飛機多學科優(yōu)化(MDO)

最優(yōu)化方法是一門極具特色的學科，兼具古老與年輕的雙重屬性。其歷史源遠流長，源頭可追溯至法國數(shù)學家拉格朗日提出的函數(shù)在等式約束條件下的極值問題，這一經(jīng)典問題奠定了最優(yōu)化方法的理論根基。

然而，在高速計算機問世之前，受限于計算能力，人們難以求解大規(guī)模優(yōu)化問題。隨著計算機技術的飛速發(fā)展，優(yōu)化方法逐漸成為工業(yè)設計和決策管理領域的實用工具，展現(xiàn)出強大的應用價值。

從數(shù)學模型角度看，最優(yōu)化方法是在給定的可行集和目標函數(shù)基礎上，計算函數(shù)在集合上的極值。這一過程不僅是數(shù)學理論的應用，更是解決實際問題的有效途徑，能夠幫助我們在眾多選擇中找到最優(yōu)解。

優(yōu)化問題可依據(jù)可行集性質分類。若可行集元素有限，可歸納為組合優(yōu)化或網(wǎng)絡規(guī)劃，像圖論里的最短路徑問題和學校課程表排課問題。此類問題有明確的離散元素，可通過特定算法找到最優(yōu)解。

若可行集是有限維空間的連續(xù)子集，可分為線性或非線性規(guī)劃。線性規(guī)劃中目標函數(shù)和約束函數(shù)均為線性函數(shù)，能借助成熟的線性規(guī)劃算法求解。非線性規(guī)劃更復雜，適用于工程優(yōu)化設計領域，以解決復雜的工程問題。

若可行集中元素依賴時間決策序列，則屬于動態(tài)規(guī)劃。一般來說，線性規(guī)劃、網(wǎng)絡規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃多用于管理與決策科學，而非線性規(guī)劃更多用于工程優(yōu)化設計。

前面我們對優(yōu)化方法的概述有了全面了解，知曉其分類和應用場景?，F(xiàn)在，讓我們進入一個實際的優(yōu)化實例。本頁聚焦混料系統(tǒng)設計的最優(yōu)化問題，看看在原料混合中如何運用優(yōu)化方法。接下來，我們將具體探討原料混合的要求和求解過程。第7頁

在優(yōu)化實例中，有三種原料混合的問題。三種原料混合后成分需滿足特定要求，即N1≥0.04，N2≥0.02，N3≥0.07。關鍵在于確定三種原料各占多少比例，既能滿足成分要求，又能使成本達到最低。

為解決該問題，設原料1占x1份，原料2占x2份，原料3占x3份。由于三種原料占比總和為1，所以得出x1+x2+x3=1的等式。這為后續(xù)構建約束條件和目標函數(shù)奠定了基礎。

在混料系統(tǒng)設計的最優(yōu)化問題里，我們需要明確原料混合的約束條件。這里有三種原料混合，混合后的成分有相應要求，由此得出了一系列約束式。

像N1、N2、N3這些成分含量的式子，是根據(jù)三種原料各自占比計算得出，且要滿足一定的下限值。經(jīng)過對這些式子的逐步簡化，得到了幾個更為簡潔的不等式。

比如2x1-x2≥0、x1+3x2≥1等。這些簡化后的約束條件意義重大，它們是后續(xù)求解最優(yōu)化問題的關鍵，能幫助我們劃定可行域，從而找到滿足成分要求且成本最低的原料配比。

在混料系統(tǒng)設計的最優(yōu)化問題中，我們已經(jīng)明確了約束條件。這里有幾個重要的不等式，3x1+x2≥2，x1≥0，x2≥0，1-x1-x2≥0，它們限定了原料配比的可行范圍。

而我們的目標是讓成本最低，目標函數(shù)f(x)經(jīng)過化簡后為7x1+4x2+8，要使其達到最小值。這就像是在一個復雜的迷宮中，約束條件劃定了我們能走的區(qū)域，而目標函數(shù)則是指引我們找到出口的線索。我們的任務就是在這個可行的區(qū)域內，找到那個能讓成本最小的點，也就是最優(yōu)點。

在解決該優(yōu)化實例問題時，可運用圖解法。依據(jù)約束條件能夠確定可行域為凸集R，其有三個頂點，分別是A、B、C。這三個頂點是可行域的關鍵邊界點，對求解問題至關重要。

隨后繪制目標函數(shù)的等高線，以f(x)=10這條等高線為例。當目標函數(shù)值增大時，等高線會平行向右移動。而我們的目標是找出滿足約束條件的目標函數(shù)的最小值，通過這種直觀的圖解方式，能更清晰地找到最優(yōu)點。

前面我們探討了混料系統(tǒng)設計的最優(yōu)化問題，構建了約束條件和目標函數(shù)。本處作為優(yōu)化實例的關鍵過渡環(huán)節(jié)，承接著前面的計算過程，要邁向求解階段。在解決實際問題時，構建數(shù)學模型只是第一步，接下來需運用合適方法求解。就像我們已搭建好橋梁的框架，接下來要找到通過橋梁的路徑。之后我們會利用圖解法，在可行域中確定最優(yōu)點，進而得出三種原料的最佳混合比例，實現(xiàn)成本最低的目標。

在之前的步驟中，我們已明確要尋找滿足約束條件的目標函數(shù)最小值。這里，當目標函數(shù)對應的直線平行移動時，首先與凸集R的B點相切。由于凸集頂點往往蘊含著最優(yōu)解的關鍵信息，所以B點即為我們要確定的最優(yōu)點。

從圖中可知，最優(yōu)點B點是x1+3x2=1及3x1+x2=2這兩條直線的交點。因為兩條直線的交點同時滿足這兩個方程，所以我們通過解這個聯(lián)立方程，就能求出最優(yōu)點對應的x1和x2的值。

通過求解聯(lián)立方程x1+3x2=1和3x1+x2=2，我們得到了最優(yōu)點。其中x1的值為5/8，x2的值為1/8。在此基礎上，根據(jù)x3=1-x1-x2，算出x3的值為2/8。這組數(shù)值至關重要，它代表了在滿足約束條件下，三種原料的最佳混合比例。

將這些最優(yōu)值代入目標函數(shù)f(x)=7x1+4x2+8，得出目標函數(shù)的最小值為12.88。這意味著按照此比例混合原料，既能滿足成分要求，又能實現(xiàn)成本最低化，體現(xiàn)了優(yōu)化的意義。

通過前面的計算，我們得出1、2、3三種原料按5/8、1/8、2/8的比例混合，不僅能滿足成分要求，還能讓成本降至最低，達到12.88元/公斤。這一結果體現(xiàn)了優(yōu)化的價值。透過這個例子，我們發(fā)現(xiàn)目標函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)，這種情況就被稱作線性規(guī)劃。線性規(guī)劃在實際中應用廣泛，能幫助我們在眾多限制條件下找到最優(yōu)解，提高效率、降低成本。

在飛機設計中，依據(jù)升力、阻力和推力要求能初步選定飛機的構型幾何參數(shù)。飛機設計方案往往呈現(xiàn)出兩種特性，要么滿足所有要求，要么超出所有要求，這意味著設計方案是有余量的，并非最輕設計。

以T/W和W/S這兩個參數(shù)為例，我們要思考怎樣的組合能在飛機重量最輕的條件下滿足全部要求。標準做法是對T/W和W/S的基準參數(shù)進行加或減20%甚至更精細的調整，然后繪制參數(shù)矩陣。

此外，飛機設計還有性能要求作為約束條件，如起飛距離要小于500ft，在Ma為0.9、5g、高度為30000ft時單位剩余功率Ps要大于等于0，Ma從0.9加速到1.5的時間要小于50s。這些約束條件確保了飛機設計的科學性和合理性。

前面我們通過線性規(guī)劃的優(yōu)化實例，了解了如何確定最優(yōu)點和計算目標函數(shù)最小值?，F(xiàn)在，我們將視角轉向航空領域，來到“飛機參數(shù)矩陣”這部分。這里會探討如何根據(jù)性能要求初步選擇飛機構型幾何參數(shù)，繪制參數(shù)矩陣。之后還會有哪些有趣的數(shù)學概念等著我們呢，讓我們一起期待。

一般的優(yōu)化問題采用特定形式表達，即求目標函數(shù)f(x1,x2,…,xn)的最小值，同時滿足約束條件g(x)≥0，且x屬于定義域D。這里的x1,x2,…,xn處于可行域Ω內，代表問題參數(shù)的選擇范圍，也可用矢量形式X表示。f(x)作為決策問題的數(shù)學模型和目標函數(shù)，反映了決策追求的目標；g(x)≥0是約束條件，限定了決策的可行范圍；D則明確了問題的定義域。

優(yōu)化問題本質是求極值，但極值點眾多，關鍵在于找到全局最小點。而且求最大值和最小值本質相同，采用的算法一致。這為解決各類優(yōu)化問題提供了統(tǒng)一的思路和方法。

在優(yōu)化問題中，目標函數(shù)f(x)的形態(tài)會隨著自變量維度的變化而變化。當自變量x僅為一維時，f(x)表現(xiàn)為一條曲線，這是我們較為熟悉的簡單形態(tài)，在平面直角坐標系中就能清晰呈現(xiàn)其走勢。

當自變量變?yōu)槎S，即x=(x1,x2)時，f(x1,x2)成為一個曲面。想象一下，在三維空間里，這個曲面如同起伏的山巒，有高峰也有低谷。

若自變量進一步增加到三維，x=(x1,x2,x3)，f(x1,x2,x3)表示體密度或類位勢函數(shù)，它描繪的是三維空間中某種物理量的分布情況。

而當自變量是n維，即x=(x1,x2,…,xn)時，f(x1,x2,…,xn)是超曲面，雖然難以直觀想象，但它在高維空間中同樣存在著極值點，這也是我們在優(yōu)化問題中需要去探尋的關鍵所在。

曲面和超曲面都具有多個極大值和極小值，并且必然存在一個全局最大值和一個全局最小值。這就好比在一片高低起伏的山脈中，有許多山峰和山谷，但一定有一座最高峰和一個最低谷。

對于搜索這些極值的算法，可分為兩類。一類是局部優(yōu)化算法，也叫經(jīng)典優(yōu)化算法，它們如同在山脈的某一小片區(qū)域內尋找高低點，只能在自己的小范圍內搜索極大值或極小值。另一類是全局性優(yōu)化算法，即現(xiàn)代優(yōu)化算法，它們則像能俯瞰整個山脈的飛鳥，可以在整個超曲面取值范圍內搜索最大值或最小值。

在數(shù)學概念里，我們以一個簡單曲面來理解全局性優(yōu)化算法。簡單曲面存在諸多極大值和極小值，也有全局最大值和最小值。全局性優(yōu)化算法通常采用隨機性搜索。與局部優(yōu)化算法不同，它并非局限于小范圍，而是在整個超曲面取值范圍搜索。隨機性搜索能突破局部限制，更有機會找到全局最優(yōu)解。

優(yōu)化算法主要分為局部優(yōu)化算法和全局性優(yōu)化算法。前者也叫經(jīng)典優(yōu)化算法，經(jīng)過廣泛深入研究，適用于解決凸問題或單峰問題，采用確定性搜索策略，如單純形法、進退法等。這些算法在特定范圍內有高效的求解能力。

后者即現(xiàn)代優(yōu)化算法，是20世紀80年代興起的新型算法，用于求解非凸問題或多峰問題，采用概率性搜索策略，包括禁忌搜索、蟻群算法等。這類算法能在更大范圍內搜索最優(yōu)解，為復雜問題提供了新的解決途徑。

優(yōu)化算法里，單谷函數(shù)指給定區(qū)間僅有一個谷值的函數(shù)，其所在區(qū)間為單谷區(qū)間。從一維角度看局部搜索基本思想，函數(shù)值呈“大－小－大”變化，圖形表現(xiàn)為“高—低—高”。這意味著單谷區(qū)間內必然存在極小點。

對于一維搜索，首要任務是找出初始單谷區(qū)間，因為它是后續(xù)操作的基礎。之后是使區(qū)間縮小，不斷逼近極小點。這兩步是一維搜索的關鍵，通過逐步縮小范圍找到極小點的精確位置。

在優(yōu)化算法里，確定初始單谷區(qū)間是一維搜索的重要一步，而進退法就是用于確定初始單谷區(qū)間的方法。此前我們了解到單谷區(qū)間中一定能求得一個極小點，找初始單谷區(qū)間是后續(xù)搜索的基礎。進退法作為專門解決這一問題的方法，能幫助我們開啟一維搜索，為后續(xù)通過迭代計算縮小區(qū)間、得到極小點的數(shù)值近似解等操作奠定基礎。

我們接著探討優(yōu)化算法中的黃金分割法，它屬于局部優(yōu)化算法。此前我們了解到，局部優(yōu)化算法主要用于解決凸問題或單峰問題，采用確定性搜索策略。黃金分割法基于區(qū)間消去法原理，在搜索區(qū)間內適當插入兩點，將區(qū)間分成三段，通過迭代使搜索區(qū)間不斷縮小，最終得到極小點的近似解，是一種實用的局部搜索方法。

黃金分割法是一種重要的局部優(yōu)化算法，它建立在區(qū)間消去法原理之上。具體操作是，在搜索區(qū)間[a,b]內適當插入兩點，把區(qū)間分成三段。通過這種方式，利用區(qū)間消去法不斷縮小搜索區(qū)間。

這種縮小不是一步到位的，而是要經(jīng)過迭代計算。每一次迭代都讓搜索區(qū)間進一步縮小，持續(xù)迭代下去，搜索區(qū)間就會無限縮小。最終，我們就能得到極小點的數(shù)值近似解。這一算法為解決優(yōu)化問題提供了有效途徑。

在優(yōu)化算法里，黃金分割法是重要的局部優(yōu)化算法。它的核心操作是將搜索區(qū)間分成三段。之前我們了解到，黃金分割法基于區(qū)間消去法原理，通過在搜索區(qū)間內適當插入兩點來分段。然后不斷縮小搜索區(qū)間，經(jīng)過迭代計算，讓區(qū)間無限縮小，進而得到極小點的數(shù)值近似解。將區(qū)間分成三段這一步，是黃金分割法實現(xiàn)搜索區(qū)間縮小的關鍵，為精準求解奠定基礎。

梯度是有方向的導數(shù)，屬于矢量。在曲線情形下，若導數(shù)大于零，意味著x增加時y也增加，就如同B點的情況；若導數(shù)小于零，則x增加時y減小，這對應著A點。

我們的目標是搜索極小值C點。在A點時，要朝著x增加的方向搜索，而此方向與A點梯度方向相反；在B點時，需朝著x減小的方向搜索，該方向也與B點梯度方向相反。

由此可見，搜索極小值的關鍵在于向負梯度方向搜索，這便是梯度下降法的核心要點，它在局部優(yōu)化算法中有著重要作用。

在優(yōu)化算法里，梯度下降法作為局部優(yōu)化算法，有著重要地位。從原理看，梯度是有方向的導數(shù)，代表矢量。若曲線導數(shù)大于0，自變量增加時因變量也增加；若導數(shù)小于0，自變量增加時因變量減小。要搜索極小值，需向負梯度方向進行。梯度下降法就是利用這一特性，不斷迭代使搜索區(qū)間縮小，從而逼近極小值。

現(xiàn)代優(yōu)化算法有幾個顯著特征。其一，它與目標函數(shù)的導數(shù)無關，這就擺脫了傳統(tǒng)算法對導數(shù)的依賴，能處理更多復雜的函數(shù)問題。其二，對設計空間變量要求不苛刻，不要求連續(xù)，意味著它的適用范圍更廣，能應對各種離散或不連續(xù)的變量情況。

再者，采用隨機性確定下一步搜索方向，這增加了算法的靈活性和探索性，有可能跳出局部最優(yōu)解，找到更優(yōu)的結果。最后，一般不具備解析表達式，參數(shù)選取往往基于經(jīng)驗，這雖然給算法使用帶來一定挑戰(zhàn)，但也為使用者根據(jù)實際情況靈活調整提供了空間。

在優(yōu)化算法的講解中，為了更形象地闡述，這里用一個有趣的比喻。一群有志氣的兔子想要找出地球上最高的山，它們開始想各種辦法。這個比喻巧妙地將優(yōu)化算法的尋找最優(yōu)解過程具象化。就如同兔子找最高的山，我們在實際的優(yōu)化算法運用中，也是在眾多可能里去探尋最優(yōu)的結果。接下來就讓我們看看兔子們想出了哪些辦法，從中理解不同的優(yōu)化算法。

在優(yōu)化算法中，有一種局部搜索法，我們用一個有趣的例子來說明。方案一是兔子們朝著比現(xiàn)在高的地方跳去，它們確實找到了不遠處的最高山峰。然而，這一山峰未必就是珠穆朗瑪峰。它們只是主觀認為找到了最高的山，卻無法保證局部最優(yōu)值就是全局最優(yōu)值。這就如同“一葉障目，不見泰山”，只看到眼前的小成就，而忽略了更大的可能。這也提醒我們，在實際運用優(yōu)化算法時，不能局限于局部搜索，要有全局視野。1.2優(yōu)化實例1.4數(shù)學概念提綱1.3飛機參數(shù)矩陣1.5優(yōu)化算法1.1概述1.6多學科優(yōu)化設計MDO1.1概述最優(yōu)化方法是一門古老而又年輕的學科；源頭可以追溯到法國數(shù)學家拉格朗日關于一個函數(shù)在一組等式約束條件下的極值問題；直到有了高速計算機，人們對各類大規(guī)模的優(yōu)化問題才得以求解，優(yōu)化方法成為工業(yè)設計、決策管理的一種實用工具；數(shù)學模型：給定一個集合（稱為可行集）和該集合上定義的實值函數(shù)（稱為目標函數(shù)），要計算函數(shù)在集合上極值。1.1概述可以按可行集的性質對優(yōu)化問題進行分類：如果可行集中的元素是有限的，則歸納為：組合優(yōu)化或網(wǎng)絡規(guī)劃，例如：圖論中的最短路徑，學校課程表排課問題等；若可行集是有限維空間中的一個連續(xù)子集，則歸納為線性（目標函數(shù)和約束函數(shù)均為線性函數(shù)）或非線性規(guī)劃；若可行集中元素是依賴于時間的決策序列，則為動態(tài)規(guī)劃；……一般，線性規(guī)劃、網(wǎng)絡規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃更多的用于管理與決策科學；非線性規(guī)劃更多的用于工程優(yōu)化設計。1.2優(yōu)化實例混料系統(tǒng)設計的最優(yōu)化問題：原料成分成本(元/公斤)N1N2N310.060.020.091520.030.040.051230.040.010.0381.2優(yōu)化實例三種原料混合，混合后的成分應滿足下列要求：N1≥0.04，N2≥0.02，N3≥0.07問上述三種原料各應占多少，使之既滿足成分要求又使成本最低？解：原料1應占x1份，原料2應占x2份，原料3應占x3份，則：x1+x2+x3=1其約束條件為：N1=0.06x1+0.03x2+0.04(1-x1-x2)≥0.04N2=0.02x1+0.04x2+0.01(1-x1-x2)≥0.02N3=0.09x1+0.05x2+0.03(1-x1-x2)≥0.07x1≥0，x2≥0，1-x1-x2≥0簡化上述各式得：2x1-x2≥0x1+3x2≥11.2優(yōu)化實例3x1+x2≥2x1≥0，x2≥0，1-x1-x2≥0而最低成本為其目標函數(shù)，即：f(x)=15x1+12x2+8(1-x1-x2)=7x1+4x2+8→Min1.2優(yōu)化實例利用圖解法求解。根據(jù)約束條件可找到其可行域為凸集R，它具有三個頂點，即為A,B,C然后畫出目標函數(shù)的等高線，例如f(x)=10那條等高線。當目標函數(shù)值增加時，這條平行向右移動。我們要求的是滿足約束條件的目標函數(shù)的最小值。1.2優(yōu)化實例1.2優(yōu)化實例直線平行移動，首先與凸集R的B點相切，B點（凸集的頂點之一）即為我們所要確定的最優(yōu)點。從圖中可以看出，最優(yōu)點——B點為x1+3x2=1及3x1+x2=2這兩條直線的交點，所以解下列聯(lián)立方程：1.2優(yōu)化實例x1+3x2=13x1+x2=2求得最優(yōu)點為：x1=5/8x2=1/8于是x3=1-x1-x2=2/8目標函數(shù)最小值為：f(x)=7x1+4x2+8=12.88Min1.2優(yōu)化實例即1、2、3三種原料應按5/8、1/8、2/8的比例混合，混合后既能滿足成分要求，又使成本最低，即12.88元/公斤。從上述例子中可以看到，目標函數(shù)和約束條件均為線性函數(shù)，稱為線性規(guī)劃。1.2優(yōu)化實例1.3飛機參數(shù)矩陣或毯式曲線根據(jù)滿足升力、阻力和推力要求初步選擇飛機的構型幾何參數(shù)；飛機方案有許多不同的特性，要么滿足所有的要求，要么超過所有的要求，這表明：設計方案是一種有余量的設計，而不是最輕的設計；例如：T/W和W/S怎樣組合才能在重量最輕的條件下滿足全部要求？標準做法：T/W和W/S的基準參數(shù)加或減20%（或更細），繪制參數(shù)矩陣；性能要求(約束條件)：起飛距離小于500ft；在Ma為0.9\5g\H=30000ft時，Ps>=0（單位剩余功率）；

Ma由0.9-1.5的加速時間小于50s(n=1)。1.3飛機參數(shù)矩陣1.4數(shù)學概念一般的優(yōu)化具有下面形式：minf(x1,x2,…,xn) s.t.g(x)

0，x

D其中x1,x2,…,xn

Ω（即問題的可行域，代表問題參數(shù)的選擇范圍），即minf(X)，其中X

Ω（矢量形式）。

f(x)是決策問題的數(shù)學模型，也是決策問題的目標函數(shù)，g(x)

0是決策問題的約束條件，D是決策問題的定義域（可行域）。問題歸結為求極值。極值點非常多，需要找到全局最小點。求問題的最大和最小是同一個問題，算法完全一樣。關于f(x)： 當x=(x)時，f(x)是一條曲線； 當x=(x1,x2)時，f(x1,x2)是一個曲面； 當x=(x1,x2,x3)時，f(x1,x2,x3)是一個體密度（或類位勢函數(shù)）； 當x=(x1,x2,…,xn)時，f(x1,x2,…,xn)是一個超曲面。1.4數(shù)學概念曲面，自然有許多極大值和極小值，必然各有一個全局最大值和全局最小值。 超曲面，與上相同。有些算法，只能在自己的小范圍內搜索極大值或極小值。這些算法稱為局部優(yōu)化算法，常稱為經(jīng)典優(yōu)化算法。另有些算法，可以在整個超曲面取值范圍內搜索最大值或最小值。這些算法稱為全局性優(yōu)化算法，又稱為現(xiàn)代優(yōu)化算法。

1.4數(shù)學概念一個簡單曲面全局性優(yōu)化算法通常是隨機性搜索。1.4數(shù)學概念1.5優(yōu)化算法局部優(yōu)化算法和全局性優(yōu)化算法。前者可以稱為經(jīng)典優(yōu)化算法，已經(jīng)得到了人們廣泛深入的研究。主要用于解決凸問題或單峰問題，通常使用確定性搜索策略，比如單純形法、進退法、梯度下降法、爬山法、貪心法等。后者習慣上稱為現(xiàn)代優(yōu)化算法，是20世紀80年代興起的新型全局性優(yōu)化算法，主要用于求解非凸問題或多峰問題，通常使用概率性搜索策略。主要包括禁忌搜索、蟻群算法、遺傳算法等。在給定區(qū)間內僅有一個谷值的函數(shù)稱為單谷函數(shù)，其區(qū)間稱為單谷區(qū)間。1.5.1局部搜索的基本思想（一維為例）函數(shù)值：“大－?。蟆眻D形：“高—低—高”

單谷區(qū)間中一定能求得一個極小點找初始單谷區(qū)間是一維搜索的第一步；第二步使區(qū)間縮小。1.5優(yōu)化算法1.5優(yōu)化算法1.5.2確定初始單谷區(qū)間的進退法1.5優(yōu)化算法1.5.4局部優(yōu)化算法：黃金分割法在搜索區(qū)間內[a,b]適當插入兩點，將區(qū)間分成三段；黃金分割法也是建立在區(qū)間消去法原理基礎上的試探方法。利用區(qū)間消去法，使搜索區(qū)間縮小，通過迭代計算，使搜索區(qū)間無限縮小，從而得到極小點的數(shù)值近似解。1.5優(yōu)化算法1.5.4局部優(yōu)化算法：黃金分割法將區(qū)間分成三段1.5優(yōu)化算法1.5.4局部優(yōu)化算法：黃金分割法梯度，即導數(shù)，但是有方向，是一個矢量。曲線情況下，表達式為如果，f’(x)>0，則x增加，y也增加，相當于B點；如果f’(x)<0，則x增加，y減小，相當于A點。要搜索極小值C點，在A點必須向x增加方向搜索，此時與A點梯度方向相反；在B點必須向x減小方向搜索，此時與B點梯度方向相反?？傊?，搜索極小值，必須向負梯度方向搜索。1.5優(yōu)化算法1.5.5局部優(yōu)化算法：梯度下降法1.5優(yōu)化算法1.5.5局部優(yōu)化算法：梯度下降法1.5優(yōu)化算法1.5.6現(xiàn)代優(yōu)化算法特征該算法與目標函數(shù)的導數(shù)無關；對設計空間變量無苛刻要求，不要求連續(xù)；采用隨機性確定下一步搜索方向；一般不具備解析表達式，參數(shù)選取往往基于經(jīng)驗。

為了找出地球上最高的山，一群有志氣的兔子們開始想辦法。

算法比喻1.5優(yōu)化算法

方案一：兔子們朝著比現(xiàn)在高的地方跳去，它們找到了不遠處的最高山峰。但是這座山不一定是珠穆朗瑪峰。其實，它們這種做法只是自己心理上認為找到了最高的山，并不能保證局部最優(yōu)值就是全局最優(yōu)值。局部搜索法

1.5優(yōu)化算法“一葉障目,不見泰山”

方案二：兔子們吃了失憶藥片，并被發(fā)射到太空，然后隨機落到了地球上的某些地方。他們不知道自己的使命是什么。但是，如果你過幾年就殺死一部分海拔低的兔子，多產的兔子們自己就會找到珠穆朗瑪峰。遺傳算法

1.5優(yōu)化算法“物競天擇，適者生存”

方案三：兔子們知道一個兔子的力量是渺小的。于是，它們互相轉告著，哪里的山已經(jīng)找過，并且找過的每一座山他們都留下一只兔子做記號。這樣，它們制定了下一步去哪里尋找的策略。禁忌搜索法

1.5優(yōu)化算法方案四：兔子們用酒將自己灌醉了。它們隨機地跳了很長時間。在這期間，它們可能走向高處，也可能踏入平地。但是，隨著時間的流逝，它們漸漸清醒了并朝最高方向跳去。兔子喝醉后，對比較近的山峰視而不見，迷迷糊糊地跳一大圈子，反而更有可能找到珠峰。

模擬退火法

1.5優(yōu)化算法遺傳算法舉例群體爬山求解問題（尋找最高點）第一步：隨機生成初始解第二步：不斷通過交叉、變異及選擇處理第三步：得到新的種群第四步：重復二三步，直到到達最高點遺傳算法的基本流程遺傳算法算例說明—編碼求解問題maxf(x)=x2[0,31]x取正整數(shù)第一步：編碼采用二進制形式我們把變量x編碼為5位長的二進制無符號整數(shù)表示形式

00000031111117001111201100算例說明—種群生成第二步初始種群的生成由于遺傳算法的群體型操作需要，所以為遺傳操作準備了一個由若干初始解組成的初始群體。這里我們取群體大小為4，即群體由4個個體組成，每個個體通過隨機初始化產生初始群體也稱為進化的初始代，即第一代（firstgeneration），初始化后，群體為

01101110000100010011算例說明—適應度評價遺傳算法用評價函數(shù)（適應度函數(shù)值）來評估個體（解）的優(yōu)劣，并作為以后遺傳操作的依據(jù)。這里我們根據(jù)f(x)=x2

在評價個體適應度值大小時，首先要解碼，即把基因型個體變成表現(xiàn)型個體（即搜索空間的解）這里就是二進制到十進制的轉換

基因型

01101110000100010011

表現(xiàn)型x1324819f(x)=x2169

57664361

（適應度值）算例說明—選擇選擇概率適應度總和1170，平均值293運用輪盤賭選擇結果

1201計算結果為0.140.490.060.31算例說明—選擇第i個族群適應值F(i)復制個數(shù)011011690.141110005760.49201000640.060100113610.311第i個族群0110111000

0100010011選擇后01101110001100010011算例說明—交叉單點交叉為例兩個染色體1011100111001100假設交叉點在位置41011|10011100|11001011110011001001算例說明—交叉01101110001100010011假定選擇配對情況1和2配對3和4配對

01101110001100010011交叉點選擇第一對位置3，第二對位置1交叉前01|1011100|0

11|000

1001|1交叉后0100011001

1110110010算例說明—交叉交叉前配對交叉點交叉后xf(x)011012301000864110001311101298411100041110012562510011311001018324

f=1854平均適應度值f=463.5算例說明—變異●變異基因數(shù)的決定基因總數(shù)×變異概率=(4×5)×0.1=2

有兩個基因將被突變●隨機選取染色體進行變異●隨機選取要變異染色體的基因位●變異目的在避免陷入局部最優(yōu)解算例說明—變異01000111011100110010假設變異基因發(fā)生在第一個染色體的第3位和第四個染色體的第二位上變異就是把二進制的0變成1把1變成0變異前01000111011100110010變異后01100111011100110000算例說明—變異變異前是否有變異變異點變異后

ff(x)01000是3011001214411101否-111012984111001否-110012562510010是11000016256

f=1866

平均適應度值f=466.5MultidisciplinaryDesignOptimization飛行器設計過程通常分為概念設計、初步設計和詳細設計三個階段。概念設計結果是給出初步的總體設計方案。經(jīng)濟可承受性問題被重視，因而LCC成為衡量設計方案好壞的標準。下圖是波音公司針對彈道導彈系統(tǒng)的LCC一個統(tǒng)計結果。1.6多學科優(yōu)化設計MDO1.6.1MDO概念的提出1.6多學科優(yōu)化設計MDO1.6.1MDO概念的提出由圖中看出，概念設計費用只占LCC的1%，做出的決策所決定的費用為70%。人們開始注意提高概念設計的質量，采用的手段就是優(yōu)化技術。概念設計的目標：最小起飛重量或最大有效載荷，關鍵學科為空氣動力學和推進技術。下圖顯示傳統(tǒng)飛行器設計的途徑，