2025年線性代數(shù)(行列式與矩陣)高校期末考試題庫及答案解析一、選擇題1.已知行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=3\)，則行列式\(\begin{vmatrix}2a_{11}&2a_{12}\\2a_{21}&2a_{22}\end{vmatrix}\)的值為（）A.3B.6C.12D.24答案：C解析：根據(jù)行列式的性質(zhì)，若\(n\)階行列式\(A\)的某一行（列）中所有元素都乘以數(shù)\(k\)，則行列式的值等于原行列式的值乘以\(k\)。對于二階行列式\(\begin{vmatrix}2a_{11}&2a_{12}\\2a_{21}&2a_{22}\end{vmatrix}\)，相當(dāng)于第一行元素乘以\(2\)，第二行元素也乘以\(2\)，那么行列式的值變?yōu)樵瓉淼腬(2\times2=4\)倍。已知\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=3\)，所以\(\begin{vmatrix}2a_{11}&2a_{12}\\2a_{21}&2a_{22}\end{vmatrix}=4\times3=12\)。2.設(shè)\(A\)，\(B\)均為\(n\)階方陣，則下列等式中一定成立的是（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=A^TB^T\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.若\(AB=O\)，則\(A=O\)或\(B=O\)答案：C解析：-選項(xiàng)A：\((A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2\)，只有當(dāng)\(AB=BA\)時，\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)才成立，所以選項(xiàng)A錯誤。-選項(xiàng)B：根據(jù)轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)\((AB)^T=B^TA^T\)，而不是\(A^TB^T\)，所以選項(xiàng)B錯誤。-選項(xiàng)C：對于\(n\)階方陣\(A\)和\(B\)，行列式的性質(zhì)\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)一定成立，所以選項(xiàng)C正確。-選項(xiàng)D：若\(AB=O\)，不能得出\(A=O\)或\(B=O\)，例如\(A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)，\(AB=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)，但\(A\neqO\)且\(B\neqO\)，所以選項(xiàng)D錯誤。3.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A^{-1}\vert\)的值為（）A.1B.2C.4D.8答案：C解析：根據(jù)行列式的性質(zhì)，若\(A\)為\(n\)階方陣，\(k\)為常數(shù)，則\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)，且\(\vertA^{-1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}\)。已知\(A\)為\(3\)階方陣，\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A^{-1}\vert=2^3\vertA^{-1}\vert\)，又因?yàn)閈(\vertA^{-1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}=\frac{1}{2}\)，所以\(\vert2A^{-1}\vert=8\times\frac{1}{2}=4\)。4.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)為（）A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&-3\\-2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&-3\\-2&4\end{pmatrix}\)答案：A解析：對于二階矩陣\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，其伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)。已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A^\)為\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。5.若\(n\)階方陣\(A\)滿足\(A^2-2A-3E=O\)，則\(A^{-1}\)等于（）A.\(\frac{1}{3}(A-2E)\)B.\(\frac{1}{3}(A+2E)\)C.\(\frac{1}{2}(A-3E)\)D.\(\frac{1}{2}(A+3E)\)答案：A解析：已知\(A^2-2A-3E=O\)，移項(xiàng)可得\(A^2-2A=3E\)，進(jìn)一步變形為\(A(A-2E)=3E\)，兩邊同時乘以\(\frac{1}{3}\)得到\(A\cdot\frac{1}{3}(A-2E)=E\)。根據(jù)逆矩陣的定義，若\(AB=E\)，則\(B\)是\(A\)的逆矩陣，所以\(A^{-1}=\frac{1}{3}(A-2E)\)。二、填空題1.行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)的值為______。答案：0解析：\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}\)\(=1\times(5\times9-6\times8)-2\times(4\times9-6\times7)+3\times(4\times8-5\times7)\)\(=1\times(45-48)-2\times(36-42)+3\times(32-35)\)\(=1\times(-3)-2\times(-6)+3\times(-3)\)\(=-3+12-9=0\)也可以通過行列式的性質(zhì)，將第三行減去第二行的\(1\)倍，第二行減去第一行的\(4\)倍，得到\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-3&-6\end{vmatrix}\)，因?yàn)橛袃尚性叵嗤?，所以行列式的值為\(0\)。2.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=\)______。答案：\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)解析：對于對角矩陣\(A=\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots&0\\0&a_{2}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_{n}\end{pmatrix}\)，若\(a_i\neq0(i=1,2,\cdots,n)\)，則\(A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{a_{1}}&0&\cdots&0\\0&\frac{1}{a_{2}}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\frac{1}{a_{n}}\end{pmatrix}\)。已知\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)，所以\(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，則\(AB=\)______。答案：\(\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)解析：根據(jù)矩陣乘法的規(guī)則，若\(A=(a_{ij})_{m\timess}\)，\(B=(b_{ij})_{s\timesn}\)，則\(AB=(c_{ij})_{m\timesn}\)，其中\(zhòng)(c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}\)。對于\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)和\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，\(AB\)的第一行第一列元素為\(1\times5+2\times7=19\)，第一行第二列元素為\(1\times6+2\times8=22\)，第二行第一列元素為\(3\times5+4\times7=43\)，第二行第二列元素為\(3\times6+4\times8=50\)。4.設(shè)\(A\)為\(4\)階方陣，且\(r(A)=3\)，則\(r(A^)\)的值為______。答案：1解析：對于\(n\)階方陣\(A\)，\(r(A)\)與\(r(A^)\)的關(guān)系為：\(r(A^)=\begin{cases}n,&r(A)=n\\1,&r(A)=n-1\\0,&r(A)\ltn-1\end{cases}\)已知\(A\)為\(4\)階方陣，\(r(A)=3=n-1\)，所以\(r(A^)=1\)。5.若\(\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}=0\)，則\(x\)的值為______。答案：\(x=1\)或\(x=-2\)解析：\(\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}x&1\\1&x\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1&1\\1&x\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1&x\\1&1\end{vmatrix}\)\(=x(x^2-1)-(x-1)+(1-x)\)\(=x^3-x-x+1+1-x\)\(=x^3-3x+2\)\(=x^3-x-2x+2\)\(=x(x^2-1)-2(x-1)\)\(=x(x-1)(x+1)-2(x-1)\)\(=(x-1)(x^2+x-2)\)\(=(x-1)^2(x+2)\)令\((x-1)^2(x+2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=-2\)。三、計算題1.計算行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}\)。解：將行列式的第二、三、四行都加到第一行上，得\(\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1+2+3+4&2+3+4+1&3+4+1+2&4+1+2+3\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}10&10&10&10\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}\)提取第一行的公因子\(10\)，得\(10\begin{vmatrix}1&1&1&1\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}\)再將第一行乘以\(-2\)加到第二行，乘以\(-3\)加到第三行，乘以\(-4\)加到第四行，得\(10\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&-1\\0&1&-2&-1\\0&-3&-2&-1\end{vmatrix}\)將第二行乘以\(-1\)加到第三行，乘以\(3\)加到第四行，得\(10\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&-1\\0&0&-4&0\\0&0&4&-4\end{vmatrix}\)將第三行加到第四行，得\(10\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&-1\\0&0&-4&0\\0&0&0&-4\end{vmatrix}\)根據(jù)上三角行列式的值等于主對角線元素之積，可得\(10\times1\times1\times(-4)\times(-4)=160\)。2.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)，求\(A^{-1}\)。解：方法一：利用伴隨矩陣求逆矩陣。先求\(\vertA\vert\)，\(\vertA\vert=1\times\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}0&1\\0&1\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}0&1\\0&0\end{vmatrix}=1\)。求\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)：\(A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\)，\(A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}0&1\\0&1\end{vmatrix}=0\)，\(A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}0&1\\0&0\end{vmatrix}=0\)\(A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=-1\)，\(A_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\)，\(A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&1\\0&0\end{vmatrix}=0\)\(A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=0\)，\(A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=-1\)，\(A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\)\(A^=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\)則\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\)。方法二：利用初等行變換求逆矩陣。\((A\vertE)=\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\0&0&1&0&0&1\end{pmatrix}\)第一行減去第二行得\(\begin{pmatrix}1&0&0&1&-1&0\\0&1&1&0&1&0\\0&0&1&0&0&1\end{pmatrix}\)第二行減去第三行得\(\begin{pmatrix}1&0&0&1&-1&0\\0&1&0&0&1&-1\\0&0&1&0&0&1\end{pmatrix}\)所以\(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\)。3.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&2\\1&3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\1&3\end{pmatrix}\)，求滿足方程\(AX=B\)的矩陣\(X\)。解：若\(A\)可逆，則\(X=A^{-1}B\)。先求\(\vertA\vert\)：\(\vertA\vert=1\times\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2&2\\1&4\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}2&1\\1&3\end{vmatrix}\)\(=1\times(4-6)-2\times(8-2)+3\times(6-1)\)\(=-2-12+15=1\neq0\)，所以\(A\)可逆。求\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)：\(A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=-2\)，\(A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&2\\1&4\end{vmatrix}=-6\)，\(A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&1\\1&3\end{vmatrix}=5\)\(A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}2&3\\3&4\end{vmatrix}=1\)，\(A_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&3\\1&4\end{vmatrix}=1\)，\(A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}=-1\)\(A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}=1\)，\(A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}1&3\\2&2\end{vmatrix}=4\)，\(A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}=-3\)\(A^=\begin{pmatrix}-2&1&1\\-6&1&4\\5&-1&-3\end{pmatrix}\)\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^=\begin{pmatrix}-2&1&1\\-6&1&4\\5&-1&-3\end{pmatrix}\)則\(X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}-2&1&1\\-6&1&4\\5&-1&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\1&3\end{pmatrix}\)\(=\begin{pmatrix}-2\times1+1\times1+1\times1&-2\times1+1\times2+1\times3\\-6\times1+1\times1