/陽江三中2025--2026學(xué)年度第一學(xué)期開學(xué)考試高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前在答題卡上填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)、座位號(hào)等信息；2．請將答案正確填寫在答題卡上．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)常見數(shù)集，結(jié)合交集運(yùn)算，可得答案.【詳解】因?yàn)榧鲜撬蟹钦麛?shù)組成的集合，所以．故選：D.2.已知是定義在上的偶函數(shù)，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱可求得的值，由偶函數(shù)的定義可得，可求的值，進(jìn)而可求得結(jié)論.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，解得，所以定義域?yàn)橛郑?，所以，又，所以，所?故選：D.3.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，再求復(fù)數(shù)的模即可.【詳解】由，故選：B．4.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定各數(shù)與特殊值0，1的關(guān)系，分析即得解【詳解】由，，，所以.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合已知條件計(jì)算得出，再結(jié)合兩角和余弦公式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，，則.故選：A.6.已知向量，，若，則（）A.4 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】由得，解得.故選:7.一組不全相等的數(shù)據(jù)，去掉一個(gè)最大值，則下列數(shù)字特征一定改變的是（）A.極差 B.中位數(shù) C.平均數(shù) D.眾數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的定義，結(jié)合題設(shè)、特例和各項(xiàng)描述依次分析其正誤.【詳解】A，由題意，去掉一個(gè)最大值后，剩下的數(shù)據(jù)中可能有數(shù)據(jù)等于原來的最大值，此時(shí)極差不變，A錯(cuò)誤；B，中位數(shù)不一定改變，如原數(shù)據(jù)為1，2，2，3，中位數(shù)為2，去掉3后，數(shù)據(jù)為1，2，2，中位數(shù)還是2，B錯(cuò)誤；C，設(shè)原平均數(shù)為，假設(shè)去掉最大值后平均數(shù)不變，則，所以，解得，由原數(shù)據(jù)不全相等，可得，矛盾，所以平均數(shù)一定改變，C正確；D，眾數(shù)不一定改變，如數(shù)據(jù)為2，2，3，4，眾數(shù)為2，去掉4后，眾數(shù)仍為2，D錯(cuò)誤．故選：C8.已知為銳角，且，則的最大值（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先結(jié)合和差角公式及同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡，然后結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】因?yàn)殇J角，且，分式上下除以得，，，為銳角，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，最大值為．故選：D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.若復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，則B.若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則C.當(dāng)時(shí)，D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能在第二象限【答案】ACD【解析】【分析】對于AB，由復(fù)數(shù)的概念驗(yàn)算即可；對于C，由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可；對于D，由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】對于A，依題意可得，即，則，故A正確；對于B，依題意可得，故B錯(cuò)誤；對于C，依題意可得，所以，故C正確；對于D，若復(fù)數(shù)z在平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)在第二象限，則，所以D正確，故選：ACD．10.已知一組數(shù)據(jù)如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，則（）A.這組數(shù)據(jù)的極差為4B.這組數(shù)據(jù)的方差為2C.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)等于平均數(shù)D.這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為2025【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合極差、方差、眾數(shù)、百分位數(shù)的定義和求法依次判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】A：由數(shù)據(jù)知，極差為，對；B：平均數(shù)為，則方差，錯(cuò)；C：眾數(shù)為，即與平均數(shù)相等，對；D：由，則數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，對.故選：ACD11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.在上是增函數(shù) D.的值域是【答案】BC【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義舉例判斷A；利用奇函數(shù)的定義推理判斷B；利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷C；求出的值域，進(jìn)而求出的值域判斷D.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，對于A，，，，函數(shù)不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對于B，，則函數(shù)是奇函數(shù)，B正確；對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在R上是增函數(shù)，C正確；對于D，由，得，則，的值域?yàn)椋珼錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知圓柱的底面直徑與球的半徑均為2，且圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，則圓柱的母線長為______.【答案】8【解析】【分析】設(shè)圓柱的母線長為，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式和球的表面積公式列方程求解即可.【詳解】設(shè)圓柱的母線長為，則圓柱的側(cè)面積為，易知球表面積為，所以，解得.故答案為：813.已知平面向量，，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出，再利用坐標(biāo)求出向量的模.【詳解】由向量，，得，由，得，解得，所以.故答案為：14.已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在體積為的球面上，正三棱錐體積最大時(shí)，該正三棱錐的高為______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)錐體與外接球的性質(zhì)，結(jié)合棱錐的體積公式以及基本不等式的三維形式進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，正三棱錐外接球的半徑，設(shè)正三棱錐的底面邊長為，高為，則正三角形的外接圓的半徑為，所以，即，所以，又正三棱錐體積為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)正三棱錐體積最大時(shí)，該正三棱錐的高為4.故答案為:4.四、解答題（本題共6小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟．）15.已知函數(shù)，其中．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若時(shí)，的最小值為4，求的值．【答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，進(jìn)而根據(jù)周期公式求得函數(shù)的最小正周期；利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）由已知找到取最小值為4時(shí)的值，得到關(guān)于的方程．【小問1詳解】，．由，，求得，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】由時(shí)，，，，解得．16.某制藥廠生產(chǎn)一種治療流感的藥物，該藥品有效成分的標(biāo)準(zhǔn)含量為/片．由于升級(jí)了生產(chǎn)工藝，需檢驗(yàn)采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了生產(chǎn)的10片藥品作為樣本，測得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．（1）計(jì)算樣本的平均數(shù)和方差；（2）判斷采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分是否達(dá)標(biāo)（若，則認(rèn)為采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分不達(dá)標(biāo)；反之認(rèn)為達(dá)標(biāo)）．【答案】（1），；（2）達(dá)標(biāo).【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可得到答案；（2）計(jì)算兩者的平方值并比較大小即可.【小問1詳解】，.【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，故采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分達(dá)標(biāo)．17.記的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若的周長為，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化為角，求出角；（2）根據(jù)已知條件求出的值，最后利用面積公式求出三角形面積.【小問1詳解】（方法一）由及正弦定理，得.又，得，即.因?yàn)?，所?（方法二）由及正弦定理，得.又，得，即，因?yàn)?，所以，故，所以，故，?【小問2詳解】由（1）得.由的周長為，得.由，所以，即，故，所以.18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，，分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)及線面平行的判斷定理，即可證明；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求線面角，再根據(jù)幾何關(guān)系求解正弦值.【小問1詳解】在中，，分別是，的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面．【小問2詳解】四邊形是正方形，，又平面，平面，，又，且平面，平面．【小問3詳解】由（2）知，平面，為斜線在平面上的射影，為直線與平面所成的角．由題意，在中，，，，，即直線與平面所成角的正弦值為．19.（1）已知，，且，求的最大值；（2）已知，，，求的最小值；（3）已知，若對任意正數(shù)，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）16；（3）【解析