/臨汾一中2025-2026學年度第一學期高二年級開學考試數(shù)學試題（卷）第I部分（選擇題共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的除法結合復數(shù)的概念求解即可.【詳解】因為復數(shù)滿足，因此，復數(shù)的虛部為.故選:D.2.如圖所示，直線的斜率分別為，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應用斜率與傾斜角的關系即可判斷．【詳解】由，結合的函數(shù)圖象，直線對應的傾斜角為鈍角，則，直線與都為銳角，且傾斜角大于的傾斜角，則，故．故選：B3.某工廠利用隨機數(shù)表對生產的50個零件進行抽樣測試，先將50個零件進行編號，編號分別為01，02，，50，從中抽取6個樣本，下面提供隨機數(shù)表的第1行到第2行：66674037146405711105650995866876832037905716031163149084452175738805905223594310若從表中第1行第6列開始向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（）A.57 B.50 C.40 D.10【答案】B【解析】【分析】結合隨機數(shù)表法定義，按照題意依次讀出前個數(shù)即可.【詳解】從隨機數(shù)表第1行的第6列數(shù)字開始由左向右每次連續(xù)讀取2個數(shù)字，刪除超出范圍及重復的編號，符合條件的編號有03，46，40，11，10，50，所以選出來的第6個個體的編號為50.故選：B.4.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示求出參數(shù)，然后根據(jù)充分、必要性判斷即可.【詳解】向量，，若，則，即，解得或，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．5.若是一個圓的方程，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)即可求出結果.【詳解】據(jù)題意，得，所以.【點睛】本題考查圓的一般方程，屬于基礎題型.6.如圖，空間四邊形中，，，，點在線段上，且，點為中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】利用空間向量基本定理，得到答案.【詳解】，點為中點，.故選：D7.如圖所示，為測量河對岸的塔高，選取了與塔底在同一水平面內的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，則塔高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函數(shù)的定義，求得的長，即可求解．【詳解】在中，，所以所以，由正弦定理，可得，在直角中，因為所以，即塔高為．故選：C．8.已知三棱錐各條棱均相等，P，Q分別為棱，的中點，則直線和直線所成角的大小為（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】B【解析】【分析】取的中點，連接、，或其補角即為直線和直線所成的角，然后利用，，可得，結合，即可求解.【詳解】如圖取的中點，連接，因為點P棱的中點，所以，所以或其補角即為直線和直線所成的角，連接，Q為棱的中點，所以，取的中點，連接、則，，又因為，平面，所以，所以，且所以是等腰直角三角形，所以故選：B【點睛】本題主要考查了求異面直線所成的角，屬于基礎題.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知事件與事件，是事件的對立事件，是事件的對立事件，若，，則下列說法正確的是（）A.B.若事件與事件是互斥事件，則C.若事件與事件相互獨立，則D.若，則事件與事件相互獨立【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對立事件可判斷A；根據(jù)互斥事件和獨立事件的概率公式即可判斷BCD.【詳解】，故A正確；因為事件與事件是互斥事件，所以，故B錯誤；若事件與事件相互獨立，則事件與事件相互獨立，所以，故C正確；因為，所以，所以事件與事件相互獨立，所以事件與事件相互獨立，故D正確．故選：ACD．10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.在上單調遞減C.直線為的一條對稱軸D.若為偶函數(shù)，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象得到，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的性質進行逐一判斷.【詳解】由圖可知：，，則，當時，函數(shù)取得最大值，所以，又，所以所以.對A，的最小正周期為，正確；對B，，令，則，可知在不是單調的，故錯誤；對C，由，所以，所以取得最小值-3，直線為的一條對稱軸，故正確；對D，為偶函數(shù)，所以，故正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，點O為線段的中點，且點P滿足（，），則下列說法正確的是（）A.若平面，則最小值為B.若平面，則，C.若，則P到平面的距離為D.若，時，直線與平面所成角為，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量法計算線面平行結合基本不等式計算判斷A，應用線面垂直的向量表示計算判斷B，根據(jù)點到平面距離公式計算求解判斷C，應用線面角公式計算判斷D.【詳解】如圖，以點D為坐標原點，以、、所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則有，，，，，，，，，則，，，對于A：，，．設平面的一個法向量為，則有，令，則，故．因為，平面，所以，得，又因為，，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為，故A正確；對于B：，則，若平面，則有，即，解得，，故B錯誤；對于C：若，則，則到平面的距離為，故C正確；對于D：，當，時，，則，當時，，當時，，當且僅當時，等號成立，故，即，故D正確．故選：ACD.第Ⅱ部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線，直線，若，則___________．【答案】【解析】【分析】由兩條直線平行列式計算即可.【詳解】若，則，解得，檢驗，當時，，，此時成立，符合題意，故.故答案為：.13.在平面上有如下命題：“若為直線外一點，則點在直線上的充要條件是：存在實數(shù)，滿足，且.”將該命題類比到空間中，并解決以下問題：正四面體的棱長為1，為底面內一點，且滿足，其中為實數(shù)，則____________.【答案】【解析】【分析】將該命題類比到空間中，有“若為平面外一點，則點在平面上的充要條件是：存在實數(shù)，滿足，且.”，故只需求出，再結合數(shù)量積的運算律.【詳解】將該命題類比到空間中，有“若為平面外一點，則點在平面上的充要條件是：存在實數(shù)，滿足，且.”正四面體的棱長為1，為底面內一點，且滿足，其中為實數(shù)，則，解得，則.故答案為：.14.已知正四棱臺高為，上、下底面邊長分別為2和4，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正四棱臺的結構特征和性質求出球的半徑，進而可求出球的表面積.【詳解】設正四棱臺上、下底面所在截面圓的半徑為，則，若球心到上底面距離為，球體半徑為，則球心到下底面距離為，所以，可得，則，所以球體的表面積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚．15.某城市交通部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖.（1）求圖中的值；（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）已知滿意度評分值在內的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2，若在滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談，求2人均為男生的概率.【答案】（1）；（2）平均數(shù)為，中位數(shù)設為；（3）.【解析】【分析】（1）由各組的頻率和為1，列方程可求出的值；（2）由平均數(shù)的公式直接求解，由圖可得中位數(shù)在第3組，若設中位數(shù)設為，則，從而可求得的值；（3）滿意度評分值在內有人，其中男生3人，女生2人，從5人中選2人，用列舉法列出所有情況，利用概率公式求解即可【詳解】（1）由，解得.（2）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.中位數(shù)設為，則，解得.（3）滿意度評分值在內有人，其中男生3人，女生2人.記為，記“滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談，恰有1名女生”為事件，從5人中抽取2人有：，，，，，，，，，所以總基本事件個數(shù)為10個，包含的基本事件個數(shù)為3個，所以.16.已知直線經過點.（1）若不過原點且在兩坐標軸上截距和為零，求的方程；（2）設的斜率與兩坐標軸的交點分別為，當?shù)拿娣e最小時，求的斜截式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設的點斜式方程為，求出兩坐標軸上的截距，求出，即可得解；（2）求出兩坐標軸上的截距，再根據(jù)的面積結合基本不等式求出的面積最小時的值，即可得解.【小問1詳解】由題意知，的斜率存在且不為0，設斜率為，則的點斜式方程為，則它在兩坐標軸上截距分別為和，所以，解得（此時直線過原點，舍去）或，所以的點斜式方程為，即；【小問2詳解】由（1）知，，，所以的面積，當且僅當即時，等號成立，的點斜式方程為，所以的斜截式方程為.17.在平面直角坐標系中，圓C經過點和點，且圓心C在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）已知圓的方程為，請問圓與圓會相交嗎？若相交求出兩圓的公共弦長；若不相交，請說明理由.【答案】（1）（2）相交，【解析】【分析】（1）利用圓的幾何性質-弦的中垂線經過圓心，結合題設條件求得圓心和半徑，即得圓的方程；（2）先利用兩圓的位置關系判斷即得圓C與圓相交，根據(jù)兩圓的方程求出過兩交點的直線方程.再由圓的弦長公式，計算即得弦長.【小問1詳解】因，則線段的中點的坐標為，且直線的斜率,于是線段的垂直平分線所在直線方程為,則由，解得，∴圓心，半徑,∴圓的方程為；【小問2詳解】由圓得：∴圓心，半徑，∵圓的圓心坐標為，半徑，由，，因，故圓與圓相交；設圓與圓的兩個交點分別為點，如圖，由左右分別相減，整理得,∴直線的方程為,∴圓心到直線的距離,∴，綜上：圓與圓相交，兩圓的公共弦長為.18.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．（1）求A；（2）若D為中點，且，求的周長；（3）若是銳角三角形，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再化簡即可得到角A；（2）由題意可得，將兩邊平方結合向量的數(shù)量積可得，再利用余弦定理得求得，進而得到周長；（3）由正弦定理用表示出，再代入三角形的面積公式，即可求得面積的取值范圍.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，即，所以，所以，因為，所以，所以，得，由，得；【小問2詳解】因為D為中點，所以，則，所以，解得（舍）或，由余弦定理得，所以，所以的周長為；【小問3詳解】在中，由正弦定理得，所以，所以根據(jù)題意得，解得，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍是.19.如圖，在四棱錐中，側面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中．（1）求證：；（2）線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質即可證明；（2）取的中點，以直線、、分別為、、軸建立