第03講二項式定理目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理．（2）會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．2023年北京卷第5題，4分2023年天津卷第11題，5分2023年上海卷第10題，5分2022年I卷第13題，5分(1)今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主,以考查基本運算和基本方法為主,難度中等偏下,與教材相當.(2)本節(jié)內(nèi)容在高考中的比重可能會持續(xù)降低,但仍然是備考的重要內(nèi)容.知識點1、二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題（1）二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)，都有：，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，（2）二項式的展開式的特點：①項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；②二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次數(shù)從到，每一項中，，次數(shù)和均為；④項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是，項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）．（3）兩個常用的二項展開式：①（）②（4）二項展開式的通項公式二項展開式的通項：公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同；③與的次數(shù)之和為．注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．②通項是針對在這個標準形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．2、二項式展開式中的最值問題（1）二項式系數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．=2\*GB3②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即．=3\*GB3③二項式系數(shù)和令，則二項式系數(shù)的和為，變形式．=4\*GB3④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令，則，從而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．（2）系數(shù)的最大項求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設展開式中各項系數(shù)分別為，設第項系數(shù)最大，應有，從而解出來．知識點3、二項式展開式中系數(shù)和有關問題常用賦值舉例：（1）設，二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假設為偶數(shù)），再結合①可得：．（2）若，則①常數(shù)項：令，得．②各項系數(shù)和：令，得．③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和（i）當為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）（ii）當為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）若，同理可得．注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應的結果．題型一：求二項展開式中的參數(shù)例1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）的展開式中的常數(shù)項與展開式中的常數(shù)項相等，則的值為（

）A． B． C．2 D．3例2．（2023·四川成都·成都實外校考模擬預測）已知的展開式中存在常數(shù)項，則n的可能取值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8例3．（2023·全國·高三專題練習）展開式中的常數(shù)項為－160，則a＝（

）A．－1 B．1 C．±1 D．2變式1．（2023·全國·高三專題練習）已知的展開式中的常數(shù)項為，則實數(shù)（

）A．2 B．-2 C．8 D．-8變式2．（2023·全國·高三專題練習）已知的展開式中第3項是常數(shù)項，則（

）A．6 B．5 C．4 D．3【解題方法總結】在形如的展開式中求的系數(shù)，關鍵是利用通項求，則．題型二：求二項展開式中的常數(shù)項例4．（2023·重慶南岸·高三重慶第二外國語學校?？茧A段練習）已知，二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．36 B．30 C．15 D．10例5．（2023·山西朔州·高三懷仁市第一中學校?？茧A段練習）二項式的展開式中的常數(shù)項為（

）A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120例6．（2023·北京房山·高三統(tǒng)考開學考試）的展開式中的常數(shù)項是（

）A． B． C． D．變式3．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？奸_學考試）的展開式中的常數(shù)項為（）A．20 B．20 C．－10 D．10變式4．（2023·全國·高三專題練習）若的展開式中存在常數(shù)項，則（

）A． B． C． D．變式5．（2023·全國·高三對口高考）若展開式中含有常數(shù)項，則n的最小值是（

）A．2 B．3 C．12 D．10【解題方法總結】寫出通項，令指數(shù)為零，確定，代入．題型三：求二項展開式中的有理項例7．（2023·全國·高三專題練習）在的展開式中，有理項的系數(shù)為（

）A． B． C．5 D．10例8．（2023·全國·高考真題）二項式的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有（

）A．6項 B．7項 C．8項 D．9項例9．（2023·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習）的展開式中所有有理項的系數(shù)和為（

）A．85 B．29 C． D．變式6．（2023·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學?？茧A段練習）二項式展開式中，有理項共有（

）項．A．3 B．4 C．5 D．7變式7．（2023·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）在二項式的展開式中，有理項共有（

）A．項 B．項 C．項 D．項變式8．（2023·全國·高三專題練習）若的展開式中有且僅有三個有理項，則正整數(shù)的取值為（

）A． B．或 C．或 D．【解題方法總結】先寫出通項，再根據(jù)數(shù)的整除性確定有理項．題型四：求二項展開式中的特定項系數(shù)例10．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的項的系數(shù)為（

）A．―4 B．84 C．―280 D．560例11．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？寄M預測）展開式中的系數(shù)為（

）A．270 B．240 C．210 D．180例12．（2023·廣東揭陽·高三校考階段練習）的展開式中的系數(shù)是（

）A．20 B． C．10 D．變式9．（2023·河北邢臺·高三邢臺市第二中學?？茧A段練習）已知的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式中的系數(shù)為（

）A． B．240 C． D．160變式10．（2023·全國·高三專題練習）在二項式的展開式中，含的項的二項式系數(shù)為（

）A．28 B．56 C．70 D．112變式11．（2023·北京·高三專題練習）在二項式的展開式中，含項的二項式系數(shù)為（

）A．5 B． C．10 D．【解題方法總結】寫出通項，確定r，代入．題型五：求三項展開式中的指定項例13．（2023·全國·高三專題練習）在的展開式中，的系數(shù)為.例14．（2023·山東·高三沂源縣第一中學校聯(lián)考開學考試）展開式中含項的系數(shù)為．例15．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預測）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．變式12．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）展開式中常數(shù)項是.（答案用數(shù)字作答）變式13．（2023·江蘇·金陵中學校聯(lián)考三模）展開式中的常數(shù)項為.變式14．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考模擬預測）的展開式中，的系數(shù)為．變式15．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）展開式中的系數(shù)是.【解題方法總結】三項式的展開式：若令，便得到三項式展開式通項公式：，其中叫三項式系數(shù)．題型六：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數(shù)例16．（2023·廣西百色·高三貴港市高級中學校聯(lián)考階段練習）的展開式中的系數(shù)為．例17．（2023·河北保定·高三校聯(lián)考開學考試）在的展開式中含項的系數(shù)是.例18．（2023·江西南昌·高三統(tǒng)考開學考試）展開式中的系數(shù)是.變式16．（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學考試）的展開式常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）變式17．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）已知多項式，則.變式18．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學?？寄M預測）的展開式中含項的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）變式19．（2023·河北唐山·高三開灤第二中學?？茧A段練習）設展開式中的常數(shù)項為，則實數(shù)的值為.變式20．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學?？寄M預測）展開式中的系數(shù)為.【解題方法總結】分配系數(shù)法題型七：求二項式系數(shù)最值例19．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）若展開式的所有項的二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項的二項式系數(shù)為．（用數(shù)字作答）例20．（2023·全國·高三專題練習）二項式的展開式中，只有第6項的二項式系數(shù)最大，則含的項是．例21．（2023·人大附中?？既＃┮阎検降恼归_式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，且展開式中項的系數(shù)為20，則實數(shù)的值為.變式21．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）二項式的展開式中當且僅當?shù)?項的二項式系數(shù)最大，則，展開式中含的項的系數(shù)為．變式22．（2023·陜西西安·西安中學?？寄M預測）已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為.變式23．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）在的二項展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則該二項展開式中的常數(shù)項等于．【解題方法總結】利用二項式系數(shù)性質(zhì)中的最大值求解即可．題型八：求項的系數(shù)最值例22．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？家荒＃┰诘恼归_式中，系數(shù)最大的項為.例23．（2023·江西吉安·江西省萬安中學?？家荒＃┮阎恼归_式中，末三項的二項式系數(shù)的和等于121，則展開式中系數(shù)最大的項為.（不用計算，寫出表達式即可）例24．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預測）的二項式展開中，系數(shù)最大的項為．變式24．（2023·全國·高三專題練習）已知的展開式中各項系數(shù)之和為64，則該展開式中系數(shù)最大的項為．變式25．（2023·全國·高三專題練習）若n展開式中前三項的系數(shù)和為163，則展開式中系數(shù)最大的項為．變式26．（2023·全國·高三專題練習）展開式中只有第6項系數(shù)最大，則其常數(shù)項為.變式27．（2023·安徽蚌埠·高三統(tǒng)考開學考試）若二項式展開式中第4項的系數(shù)最大，則的所有可能取值的個數(shù)為.【解題方法總結】有兩種類型問題，一是找是否與二項式系數(shù)有關，如有關系，則轉化為二項式系數(shù)最值問題；如無關系，則轉化為解不等式組：，注意：系數(shù)比較大小．題型九：求二項展開式中的二項式系數(shù)和、各項系數(shù)和例25．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知，則下列結論正確的是（

）A．展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為B．展開式中所有奇次項的系數(shù)的和為C．展開式中所有偶次項的系數(shù)的和為D．例26．（多選題）（2023·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校?？茧A段練習）已知，則（

）A． B．C． D．例27．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知，則（

）A．B．C．D．變式28．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知，則（

）A． B．C． D．變式29．（多選題）（2023·山東日照·三模）已知，則（

）A． B．C． D．變式30．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）設，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．變式31．（多選題）（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知．則（

）A． B．C． D．變式32．（多選題）（2023·全國·校聯(lián)考三模）若在中，，則（

）A． B．C． D．變式33．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知，若，則有（

）A．B．C．D．變式34．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知，則（

）A． B．C． D．變式35．（多選題）（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預測）已知，下列說法正確的有（

）A． B．C． D．變式36．（多選題）（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預測）若，則（

）A． B．C． D．變式37．（多選題）（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預測）已知，則（

）A． B．C． D．變式38．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）若，則（

）A． B．C． D．【解題方法總結】二項展開式二項式系數(shù)和：；奇數(shù)項與偶數(shù)項二項式系數(shù)和相等：．系數(shù)和：賦值法，二項展開式的系數(shù)表示式：（是系數(shù)），令得系數(shù)和：．題型十：求奇數(shù)項或偶數(shù)項系數(shù)和例28．（2023·北京東城·高三北京二中?？茧A段練習）設，則．（用數(shù)字作答）例29．（2023·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）設多項式，則.例30．（2023·新疆·高三八一中學校考開學考試）已知，若，則．變式39．（2023·全國·模擬預測）在的展開式中，的所有奇次冪的系數(shù)和為，則其展開式中的常數(shù)項為．變式40．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的值為．變式41．（2023·安徽·高考真題）已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于．變式42．（2023·全國·高三專題練習）已知的展開式中，奇次項系數(shù)的和比偶次項系數(shù)的和小，則．變式43．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的值為.【解題方法總結】，令得系數(shù)和：=1\*GB3①；令得奇數(shù)項系數(shù)和減去偶數(shù)項系數(shù)和：=2\*GB3②，聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②可求得奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和．題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題例31．（2023·河北·高三校聯(lián)考期末）除以1000的余數(shù)是．例32．（2023·全國·高三專題練習）若，則被5除所得的余數(shù)為．例33．（2023·浙江金華·模擬預測）除以100的余數(shù)是．變式44．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）若，則被5除的余數(shù)是．變式45．（2023·全國·高三專題練習）寫出一個可以使得被100整除的正整數(shù).變式46．（2023·全國·高三專題練習）已知能夠被15整除，其中，則.題型十二：近似計算問題例34．（2023·全國·高三專題練習）用二項式定理估算.（精確到0.001）例35．（2023·福建泉州·高三福建省南安國光中學?？茧A段練習）（精確到0.01）例36．（2023·全國·高三專題練習）某同學在一個物理問題計算過程中遇到了對數(shù)據(jù)的處理，經(jīng)過思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個近似值是.變式47．（2023·全國·高三專題練習）的計算結果精確到0.01的近似值是．變式48．（2023·全國·高三專題練習）（小數(shù)點后保留三位小數(shù)）．題型十三：證明組合恒等式例37．（2023·全國·高三專題練習）求證：例38．（2023·全國·高三專題練習）證明：．例39．（2023·全國·高三專題練習）證明：．變式49．（2023·全國·高三專題練習）求證：.變式50．（2023·全國·高三專題練習）（1）設、，，求證：；（2）請利用二項式定理證明：.變式51．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預測）對一個量用兩種方法分別算一次，由結果相同而構造等式，這種方法稱為“算兩次”的思想方法.利用這種方法，結合二項式定理，可以得到很多有趣的組合恒等式.（1）根據(jù)恒等式兩邊的系數(shù)相同直接寫出一個恒等式，其中；（2）設，利用上述恒等式證明：.題型十四：二項式定理與數(shù)列求和例40．（2023·北京·高三強基計劃）設n為正整數(shù)，為組合數(shù)，則（

）A． B．C． D．前三個答案都不對例41．（2023·全國·高三專題練習）（

）A． B． C． D．例42．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）偉大的數(shù)學家歐拉28歲時解決了困擾數(shù)學界近一世紀的“巴賽爾級數(shù)”難題．當時，，又根據(jù)泰勒展開式可以得到，根據(jù)以上兩式可求得（

）A． B． C． D．變式52．（2023·重慶永川·重慶市永川北山中學校校考模擬預測）已知，則（

）A． B．C． D．變式53．（2023·湖南邵陽·高三統(tǒng)考期末）已知，展開式中的系數(shù)為，則等于（

）A． B． C． D．變式54．（2023·北京·高三強基計劃）設，對于有序數(shù)組，記為中所包含的不同整數(shù)的個數(shù)，例如．當取遍所有的個有序數(shù)組時，的平均值為（

）A． B． C． D．題型十五：楊輝三角例43．（多選題）（2023·海南·海南中學?？既＃皸钶x三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早年左右.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第行的為第行中兩個的和.則下列命題中正確的是（

）A．在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數(shù)是B．由“第