)b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}=[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&b&b&\cdots&b\\1&a&b&\cdots&b\\1&b&a&\cdots&b\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}\)再將第\(1\)行乘以\(-1\)加到第\(2,3,\cdots,n\)行，得\(D_n=[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&b&b&\cdots&b\\0&a-b&0&\cdots&0\\0&0&a-b&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&a-b\end{vmatrix}=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}\)2.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&2\\1&3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。解：方法一：伴隨矩陣法先求\(\vertA\vert=1\times\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2&2\\1&4\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}2&1\\1&3\end{vmatrix}=1\times(4-6)-2\times(8-2)+3\times(6-1)=-2-12+15=1\)。求\(A\)的代數(shù)余子式：\(A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=-2\)，\(A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&2\\1&4\end{vmatrix}=-6\)，\(A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&1\\1&3\end{vmatrix}=5\)；\(A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}2&3\\3&4\end{vmatrix}=1\)，\(A_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&3\\1&4\end{vmatrix}=1\)，\(A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}=-1\)；\(A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}=1\)，\(A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}1&3\\2&2\end{vmatrix}=4\)，\(A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}=-3\)。\(A^=\begin{pmatrix}-2&1&1\\-6&1&4\\5&-1&-3\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^=\begin{pmatrix}-2&1&1\\-6&1&4\\5&-1&-3\end{pmatrix}\)。方法二：初等行變換法\((A\vertE)=\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\2&1&2&0&1&0\\1&3&4&0&0&1\end{pmatrix}\)\(r_2-2r_1\)，\(r_3-r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\0&-3&-4&-2&1&0\\0&1&1&-1&0&1\end{pmatrix}\)\(r_2\leftrightarrowr_3\)得\(\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\0&1&1&-1&0&1\\0&-3&-4&-2&1&0\end{pmatrix}\)\(r_1-2r_2\)，\(r_3+3r_2\)得\(\begin{pmatrix}1&0&1&3&0&-2\\0&1&1&-1&0&1\\0&0&-1&-5&1&3\end{pmatrix}\)\(r_1+r_3\)，\(r_2+r_3\)，\(r_3\times(-1)\)得\(\begin{pmatrix}1&0&0&-2&1&1\\0&1&0&-6&1&4\\0&0&1&5&-1&-3\end{pmatrix}\)所以\(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1&1\\-6&1&4\\5&-1&-3\end{pmatrix}\)。3.求向量組\(\alpha_1=(1,-1,2,4)\)，\(\alpha_2=(0,3,1,2)\)，\(\alpha_3=(3,0,7,14)\)，\(\alpha_4=(1,-1,2,0)\)的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示。解：將向量組構(gòu)成矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&-1&2&4\\0&3&1&2\\3&0&7&14\\1&-1&2&0\end{pmatrix}\)，進行初等行變換。\(r_3-3r_1\)，\(r_4-r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&-1&2&4\\0&3&1&2\\0&3&1&2\\0&0&0&-4\end{pmatrix}\)\(r_3-r_2\)得\(\begin{pmatrix}1&-1&2&4\\0&3&1&2\\0&0&0&0\\0&0&0&-4\end{pmatrix}\)\(r_3\leftrightarrowr_4\)得\(\begin{pmatrix}1&-1&2&4\\0&3&1&2\\0&0&0&-4\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)\(r_1+\frac{1}{3}r_2\)，\(r_2\times\frac{1}{3}\)得\(\begin{pmatrix}1&0&\frac{7}{3}&\frac{14}{3}\\0&1&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\0&0&0&-4\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)\(r_1+\frac{7}{3}r_3\)，\(r_2+\frac{1}{3}r_3\)，\(r_3\times(-\frac{1}{4})\)得\(\begin{pmatrix}1&0&\frac{7}{3}&0\\0&1&\frac{1}{3}&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)所以\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)是一個極大線性無關(guān)組。設(shè)\(\alpha_3=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_4\)，由上述行最簡形可知\(x_1=3\)，\(x_2=1\)，\(x_3=0\)，即\(\alpha_3=3\alpha_1+\alpha_2+0\alpha_4\)。4.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}\)的特征值和特征向量。解：先求特征值，\(\vert\lambdaE-A\vert=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2&-2\\-2&\lambda-1&-2\\-2&-2&\lambda-1\end{vmatrix}\)\(=(\lambda-1)^3-12(\lambda-1)-16\)令\(t=\lambda-1\)，則\(t^3-12t-16=(t-4)(t+2)^2\)所以\(\vert\lambdaE-A\vert=(\lambda-5)(\lambda+1)^2\)特征值\(\lambda_1=5\)，\(\lambda_2=\lambda_3=-1\)。當\(\lambda_1=5\)時，\((\lambda_1E-A)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}4&-2&-2\\-2&4&-2\\-2&-2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)對系數(shù)矩陣進行初等行變換\(\begin{pmatrix}4&-2&-2\\-2&4&-2\\-2&-2&4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&3&-3\\0&-3&3\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}\)基礎(chǔ)解系為\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\)，所以屬于\(\lambda_1=5\)的特征向量為\(k_1\xi_1(k_1\neq0)\)。當\(\lambda_2=\lambda_3=-1\)時，\((\lambda_2E-A)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}-2&-2&-2\\-2&-2&-2\\-2&-2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)對系數(shù)矩陣進行初等行變換\(\begin{pmatrix}-2&-2&-2\\-2&-2&-2\\-2&-2&-2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)基礎(chǔ)解系為\(\xi_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(\xi_3=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\)，所以屬于\(\lambda_2=\lambda_3=-1\)的特征向量為\(k_2\xi_2+k_3\xi_3(k_2,k_3\)不同時為\(0)\)。四、證明題（每題10分，共15分）1.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A^2-3A+2E=0\)，證明\(A\)可相似對角化。證明：由\(A^2-3A+2E=0\)，可得\((A-E)(A-2E)=0\)。設(shè)\(r(A-E)=r\)，則\(r(A-2E)\leqn-r\)。對于特征值\(\lambda_1=1\)，齊次線性方程組\((A-E)X=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為\(n-r(A-E)=n-r\)。對于特征值\(\lambda_2=2\)，齊次線性方程組\((A-2E)X=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為\(n-r(A-2E)\geqr\)。那么\(A\)的線性無關(guān)的特征向量的個