相同元素分配試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.把10個(gè)相同的蘋果分給3個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少1個(gè)，共有（）種分法。A.36B.84C.120D.2102.將8個(gè)相同的球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)球，不同的放法有（）種。A.21B.28C.36D.453.12個(gè)相同的元素分給4個(gè)不同的集合，每個(gè)集合至少1個(gè)元素，分法有（）種。A.165B.220C.286D.3304.把5個(gè)相同的禮物分給2個(gè)人，每人至少1個(gè)，有（）種分法。A.4B.6C.8D.105.7個(gè)相同的物品分給3個(gè)不同的接收者，每個(gè)接收者至少1個(gè)，分法有（）種。A.15B.20C.25D.306.9個(gè)相同的棋子放入4個(gè)不同的棋盒，每個(gè)棋盒至少1個(gè)棋子，不同的放法有（）種。A.56B.70C.84D.1267.6個(gè)相同的元素分配到3個(gè)不同的組，每個(gè)組至少1個(gè)元素，分配方法有（）種。A.10B.15C.20D.258.15個(gè)相同的物體分給5個(gè)不同的地方，每個(gè)地方至少1個(gè)物體，分法有（）種。A.3003B.1001C.2002D.13659.4個(gè)相同的東西分給2個(gè)不同的人，每人至少1個(gè)，有（）種分法。A.3B.5C.7D.910.10個(gè)相同的小物件分給4個(gè)不同的小盒子，每個(gè)小盒子至少1個(gè)小物件，分法有（）種。A.84B.126C.210D.252答案：1.A2.A3.A4.A5.A6.A7.A8.A9.A10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.關(guān)于把n個(gè)相同元素分配到m個(gè)不同對(duì)象（n≥m，每個(gè)對(duì)象至少1個(gè)），以下說法正確的有（）。A.可以用插空法求解B.分法數(shù)量與n和m的具體值有關(guān)C.分法數(shù)量只與m有關(guān)D.分法數(shù)量只與n有關(guān)2.在將相同元素分配問題中，以下哪些因素會(huì)影響分配的方法數(shù)（）。A.元素的總數(shù)B.接受分配的對(duì)象個(gè)數(shù)C.每個(gè)對(duì)象是否有數(shù)量限制D.元素是否相同3.當(dāng)把12個(gè)相同的球分配到3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少2個(gè)球時(shí)，以下（）情況會(huì)影響分法。A.球的總數(shù)變?yōu)?5個(gè)B.盒子個(gè)數(shù)變?yōu)?個(gè)C.每個(gè)盒子至少放3個(gè)球D.球變成不同顏色4.對(duì)于將相同元素分配到不同對(duì)象的問題，以下（）是正確的。A.若元素個(gè)數(shù)不變，對(duì)象個(gè)數(shù)增加，分法可能改變B.若對(duì)象個(gè)數(shù)不變，元素個(gè)數(shù)增加，分法可能改變C.與元素和對(duì)象的順序有關(guān)D.可以轉(zhuǎn)化為組合問題求解5.以下關(guān)于相同元素分配到不同地方的說法正確的是（）。A.不同的分配要求會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果B.分配結(jié)果只與元素總數(shù)有關(guān)C.分配結(jié)果只與地方個(gè)數(shù)有關(guān)D.可以用排列組合的知識(shí)解決6.若把8個(gè)相同的物件分配到3個(gè)不同的容器，每個(gè)容器至少1個(gè)物件，以下（）會(huì)改變分法數(shù)量。A.物件總數(shù)變?yōu)?0個(gè)B.容器個(gè)數(shù)變?yōu)?個(gè)C.每個(gè)容器至少2個(gè)物件D.物件變?yōu)椴煌N類7.在相同元素分配問題中，（）是需要考慮的關(guān)鍵因素。A.元素是否相同B.接受元素的對(duì)象是否相同C.分配的條件（如每個(gè)對(duì)象至少幾個(gè)等）D.元素的排列順序8.把15個(gè)相同的元素分配到5個(gè)不同的組，以下（）情況會(huì)影響分法。A.元素總數(shù)變?yōu)?8個(gè)B.組的個(gè)數(shù)變?yōu)?個(gè)C.每個(gè)組至少2個(gè)元素D.元素有不同的優(yōu)先級(jí)9.當(dāng)分配相同元素到不同對(duì)象時(shí)，（）。A.不同的分配規(guī)則會(huì)有不同的分法B.分法數(shù)量不受元素個(gè)數(shù)影響C.分法數(shù)量不受對(duì)象個(gè)數(shù)影響D.可以通過建立數(shù)學(xué)模型求解10.對(duì)于相同元素分配到不同個(gè)體的情況，以下（）會(huì)對(duì)分配方式產(chǎn)生影響。A.元素個(gè)數(shù)的變化B.個(gè)體個(gè)數(shù)的變化C.每個(gè)個(gè)體的分配下限變化D.元素的特殊標(biāo)記答案：1.AB2.ABC3.ABC4.ABD5.AD6.ABC7.AC8.ABC9.AD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.把相同元素分配到不同對(duì)象，分法數(shù)量只取決于元素個(gè)數(shù)。（）2.在相同元素分配問題中，若每個(gè)對(duì)象至少得到1個(gè)元素，那么分配方法數(shù)與對(duì)象個(gè)數(shù)無關(guān)。（）3.當(dāng)把n個(gè)相同元素分配到m個(gè)不同對(duì)象（n<m，每個(gè)對(duì)象至少1個(gè)）時(shí)，無法用常規(guī)方法計(jì)算分法數(shù)量。（）4.對(duì)于相同元素分配到不同的地方，只要元素總數(shù)不變，分配方法數(shù)就不變。（）5.把相同的東西分給不同的人，若不限制每人得到的數(shù)量，分法只有一種。（）6.10個(gè)相同的球分給5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球，分法數(shù)量與12個(gè)相同的球分給6個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球的分法數(shù)量相同。（）7.在相同元素分配問題中，改變接受分配的對(duì)象的性質(zhì)（如從盒子變?yōu)榇樱?，分法?shù)量不變。（）8.若把6個(gè)相同的元素分配到2個(gè)不同的集合，每個(gè)集合至少2個(gè)元素，其分法數(shù)量比每個(gè)集合至少1個(gè)元素的分法數(shù)量少。（）9.對(duì)于相同元素分配到不同的容器，分法數(shù)量與容器是否有順序有關(guān)。（）10.把相同元素分配到不同的組，只要組的個(gè)數(shù)相同，分配規(guī)則相同，分法數(shù)量就相同。（）答案：1.錯(cuò)誤2.錯(cuò)誤3.錯(cuò)誤4.錯(cuò)誤5.錯(cuò)誤6.錯(cuò)誤7.正確8.正確9.錯(cuò)誤10.正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述把相同元素分配到不同對(duì)象（每個(gè)對(duì)象至少1個(gè)）的一般解題思路。答案：一般可采用插空法。先將相同元素排成一排，元素間形成空位，然后在空位中插入隔板，隔板數(shù)比對(duì)象個(gè)數(shù)少1，這樣就可將元素分成不同的部分對(duì)應(yīng)不同對(duì)象，計(jì)算組合數(shù)得出分法數(shù)量。2.當(dāng)把n個(gè)相同元素分配到m個(gè)不同對(duì)象（n≥m，每個(gè)對(duì)象至少2個(gè)）時(shí)，與每個(gè)對(duì)象至少1個(gè)的情況有何不同？答案：每個(gè)對(duì)象至少1個(gè)可直接用插空法。而每個(gè)對(duì)象至少2個(gè)時(shí)，需要先給每個(gè)對(duì)象分1個(gè)元素，將問題轉(zhuǎn)化為把n-m個(gè)相同元素分配到m個(gè)不同對(duì)象，每個(gè)對(duì)象至少1個(gè)的情況，再用插空法求解。3.如何判斷兩個(gè)相同元素分配問題的分法數(shù)量是否相同？答案：需要考慮元素總數(shù)、接受分配的對(duì)象個(gè)數(shù)、每個(gè)對(duì)象的分配要求（如至少幾個(gè)等）。當(dāng)這三個(gè)方面都相同，分法數(shù)量才相同。4.請(qǐng)舉例說明相同元素分配到不同對(duì)象時(shí)，不同的分配條件對(duì)分法數(shù)量的影響。答案：如把5個(gè)相同球分給3個(gè)盒子。若每個(gè)盒子至少1個(gè)球，用插空法有6種分法；若每個(gè)盒子至少2個(gè)球，先給每個(gè)盒子1個(gè)球后，剩2個(gè)球分給3個(gè)盒子，有3種分法。不同分配條件分法數(shù)量不同。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在相同元素分配問題中，對(duì)象的性質(zhì)（如盒子、袋子等）對(duì)分法數(shù)量的影響。答案：若只是單純的相同元素分配，對(duì)象性質(zhì)不影響分法數(shù)量，都可按相同的組合思路求解。但如果對(duì)象本身有特殊限制（如盒子有容量限制等），則會(huì)影響分法數(shù)量。2.探討在將相同元素分配到不同對(duì)象時(shí)，如何建立數(shù)學(xué)模型來計(jì)算分法數(shù)量。答案：可以用組合模型，如插空法。將元素看作整體，根據(jù)分配要求插入隔板來劃分給不同對(duì)象，計(jì)算隔板的組合數(shù)就是分法數(shù)量。也可通過設(shè)變量建立方程求解。3.試分析相同元素分配到不同對(duì)象（每個(gè)對(duì)象至少1個(gè)）與不同元素分配到不同對(duì)象（每個(gè)對(duì)象至少1個(gè)）在解題思路上的差異。答案：相同元素分配可用插空法等組合思路。不同元素分配到