幻燈片1：封面課程名稱：4.3.1正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)教材版本：2024北師大版數(shù)學(xué)年級：八年級上冊銜接提示：之前我們認(rèn)識了正比例函數(shù)的定義，知道它是特殊的一次函數(shù)（y=kx，k≠0）。本節(jié)課，我們將聚焦正比例函數(shù)的“圖象”與“性質(zhì)”兩大核心，通過畫圖、觀察、分析，探究比例系數(shù)k如何影響圖象的形狀、位置和變化趨勢，為后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)奠定基礎(chǔ)?；脽羝?：學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握正比例函數(shù)圖象的繪制方法（列表、描點(diǎn)、連線），明確其圖象形狀為經(jīng)過原點(diǎn)的直線。理解比例系數(shù)k對正比例函數(shù)圖象的影響：能根據(jù)k的正負(fù)判斷圖象所在象限及增減性，根據(jù)k的絕對值大小判斷圖象的傾斜程度。能運(yùn)用正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決簡單的數(shù)學(xué)問題（如判斷點(diǎn)是否在圖象上、比較函數(shù)值大?。?，提升數(shù)形結(jié)合能力?；脽羝?：情境導(dǎo)入——正比例函數(shù)的圖象是什么樣的？問題1：我們已經(jīng)知道正比例函數(shù)y=2x，當(dāng)x取不同值時，y有唯一確定的值與之對應(yīng)。你能通過描點(diǎn)的方式，畫出y=2x的圖象嗎？引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)圖象的繪制步驟：列表→描點(diǎn)→連線。學(xué)生嘗試列表：|x|-2|-1|0|1|2||:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:||y=2x|-4|-2|0|2|4|提問：描出這些點(diǎn)后，連線會得到什么形狀的圖形？（學(xué)生猜測：直線）問題2：再嘗試?yán)L制y=-2x的圖象，對比y=2x的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么差異？學(xué)生列表描點(diǎn)后發(fā)現(xiàn)：y=-2x的圖象也是直線，但傾斜方向與y=2x相反。引出主題：正比例函數(shù)的圖象都是經(jīng)過原點(diǎn)的直線，而比例系數(shù)k的不同，會導(dǎo)致圖象的位置、傾斜方向和變化趨勢不同，這就是我們本節(jié)課要探究的核心內(nèi)容?；脽羝?：正比例函數(shù)圖象的繪制方法繪制步驟（以y=kx，k≠0為例）：列表：選取若干對自變量x與函數(shù)y的值（建議包含x=0，方便確定原點(diǎn)；x取正負(fù)值，體現(xiàn)圖象對稱性）；示例（y=3x）：|x|-1|0|1||:--:|:--:|:--:|:--:||y|-3|0|3|描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)列表中的坐標(biāo)（x,y），找出對應(yīng)的點(diǎn)并標(biāo)記；連線：用平滑的直線將描出的點(diǎn)連接起來，注意直線需延伸至坐標(biāo)系邊緣，體現(xiàn)圖象的無限延伸性。關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)：正比例函數(shù)y=kx的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)的一條直線，因此繪制時只需找到除原點(diǎn)外的一個點(diǎn)（如(1,k)），即可確定直線（兩點(diǎn)確定一條直線），簡化繪制步驟。示例：繪制y=-1.5x的圖象，只需找原點(diǎn)(0,0)和(1,-1.5)，兩點(diǎn)連線即為函數(shù)圖象?；脽羝?：比例系數(shù)k對圖象位置的影響探究實(shí)驗(yàn)：繪制y=2x、y=0.5x、y=-2x、y=-0.5x的圖象，觀察它們所在的象限：圖象展示：y=2x、y=0.5x的圖象經(jīng)過第一、三象限；y=-2x、y=-0.5x的圖象經(jīng)過第二、四象限。規(guī)律總結(jié)：當(dāng)k>0時，正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)k<0時，正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過第二、四象限。幾何意義：k的正負(fù)決定了直線的“走向”——k>0時，直線從第三象限向第一象限延伸；k<0時，直線從第二象限向第四象限延伸。例題1：判斷下列正比例函數(shù)圖象所在的象限：y=5x（k=5>0）：第一、三象限；y=-3x（k=-3<0）：第二、四象限；y=(1/2)x（k=1/2>0）：第一、三象限?；脽羝?：比例系數(shù)k對圖象增減性的影響增減性定義：在函數(shù)圖象中，若隨著自變量x的增大，函數(shù)值y也增大，稱函數(shù)為“增函數(shù)”；若隨著x的增大，y減小，稱函數(shù)為“減函數(shù)”。探究分析：結(jié)合y=2x和y=-2x的圖象分析：y=2x（k>0）：當(dāng)x從-2增大到2時，y從-4增大到4，即x增大→y增大，因此y=2x是增函數(shù)；圖象特征：直線從左向右呈“上升”趨勢。y=-2x（k<0）：當(dāng)x從-2增大到2時，y從4減小到-4，即x增大→y減小，因此y=-2x是減函數(shù)；圖象特征：直線從左向右呈“下降”趨勢。規(guī)律總結(jié)：當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大（增函數(shù)），圖象從左向右上升；當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減?。p函數(shù)），圖象從左向右下降。例題2：已知正比例函數(shù)y=(m-2)x，當(dāng)m為何值時，y隨x的增大而增大？解答：k=m-2>0→m>2，故當(dāng)m>2時，y隨x的增大而增大?；脽羝?：比例系數(shù)k的絕對值對圖象傾斜程度的影響探究實(shí)驗(yàn)：對比y=2x（k=2）和y=0.5x（k=0.5）的圖象，y=-2x（k=-2）和y=-0.5x（k=-0.5）的圖象：發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k>0時，|k|越大，直線y=kx越靠近y軸，傾斜程度越“陡”（如y=2x比y=0.5x陡）；當(dāng)k<0時，|k|越大，直線y=kx越靠近y軸，傾斜程度越“陡”（如y=-2x比y=-0.5x陡）。規(guī)律總結(jié)：正比例函數(shù)y=kx的圖象傾斜程度由|k|決定，|k|越大，直線越陡；|k|越小，直線越平緩。幾何意義：|k|反映了x每變化1個單位時，y的變化幅度（|k|越大，y變化幅度越大）。例題3：在同一平面直角坐標(biāo)系中，y=3x和y=(1/3)x的圖象，哪條更陡？為什么？解答：y=3x更陡，因?yàn)閨3|>|1/3|，|k|越大，直線傾斜程度越陡?；脽羝?：正比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例題4：已知正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,-6)，求：函數(shù)解析式；圖象經(jīng)過的象限；當(dāng)x=-1時，y的值；當(dāng)y=9時，x的值；y隨x的增大而增大還是減??？解答：代入(2,-6)得-6=2k→k=-3，解析式為y=-3x；k=-3<0，圖象經(jīng)過第二、四象限；x=-1時，y=-3×(-1)=3；y=9時，9=-3x→x=-3；k=-3<0，y隨x的增大而減小。例題5：判斷點(diǎn)(3,6)和(-2,5)是否在正比例函數(shù)y=2x的圖象上。解答：對于(3,6)：當(dāng)x=3時，y=2×3=6，與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，故在圖象上；對于(-2,5)：當(dāng)x=-2時，y=2×(-2)=-4≠5，故不在圖象上?；脽羝?：課堂練習(xí)基礎(chǔ)題：正比例函數(shù)y=-4x的圖象經(jīng)過第______象限，y隨x的增大而______；答案：二、四；減小。若正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,2)，則k=______，圖象經(jīng)過第______象限；答案：-2；二、四。提升題：已知正比例函數(shù)y=(2m+1)x，當(dāng)m為何值時，圖象經(jīng)過第一、三象限，且y隨x的增大而增大？解答：需滿足k=2m+1>0→2m>-1→m>-1/2，故當(dāng)m>-1/2時，符合條件。在同一坐標(biāo)系中，有y=k?x和y=k?x兩條正比例函數(shù)圖象，若y=k?x的圖象比y=k?x的圖象陡，且都經(jīng)過第一、三象限，比較k?和k?的大小。解答：兩者都經(jīng)過第一、三象限，故k?>0，k?>0；圖象越陡|k|越大，故k?>k??；脽羝?0：課堂總結(jié)知識梳理：正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的核心內(nèi)容：圖象特征：經(jīng)過原點(diǎn)的直線，k>0時過一、三象限，k<0時過二、四象限；性質(zhì)：增減性：k>0時y隨x增大而增大（增函數(shù)），k<0時y隨x增大而減?。p函數(shù)）；傾斜程度：|k|越大，直線越陡；|k|越小，直線越平緩；關(guān)鍵點(diǎn)：圖象必過原點(diǎn)(0,0)和(1,k)，可快速繪制圖象。思想方法：通過“畫圖→觀察→歸納→應(yīng)用”的過程，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將函數(shù)的代數(shù)性質(zhì)與幾何圖象緊密結(jié)合，提升分析和解決問題的能力?；脽羝?1：布置作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：教材習(xí)題4.3第1、2、3題，鞏固正比例函數(shù)圖象的繪制、性質(zhì)判斷及簡單應(yīng)用；拓展作業(yè)：已知正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,a)和點(diǎn)B(b,-6)，且a+b=1，求k的值；在平面直角坐標(biāo)系中，畫出y=2x和y=-2x的圖象，觀察兩條圖象的位置關(guān)系（是否關(guān)于x軸或y軸對稱），并驗(yàn)證你的結(jié)論，深化對正比例函數(shù)圖象對稱性的理解。2024北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊授課教師：

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4.3.1正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)第四章

一次函數(shù)aiTujmiaNg學(xué)習(xí)目標(biāo)理解函數(shù)圖象的概念,掌握作函數(shù)圖象的一般步驟。（重點(diǎn)）掌握正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用解答有關(guān)問題。（難點(diǎn)）1.下列各式中，哪些是一次函數(shù)，哪些是正比例函數(shù)？一次函數(shù)的表達(dá)式：y=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠0)正比例函數(shù)的表達(dá)式：

y=kx(k為常數(shù)，k≠0)2.函數(shù)有哪些表示方式？它們之間有什么關(guān)系？表格、關(guān)系式、圖象三種方式可以相互轉(zhuǎn)化3.你能將關(guān)系式轉(zhuǎn)化成圖象嗎？什么是函數(shù)的圖象？把一個函數(shù)自變量的每一個值與對應(yīng)的函數(shù)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫作該函數(shù)的圖象。畫函數(shù)圖象的一般步驟：①列表②描點(diǎn)③連線(摩天輪上某一點(diǎn)離地面的高度h與旋轉(zhuǎn)時間t之間的函數(shù)圖象)知識點(diǎn)1函數(shù)的圖象知識點(diǎn)2正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)解：（1）列表；（2）描點(diǎn)；（3）連線。畫正比例函數(shù)y=2x的圖象。x…-2-1012…y024-4-2······y=2x操作·思考y=2x（0.5，1）（1.5，3）由函數(shù)表達(dá)式到圖象，你體會到了什么樣的數(shù)學(xué)思想？其他滿足y=2x的點(diǎn)（x，y）也在右邊畫出的直線上嗎？數(shù)形結(jié)合（1）畫出正比例函數(shù)y＝

-3x的圖象。解：①列表；②描點(diǎn)；③連線。x…-2-1012…y0-3-663······y=-3x（2）在所畫的圖象上任意取幾個點(diǎn)，

找出它們的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，它

們滿足關(guān)系式嗎？滿足思考·交流y=-3x滿足關(guān)系式y(tǒng)=-3x的x，y所對應(yīng)的點(diǎn)（x，y）都在正比例函數(shù)y=-3x的圖象上嗎？（3）正比例函數(shù)y=-3x的圖象上的點(diǎn)（x，y）都滿足關(guān)系式y(tǒng)=-3x嗎？（4）觀察比較，兩個函數(shù)的圖象有什么相同點(diǎn)，有什么不同點(diǎn)？y=2xy=-3x①y=2x經(jīng)過一、三象限，②y=-3x經(jīng)過二、四象限。①函數(shù)圖象都經(jīng)過原點(diǎn)（0,0），②函數(shù)圖象都是一條直線。第一象限第三象限第二象限第四象限不同點(diǎn)相同點(diǎn)正比例函數(shù)y＝kx的圖象有何特點(diǎn)？（5）y=2xy=-3x第一象限第三象限第二象限第四象限正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象是一條經(jīng)過_____________的______。原點(diǎn)（0,0）直線正比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)幾何畫板演示：正比例函數(shù)的圖象知道了正比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)，有沒有更簡便的正比例函數(shù)圖象的繪制方法？正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)（0，0）的直線，因此，畫正比例函數(shù)圖象時，只要再確定一個點(diǎn)，過這個點(diǎn)與原點(diǎn)畫直線就可以了。兩點(diǎn)作圖法

例2

（1）在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出正比例函數(shù)y=x，y=3x，y=-x

和y=-4x的圖象。y=

-4xy=xy=3xy=﹣x

兩點(diǎn)作圖法嘗試·思考（2）隨著

x值的增大，y的值分別如何變化？思考：相應(yīng)圖象上的點(diǎn)的變化趨勢如何？嘗試·思考3.k值與圖象所在象限有何關(guān)系？當(dāng)k＞0時，經(jīng)過第一、三象限。當(dāng)k＜0時，經(jīng)過第二、四象限。嘗試·思考當(dāng)k＞0時，從左向右呈_______趨勢，y的值隨著x值的增大而________；在正比例函數(shù)y＝kx中，當(dāng)k＜0時，從左向右呈_______趨勢，y的值隨著x值的增大而________。上升增大下降減小y=2xy=xy=3x(1)正比例函數(shù)y=x

和y=3x

中，隨著x值的增大，y的值都增大了，其中哪一個增大得更快？k>0，當(dāng)k越大，直線越陡，直線越靠近

y

軸，相應(yīng)的函數(shù)值上升得越快。取同一個x值時，對應(yīng)的y值變化。思考·交流y=-3xy=-4xy=﹣x

(2)類似地，正比例函數(shù)y＝-

x

和y＝-4x中，隨著x值的增大，y的值都減小了，其中哪一個減小得更快？你是如何判斷的？k＜0，當(dāng)|

k|

越大，直線越陡，直線越靠近

y

軸，相應(yīng)的函數(shù)值下降得越快。取同一個x值時，對應(yīng)的y值變化。當(dāng)_____越大時，直線越陡，圖象越靠近

y

軸，相應(yīng)的函數(shù)值上升或下降得越快。|k|已知函數(shù)y=3x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－1,y1),B(－2,y2),則y1_______y2.(填“>”

“<”

或“=”)＞例3已知函數(shù)的關(guān)系式及其圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，比較點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值的方法有三種:(1)代入法.它準(zhǔn)確,但需要計算.(2)圖象法.它直觀形象,但需要畫圖.(3)函數(shù)性質(zhì)法.它是三種方法里面最簡便的一種.方法總結(jié)正比例函數(shù)y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象和性質(zhì)k的正負(fù)函數(shù)圖象圖象的形狀經(jīng)過的象限增減性變化的快慢k＞0k＜0過原點(diǎn)，從左向右是上升的直線（↗）過原點(diǎn)，從左向右是下降的直線（↘）第一、三象限第二、四象限y

的值隨

x

值的增大而增大y

的值隨

x

值的增大而減小|k|越大，直線越陡，上升的越快|k|越大，直線越陡，下降的越快在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=-2x的圖象大致是（）1.B下列哪些點(diǎn)在正比例函數(shù)y＝﹣5x的圖象上?2.（1，5），（-1，5），（0.5，﹣2.5），（﹣5，1）。已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函數(shù)y=3x的圖象上，若x1<x2，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A.y1＞y2B.y1＜y2C.y1=y2D.y1≥y23.B在同一平面