11.1.2三角形的高、中線與角平分線與三角形有關(guān)的線段八年級(jí)上冊初中數(shù)學(xué)知識(shí)回顧概念三角形三角形的分類三角形的三邊關(guān)系按角分類按邊分類三角形兩邊的和大于第三邊三角形兩邊的差小于第三邊邊、頂點(diǎn)、角1.了解三角形的高、中線和角平分線的定義及畫法.2.會(huì)利用三角形的高、中線和角平分線解決實(shí)際問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)你還記得小學(xué)學(xué)過的“三角形的高”的定義嗎？定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對的邊所在的直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的這條邊上的高，這條對邊叫做三角形的底.高底ABC課堂導(dǎo)入D表示方法：從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高.記作AD⊥BC于點(diǎn)D.知識(shí)點(diǎn)1三角形的高新知探究ABCD三角形的高是一條垂線段三角形高的畫法：用三角板過某一頂點(diǎn)向其對邊或?qū)吽诘闹本€畫垂線，交對邊或?qū)呇娱L線于一點(diǎn)，所得的垂線段就是這條邊上的高.ABCD012345678910012345012345用同樣的方法，你能畫出△ABC的另兩條邊上的高嗎？012345678910111213141516EF用同樣的方法，你能畫出直角三角形和鈍角三角形各條邊上的高嗎？BACFABCDEF觀察圖形，不同三角形的三條高各有什么特點(diǎn)？BACFABCDEFABCEF三角形三條高的位置三角形銳角三角形直角三角形鈍角三角形三條高的位置三條高都在三角形內(nèi)部有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部有兩條高在三角形外部，另一條高在三角形內(nèi)部三條高的交點(diǎn)三條高交于三角形內(nèi)部三條高交于三角形的直角頂點(diǎn)三條高沒有交點(diǎn)，但三條高所在的直線交于三角形外一點(diǎn)例1下列圖形中，AD是△ABC的高的是（）B跟蹤訓(xùn)練新知探究ABCDABCDABCDABCDABCD判斷一條線段是否為三角形的高的方法一看頂點(diǎn)：三角形的高一定過頂點(diǎn).二看垂足：三角形的高的垂足在頂點(diǎn)的對邊或?qū)呇娱L線上.例2如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）A.銳角三角形

B.直角三角形C.鈍角三角形

D.不能確定B跟蹤訓(xùn)練新知探究三角形的內(nèi)部三角形的直角頂點(diǎn)三角形的外部2.表示方法：AD是△ABC的邊BC上的中線，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，BD=CD=BC.1.定義：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它所對的邊的中點(diǎn)，所得線段叫做三角形的這條邊上的中線.DCBA知識(shí)點(diǎn)2三角形的中線

新知探究被三角形的中線分成的兩個(gè)小三角形的面積大小有什么關(guān)系？DCBA

如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，證明：△ABD和△ACD的面積相等.DCBAE三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個(gè)小三角形.3.畫法：連接△ABC的頂點(diǎn)A和它所對的邊BC的中點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線.DCBAEF用同樣的方法，你能畫出△ABC的另兩條邊上的中線嗎？4.三角形的重心：三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.DCBAEFO重心一定在三角形內(nèi)例3如圖，有一塊三角形菜地，現(xiàn)要將其分成面積比為1∶1∶2的三塊，已知點(diǎn)A處是三塊菜地的共同水源處，則三塊菜地應(yīng)該怎么分？解：根據(jù)面積比為1∶1∶2的要求，可以將三角形菜地的總面積看作4份.如圖，作△ABC的中線AD，△ABD的中線AE，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面積比就是1∶1∶2.ABCED跟蹤訓(xùn)練新知探究三角形的中線可以將三角形分成面積相等的兩個(gè)小三角形1.定義：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.

DBCA知識(shí)點(diǎn)3三角形的角平分線新知探究3.畫法：畫∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線.用同樣的方法，你能畫出△ABC的另外兩條角平分線嗎？DBCAEF觀察三條角平分線，你有什么發(fā)現(xiàn)？三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，并且三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn).例4如圖，AD，BE，CF分別是△ABC的三條角平分線，請根據(jù)圖中各角之間的關(guān)系填空：DABCEF1234（1）∠1=∠（

）；（2）∠3=（）；（3）∠ACB=（）∠4.2∠ABC2跟蹤訓(xùn)練新知探究1.如圖，在△ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，則下列說法中，正確的是（）A．AD是△ABE的中線B．AE是△ABC的角平分線C．AF是△ACE的高線D．AE是△ABC的中線BABCDEF1234隨堂練習(xí)∠1+∠2=∠3+∠4

CEBC∠CAD∠BAC∠CFABCDEAF

BCDEAF（4）當(dāng)BE=8，AF=7時(shí)，求△ABC的面積.思路引導(dǎo)：3.如圖所示，已知△ABC的周長為27cm，AC=9cm，BC邊上的中線AD為6cm，△ABD的周長為19cm，AB=

.

8cmCADBAB+BC+AC=27cm，AC=9cmAB+BD+AD=19cm，AD=6cmAB+BC=18cmAB+BD=13cmAB=8cmBC=2BD高與三角形有關(guān)的線段中線角平分線重心課堂小結(jié)BACFABCDEFABCEFDCBAEFODBCAEF1.（重慶江津區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的高，AE是角平分線.若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE.拓展提升DEBAC

1.（重慶江津區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的高，AE是角平分線.若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE.拓展提升DEBAC∵AD是邊BC上的高，∴∠BAD=90°－∠B=10°，∴∠DAE=∠BAE－∠BAD=35°－10°=25°.學(xué)前溫故新課早知1.由不在同一條直線上的三條線段

相接所組成的圖形叫做三角形.

2.從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā),把這個(gè)角分成

的兩個(gè)角的

,叫做這個(gè)角的平分線.

首尾順次

相等

射線

學(xué)前溫故新課早知1.(1)如圖①,從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對的邊BC所在直線畫垂線,垂足為D,所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的

.

(2)如圖②,連接△ABC的頂點(diǎn)A和它所對的邊BC的中點(diǎn)D,所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的

.

高

中線

學(xué)前溫故新課早知(3)如圖③,三角形的三條中線相交于一點(diǎn).三角形三條中線的交點(diǎn)叫做

.

(4)如圖④,畫∠A的平分線AD,交∠A所對的邊BC于點(diǎn)D,所得線段AD叫做△ABC的

.

三角形的重心

角平分線

學(xué)前溫故新課早知2.如圖,下列說法正確的是(

).A.如圖①,由AB,BC,DE三條線段組成的圖形是三角形B.如圖②,已知∠BAD=∠CAD,則射線AD是△ABC的角平分線C.如圖③,已知D為邊BC上的中點(diǎn),則射線AD是△ABC的中線D.如圖④,已知AD⊥BC于點(diǎn)D,則線段AD是△ABC的邊BC上的高D1.認(rèn)識(shí)三角形的三條重要線段【例1】

下列說法中正確的是(

)A.平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線B.三角形的中線是經(jīng)過頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的直線C.鈍角三角形的三條高都在三角形外D.三角形的三條中線總在三角形內(nèi)解析:選項(xiàng)A,三角形的角平分線是一條線段,故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤,不符合題意;選項(xiàng)B,三角形的中線是經(jīng)過頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的線段,故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤,不符合題意;選項(xiàng)C,鈍角三角形的兩條短邊上的高都在三角形外,最長邊上的高在三角形內(nèi),故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤,不符合題意;選項(xiàng)D,三角形的三條中線總在三角形內(nèi),本選項(xiàng)說法正確,符合題意.故選D.答案:D2.三角形的三條重要線段的簡單應(yīng)用【例2】

如圖,已知AD,AE分別是△ABC的高和中線,AB=6,AC=8,BC=10,∠CAB=90°.(1)求AD的長;(2)求△ABE的面積;(3)計(jì)算△ACE和△ABE的周長差.分析直角三角形的面積等于兩條直角邊的乘積的一半,又等于斜邊與斜邊上的高的乘積的一半;因?yàn)锽E=CE=BC,所以△ABE的面積是△ABC面積的一半;△ACE的周長與△ABE的周長之差為AC+EC+AE-(AB+BE+AE)=AC-AB.123451.如圖,∠1=∠2,∠3=∠4,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.線段BD是△ABC的角平分線B.線段CE是△BCD的角平分線D.線段CE是△ABC的角平分線答案答案關(guān)閉D123452.在下面四個(gè)圖形中,線段BE是△ABC的高的是(

).答案答案關(guān)閉A123453.如圖,線段AM是△ABC的中線,若用S1表示△ABM的面積,用S2表示△ACM的面積,則S1與S2的大小關(guān)系是(

).A.S1>S2B.S1<S2C.