第03講二項式定理目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理．（2）會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題．2023年北京卷第5題，4分2023年天津卷第11題，5分2023年上海卷第10題，5分2022年I卷第13題，5分(1)今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主,以考查基本運算和基本方法為主,難度中等偏下,與教材相當(dāng).(2)本節(jié)內(nèi)容在高考中的比重可能會持續(xù)降低,但仍然是備考的重要內(nèi)容.知識點1、二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題（1）二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)，都有：，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，（2）二項式的展開式的特點：①項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；②二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次數(shù)從到，每一項中，，次數(shù)和均為；④項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是，項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）．（3）兩個常用的二項展開式：①（）②（4）二項展開式的通項公式二項展開式的通項：公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③與的次數(shù)之和為．注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．②通項是針對在這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．2、二項式展開式中的最值問題（1）二項式系數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．=2\*GB3②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即．=3\*GB3③二項式系數(shù)和令，則二項式系數(shù)的和為，變形式．=4\*GB3④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令，則，從而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．（2）系數(shù)的最大項求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．知識點3、二項式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題常用賦值舉例：（1）設(shè)，二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：．（2）若，則①常數(shù)項：令，得．②各項系數(shù)和：令，得．③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和（i）當(dāng)為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）（ii）當(dāng)為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）若，同理可得．注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．題型一：求二項展開式中的參數(shù)例1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）的展開式中的常數(shù)項與展開式中的常數(shù)項相等，則的值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】的展開式中的常數(shù)項為，展開式中的常數(shù)項,所以,即,故選：D.例2．（2023·四川成都·成都實外?？寄M預(yù)測）已知的展開式中存在常數(shù)項，則n的可能取值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】二項式的展開式的通項為，令，即，由于，故必為的倍數(shù)，即的可能取值為.故選：C例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）展開式中的常數(shù)項為－160，則a＝（

）A．－1 B．1 C．±1 D．2【答案】B【解析】的展開式通項為，∴令，解得，∴的展開式的常數(shù)項為，∴∴故選：B.變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的展開式中的常數(shù)項為，則實數(shù)（

）A．2 B．-2 C．8 D．-8【答案】B【解析】展開式的通項為：，取得到常數(shù)項為，解得.故選：B變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的展開式中第3項是常數(shù)項，則（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】的展開式的通項，當(dāng)時，則，解得．故選：A【解題方法總結(jié)】在形如的展開式中求的系數(shù)，關(guān)鍵是利用通項求，則．題型二：求二項展開式中的常數(shù)項例4．（2023·重慶南岸·高三重慶第二外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．36 B．30 C．15 D．10【答案】C【解析】令，則可得所有項的系數(shù)和為且，解得，∵的展開式中的通項，∴當(dāng)時，展開式中的常數(shù)項為.故選：C例5．（2023·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）二項式的展開式中的常數(shù)項為（

）A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120【答案】C【解析】因為，令，得，所以二項式展開式中的常數(shù)項為．故選：C.例6．（2023·北京房山·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）的展開式中的常數(shù)項是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題目可知，，令，解得，所以當(dāng)時為常數(shù)項，此時，故選：A變式3．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？奸_學(xué)考試）的展開式中的常數(shù)項為（）A．20 B．20 C．－10 D．10【答案】D【解析】因為，的展開式的通項公式為，令,得，令,得，所以的展開式中的常數(shù)項為：.故選：D變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若的展開式中存在常數(shù)項，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的二項展開通式為，令，則一定是5的倍數(shù)，故選：C.變式5．（2023·全國·高三對口高考）若展開式中含有常數(shù)項，則n的最小值是（

）A．2 B．3 C．12 D．10【答案】A【解析】，令，得，則時，取最小值.故選：A【解題方法總結(jié)】寫出通項，令指數(shù)為零，確定，代入．題型三：求二項展開式中的有理項例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在的展開式中，有理項的系數(shù)為（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【解析】的通項為，.當(dāng)為有理項時，r既是奇數(shù)又能被3整除，所以，故展開式中有理項的系數(shù)為；故選：A.例8．（2023·全國·高考真題）二項式的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有（

）A．6項 B．7項 C．8項 D．9項【答案】D【解析】二項式的通項，若要系數(shù)為有理數(shù)，則，，，且，即，，易知滿足條件的，故系數(shù)為有理數(shù)的項共有9項.故選：D例9．（2023·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）的展開式中所有有理項的系數(shù)和為（

）A．85 B．29 C． D．【答案】C【解析】展開式的通項為：，其中，當(dāng)時為有理項，故有理項系數(shù)和為，故選：C.變式6．（2023·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項式展開式中，有理項共有（

）項．A．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【解析】二項式展開式中，通項為，其中，的取值只需滿足，則，即有理項共有7項，故選：D.變式7．（2023·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）在二項式的展開式中，有理項共有（

）A．項 B．項 C．項 D．項【答案】A【解析】寫出通項公式，然后代入的值：，分別計算判斷是否為有理項.的通項公式為，可知當(dāng)時，或或，可得有理項共有項.故選：A.變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若的展開式中有且僅有三個有理項，則正整數(shù)的取值為（

）A． B．或 C．或 D．【答案】B【解析】首先寫出二項展開式的通項公式，由條件可知為整數(shù)，然后觀察選項，通過列舉的方法，求得正整數(shù)的值.的通項公式是設(shè)其有理項為第項，則的乘方指數(shù)為，依題意為整數(shù)，注意到，對照選擇項知、、，逐一檢驗：時，，不滿足條件；時，、、，成立；時，、5、8，成立故選：B.【解題方法總結(jié)】先寫出通項，再根據(jù)數(shù)的整除性確定有理項．題型四：求二項展開式中的特定項系數(shù)例10．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的項的系數(shù)為（

）A．―4 B．84 C．―280 D．560【答案】B【解析】因為的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，所以．則又因為的展開式的通項公式為，令，所以展開式中的項的系數(shù)為．故選：B.例11．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考模擬預(yù)測）展開式中的系數(shù)為（

）A．270 B．240 C．210 D．180【答案】A【解析】展開式的通項公式為，則原展開式中的系數(shù)為.故選：A例12．（2023·廣東揭陽·高三校考階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)是（

）A．20 B． C．10 D．【答案】D【解析】因為,展開式中的項是,則展開式中的系數(shù)是.故選:D.變式9．（2023·河北邢臺·高三邢臺市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式中的系數(shù)為（

）A． B．240 C． D．160【答案】C【解析】由展開式中各項的二項式系數(shù)之和為64，得，得．∵的展開式的通項公式為，令，則，所以其展開式中的系數(shù)為．故選：C.變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在二項式的展開式中，含的項的二項式系數(shù)為（

）A．28 B．56 C．70 D．112【答案】A【解析】∵二項式的展開式中，通項公式為，令，求得，可得含的項的二項式系數(shù)為，故選：A.變式11．（2023·北京·高三專題練習(xí)）在二項式的展開式中，含項的二項式系數(shù)為（

）A．5 B． C．10 D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，∴當(dāng)時，.∴含項的二項式系數(shù).故選：A.【解題方法總結(jié)】寫出通項，確定r，代入．題型五：求三項展開式中的指定項例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在的展開式中，的系數(shù)為.【答案】66【解析】由題意，表示12個因式的乘積，故當(dāng)2個因式取x，其余10個因式取1時，可得展開式中含的項，故的系數(shù)為.故答案為：66.例14．（2023·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）展開式中含項的系數(shù)為．【答案】-160【解析】變形為，故通項公式得，其中的通項公式為，故通項公式為，其中，，令，解得，故.故答案為：-160例15．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】因為，設(shè)其展開式的通項公式為：，令，得的通項公式為，令，所以的展開式中，的系數(shù)為，故答案為：變式12．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）展開式中常數(shù)項是.（答案用數(shù)字作答）【答案】【解析】的展開式的通項為，,令,則或，或，所以常數(shù)項為，故答案為：變式13．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）展開式中的常數(shù)項為.【答案】/6.5625【解析】可看作7個相乘，要求出常數(shù)項，只需提供一項，提供4項，提供2項，相乘即可求出常數(shù)項，即.故答案為：變式14．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）的展開式中，的系數(shù)為．【答案】30【解析】表示5個因式的乘積，在這5個因式中，有2個因式選，其余的3個因式中有一個選，剩下的兩個因式選，即可得到含的項，即可算出答案．表示5個因式的乘積，在這5個因式中，有2個因式選，其余的3個因式中有一個選，剩下的兩個因式選，即可得到含的項，故含的項系數(shù)是.故答案為：30變式15．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）展開式中的系數(shù)是.【答案】【解析】因為是7個相乘，的展開式中項可以由4個項、3個項和0個常數(shù)項，或3個項、1個項和3個常數(shù)項相乘，所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：.【解題方法總結(jié)】三項式的展開式：若令，便得到三項式展開式通項公式：，其中叫三項式系數(shù)．題型六：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數(shù)例16．（2023·廣西百色·高三貴港市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為．【答案】90【解析】的通項，令，則；令，則，故的展開式中的系數(shù)為.故答案為：90．例17．（2023·河北保定·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在的展開式中含項的系數(shù)是.【答案】【解析】二項式展開式的通項公式為，令，解得；令，解得.所以的展開式中含的項為，所以展開式中含項的系數(shù)是.故答案為：例18．（2023·江西南昌·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）展開式中的系數(shù)是.【答案】5【解析】由題意知項和展開式中的相乘出現(xiàn)項，的通項公式為，分別令可得項的系數(shù)為，故展開式中的系數(shù)是，故答案為：5變式16．（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）的展開式常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）【答案】7【解析】展開式第項，所以展開式中常數(shù)項是：，所以的展開式常數(shù)項是7.故答案為：7變式17．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知多項式，則.【答案】16【解析】令，則，因為的展開式的通項為，，所以令可得的展開式中一次項為，令可得的展開式的常數(shù)項為1，又因為的展開式的通項為，，所以令可得的展開式中一次項為，令可得的展開式的常數(shù)項為，所以.故答案為：16.變式18．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測）的展開式中含項的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】展開式通項為：，令可得展開式中含項的系數(shù)為：；令可得展開式中含項的系數(shù)為：；展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：.變式19．（2023·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)展開式中的常數(shù)項為，則實數(shù)的值為.【答案】【解析】的展開式通項為，，在的展開式中，令，可得，不合乎題意；在的展開式中，，令，可得，所以，展開式中的常數(shù)項為，解得.故答案為：.變式20．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）展開式中的系數(shù)為.【答案】56【解析】展開式中含的項為：．故答案為：56．【解題方法總結(jié)】分配系數(shù)法題型七：求二項式系數(shù)最值例19．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）若展開式的所有項的二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項的二項式系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】28【解析】因為展開式的所有項的二項式系數(shù)和為，解得，則展開式為，可得第項的系數(shù)為，令，即，解得，所以展開式中第項系數(shù)最大，其二項式系數(shù)為.故答案為：28.例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）二項式的展開式中，只有第6項的二項式系數(shù)最大，則含的項是．【答案】【解析】因為二項式的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，所以展開式中共有項，，故展開式的通項為，令，解得，故展開式中含的項是.故答案為：．例21．（2023·人大附中?？既＃┮阎検降恼归_式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，且展開式中項的系數(shù)為20，則實數(shù)的值為.【答案】/0.5【解析】因為二項式的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，所以，二項式的通項為，令，解得，所以展開式中項為，，解得.故答案為：.變式21．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）二項式的展開式中當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項的二項式系數(shù)最大，則，展開式中含的項的系數(shù)為．【答案】6【解析】第4項的二項式系數(shù)為且最大，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得，，令，所以，則展開式中含的項的系數(shù)為.故答案為：6；.變式22．（2023·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為.【答案】【解析】由題意得，得，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為第6項，所以，故答案為：.變式23．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在的二項展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則該二項展開式中的常數(shù)項等于．【答案】252【解析】的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，，通項公式為，令，求得，可得二項展開式常數(shù)項等于，故答案為：252．【解題方法總結(jié)】利用二項式系數(shù)性質(zhì)中的最大值求解即可．題型八：求項的系數(shù)最值例22．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？家荒＃┰诘恼归_式中，系數(shù)最大的項為.【答案】【解析】因為的通項為，的通項為，∵展開式系數(shù)最大的項為，展開式系數(shù)最大的項為，∴在的展開式中，系數(shù)最大的項為.故答案為：.例23．（2023·江西吉安·江西省萬安中學(xué)校考一模）已知的展開式中，末三項的二項式系數(shù)的和等于121，則展開式中系數(shù)最大的項為.（不用計算，寫出表達式即可）【答案】和【解析】由題意可得，，所以，解得，的展開式的通項為令，解得，由于，所以或12，時，；時，，所以展開式中系數(shù)最大的項為和.故答案為：和例24．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測）的二項式展開中，系數(shù)最大的項為．【答案】【解析】由題意知：的二項式展開中，各項的系數(shù)和二項式系數(shù)相等，因為展開式的通項為，所以時，系數(shù)最大，該項為，故答案為：.變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的展開式中各項系數(shù)之和為64，則該展開式中系數(shù)最大的項為．【答案】【解析】令，則的展開式各項系數(shù)之和為，則；由的展開式通項公式知二項展開式的系數(shù)最大項在奇數(shù)項，設(shè)二項展開式中第項的系數(shù)最大，則，化簡可得：經(jīng)驗證可得，則該展開式中系數(shù)最大的項為.故答案為:.變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若n展開式中前三項的系數(shù)和為163，則展開式中系數(shù)最大的項為．【答案】5376【解析】展開式的通項公式為，由題意可得，，解得，設(shè)展開式中項的系數(shù)最大，則解得，又∵，∴，故展開式中系數(shù)最大的項為.故答案為：5376.變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）展開式中只有第6項系數(shù)最大，則其常數(shù)項為.【答案】210【解析】由已知展開式中只有第6項系數(shù)為最大，所以展開式有11項，所以，即，又展開式的通項為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：210.變式27．（2023·安徽蚌埠·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若二項式展開式中第4項的系數(shù)最大，則的所有可能取值的個數(shù)為.【答案】4【解析】因為二項式展開式的通項公式為由題意可得，即，故，又因為為正整數(shù)，所以或9或10或11，故的所有可能取值的個數(shù)為4個，故答案為：4.【解題方法總結(jié)】有兩種類型問題，一是找是否與二項式系數(shù)有關(guān)，如有關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為二項式系數(shù)最值問題；如無關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為解不等式組：，注意：系數(shù)比較大小．題型九：求二項展開式中的二項式系數(shù)和、各項系數(shù)和例25．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為B．展開式中所有奇次項的系數(shù)的和為C．展開式中所有偶次項的系數(shù)的和為D．【答案】ACD【解析】對于A，的展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為，故A正確；對于B，令，則，，所以展開式中所有奇次項的系數(shù)的和為，展開式中所有偶次項的系數(shù)的和為，故B錯誤，C正確；對于D，，，故D正確.故選：ACD.例26．（多選題）（2023·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對于A，令，得到，故A正確；對于B，的通項公式為，令，得到，令，得到，所以，故B錯誤；對于C，令，得到，故C正確；對于D，令，則，又因為，兩式相減得，則，故D正確.故選：ACD例27．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對于A，令，則，所以A正確，對于B，令，則，因為，所以，所以B錯誤，對于C，令，則，因為，所以，所以，所以C正確，對于D，令，則，因為，所以，所以D正確，故選：ACD.變式28．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】令，可得，A正確.，所以，B正確.令，可得①，則，C正確.令，可得②，①－②可得，所以，D錯誤.故選：ABC.變式29．（多選題）（2023·山東日照·三模）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由，令得，故A正確；由的展開式的通項公式，得，故B錯誤；令，得①，再由，得，故錯誤；令，得②，①-②再除以2得，故D正確.故選：AD變式30．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對于A，令，可得，故A正確；對于B，令得，故B錯誤；對于C，令得①，令得，②，由①+②再除以2可得，故C正確；對于D，令得①，令得，②，①-②再除以2可得，故D正確．故選：ACD．變式31．（多選題）（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知．則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由，令得，故A正確；由的展開式的通項公式，得，故B錯誤；令，得①，再由，得，故C錯誤；令，得②，①②再除以2得，故D正確；故選：AD變式32．（多選題）（2023·全國·校聯(lián)考三模）若在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】令，則，故A錯誤；令，則，故B正確；由題可得，故C錯誤；由題，故D正確．故選：BD.變式33．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若，則有（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】令，則，已知式變?yōu)椋獾?，，，，，令，則有，兩邊對求導(dǎo)得，再令得，所以，故選：BCD．變式34．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由等式右邊最高為項，且不含項，則且，即，故A錯誤，B正確；所以.C：等式兩邊同乘，原等式等價于，令，則，正確；D：，可得：，令，則，錯誤；故選：BC變式35．（多選題）（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，下列說法正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于A，令，則，A正確；對于B，展開式通項為：，展開式通項為：，展開式通項為：，令，則，又，，，或，，B錯誤；對于C，令，則；令，則；兩式作和得：，，又，，C錯誤；對于D，，，，令，則，D正確.故選：AD.變式36．（多選題）（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】令，則，即，故A正確；令，則，令，則，則，故B正確；，則，令，則，故C錯誤；由兩邊求導(dǎo)，得，令，則，故D正確.故選：ABD.變式37．（多選題）（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因為，令，得，故A正確；展開式的通項為，則，故B錯誤；令，得，故C正確；展開式的通項為，則，其中且，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，，令，可得，故D正確.故選：ACD.變式38．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】當(dāng)時，，故A對；，B對；令，則，∴，故C錯；對等式兩邊求導(dǎo)，即令，則，∴，故D對，故選：ABD．【解題方法總結(jié)】二項展開式二項式系數(shù)和：；奇數(shù)項與偶數(shù)項二項式系數(shù)和相等：．系數(shù)和：賦值法，二項展開式的系數(shù)表示式：（是系數(shù)），令得系數(shù)和：．題型十：求奇數(shù)項或偶數(shù)項系數(shù)和例28．（2023·北京東城·高三北京二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】因為，令，則①，令，則②，∴①－②得，所以，故答案為：例29．（2023·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）設(shè)多項式，則.【答案】【解析】依題意，令，得到：，令，得到：，兩式相加可得：，故.故答案為：例30．（2023·新疆·高三八一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，若，則．【答案】1【解析】令，可得，所以．令，得；令，得，兩式相減求得．故答案為：1.變式39．（2023·全國·模擬預(yù)測）在的展開式中，的所有奇次冪的系數(shù)和為，則其展開式中的常數(shù)項為．【答案】【解析】設(shè)，令得：；令得：；兩式作差得：，，；令得：，即展開式的常數(shù)項為.故答案為：.變式40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值為．【答案】78【解析】令，可得，令，可得①令，則②所以②①可得：，所以，即故答案為：變式41．（2023·安徽·高考真題）已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于．【答案】－256【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，兩式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32，兩式相減可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，則a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.故答案為：－256變式42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的展開式中，奇次項系數(shù)的和比偶次項系數(shù)的和小，則．【答案】255【解析】設(shè)，且奇次項的系數(shù)和為，偶次項的系數(shù)和為，則，，由已知得．令，得，即，即，所以，所以．所以．故答案為：變式43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值為.【答案】313【解析】令求得，再令求得，兩者結(jié)合可得結(jié)論．令得，令得，∴．故答案為：313．【解題方法總結(jié)】，令得系數(shù)和：=1\*GB3①；令得奇數(shù)項系數(shù)和減去偶數(shù)項系數(shù)和：=2\*GB3②，聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②可求得奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和．題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題例31．（2023·河北·高三校聯(lián)考期末）除以1000的余數(shù)是．【答案】24【解析】因為，所以除以1000的余數(shù)是：.故答案為：24例32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則被5除所得的余數(shù)為．【答案】1【解析】由題知時，，，故所以被5除得的余數(shù)是1.故答案為：1.例33．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）除以100的余數(shù)是．【答案】1【解析】，,由于是100的倍數(shù)，故除以100的余數(shù)等于，故答案為：1變式44．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）若，則被5除的余數(shù)是．【答案】4【解析】由題知，時，①，時，②，由①＋②得，，故，所以被5除的余數(shù)是4.故答案為：4.變式45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）寫出一個可以使得被100整除的正整數(shù).【答案】1（答案不唯一）【解析】由題意可知，將利用二項式定理展開得顯然，能被100整除，所以，只需是100的整數(shù)倍即可；所以，得不妨取，得.故答案為：1變式46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知能夠被15整除，其中，則.【答案】14【解析】，所以，因為是的整數(shù)倍，所以能夠被15整除，要使能夠被15整除，只需要能夠被15整除即可，因為，所以.故答案為：14.題型十二：近似計算問題例34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用二項式定理估算.（精確到0.001）【答案】1.105【解析】.故答案為：1.105例35．（2023·福建泉州·高三福建省南安國光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（精確到0.01）【答案】30.84【解析】原式故答案為：30.84．例36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某同學(xué)在一個物理問題計算過程中遇到了對數(shù)據(jù)的處理，經(jīng)過思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個近似值是.【答案】【解析】根據(jù)二項式定理可得：,故答案為：變式47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）的計算結(jié)果精確到0.01的近似值是．【答案】1.34【解析】故答案為：變式48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（小數(shù)點后保留三位小數(shù)）．【答案】1.172【解析】，由二項展開式的性質(zhì)易知，遠小于，依次類推，故.故答案為：1.172.題型十三：證明組合恒等式例37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求證：【解析】構(gòu)造發(fā)生函數(shù)，由此易發(fā)現(xiàn)，中所對應(yīng)的系數(shù)應(yīng)為恒等式的左端．所以，所以，所以，由此可得，所對應(yīng)的項的系數(shù)為，既左邊等于右邊，則恒等式成立．例38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明：．【解析】取函數(shù)，，則：①，②，將②用替換n，有：．其中的系數(shù)為．將①，②對應(yīng)相乘，根據(jù)上述形式冪級數(shù)乘法定義有：，其中的系數(shù)為，由展開式的唯一性有：，，因此可得：．例39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明：．【解析】由中n取，可得；由兩邊同乘或除得：．將以上兩等式兩邊對應(yīng)相加可得：．而等式左邊，所以有．變式49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求證：.【解析】左邊==1=右邊.即證.變式50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）設(shè)、，，求證：；（2）請利用二項式定理證明：.【解析】證：（1）；（2）當(dāng)，時，,所以結(jié)論成立.變式51．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）對一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同而構(gòu)造等式，這種方法稱為“算兩次”的思想方法.利用這種方法，結(jié)合二項式定理，可以得到很多有趣的組合恒等式.（1）根據(jù)恒等式兩邊的系數(shù)相同直接寫出一個恒等式，其中；（2）設(shè)，利用上述恒等式證明：.【解析】（1），等式左邊的系數(shù)為，右邊的系數(shù)這樣產(chǎn)生：中的1與中的的系數(shù)的的積，即，中的系數(shù)與中的系數(shù)的的積，即，中的系數(shù)與中的系數(shù)的的積，即，中的系數(shù)與中的系數(shù)的的積，即，中的系數(shù)與中的系數(shù)的的積，即，所以.（2）當(dāng)，且時，，由（1）得左邊=，，，，右邊，所以.題型十四：二項式定理與數(shù)列求和例40．（2023·北京·高三強基計劃）設(shè)n為正整數(shù)，為組合數(shù)，則（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【答案】D【解析】解法一設(shè)題中代數(shù)式為M，則．解法二設(shè)題中代數(shù)式為M，倒序相加可得，于是．故選：D.例41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，兩邊求導(dǎo)得，，兩邊乘以后得，，兩邊求導(dǎo)得，，取得.故選：A例42．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）偉大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的“巴賽爾級數(shù)”難題．當(dāng)時，，又根據(jù)泰勒展開式可以得到，根據(jù)以上兩式可求得（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，兩邊同時除以x，得，又展開式中的系數(shù)為，所以，所以．故選：A．變式52．（2023·重慶永川·重慶市永川北山中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，，當(dāng)時，，于是得.故選：B變式53．（2023·湖南邵陽·高三統(tǒng)考期末）已知，展開式中的系數(shù)為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，展開式中的系數(shù)為，∴則，故選：B．變式54．（2023·北京·高三強基計劃）設(shè)，對于有序數(shù)組，記為中所包含的不同整數(shù)的個數(shù)，例如．當(dāng)取遍所有的個有序數(shù)組時，的平均值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用二項式定理可求平均值或者就的取值分類討論后可求平均值.解法一分別計算1，2，3，4的“價值”，可得所求平均值為．解法二按的取值分類．N總數(shù)142843144424于是所求平均值為．故選：C.題型十五：楊輝三角例43．（多選題）（2023·海南·海南中學(xué)校考三模）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早年左右.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第行的為第行中兩個的和.則下列命題中正確的是（

）A．在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數(shù)是B．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：C．D．存在，使得為等差數(shù)列【答案】BCD【解析】對于A，在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數(shù)是，A錯；對于B，由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，B對；對于C，由于故C正確；對于D，取，則，因為，所以數(shù)列為