導數(shù)與微分1第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)隱函數(shù)的導數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)2定義1.隱函數(shù)的定義所確定y是

x

的函數(shù)，一、隱函數(shù)的導數(shù)稱為隱函數(shù)(implicitfunction).的形式稱為顯函數(shù).隱函數(shù)的可確定顯函數(shù)例顯化.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化

.32.隱函數(shù)求導法隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)隱函數(shù)求導法則

用復合函數(shù)求導法則,并注意到其中將方程兩邊對x求導.變量y是x的函數(shù).隱函數(shù)不易顯化或不能顯化？如何求導4例1解則得恒等式代入方程,將此恒等式兩邊同時對x求導,得因為y是x的函數(shù),

是x的復合函數(shù),所以求導時要用復合函數(shù)求導法,0=x0=x0=y.1=隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)

雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導數(shù)求出來了,當然結(jié)果中仍含有變量y.允許在的表達式中含有變量y.一般來說,隱函數(shù)求導,隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)

求隱函數(shù)的導數(shù)時,只要記住x是自變量,將方程兩邊同時對x求導,遇到x的函數(shù)直接從中解出即可.于是y的函數(shù)便是x的復合函數(shù),的方程.y是x的函數(shù),5求導，遇到y(tǒng)的函數(shù)對y求導再乘以就得到一個含有導數(shù)6隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)例2解利用隱函數(shù)求導法.將方程兩邊對x求導,得解出得7例3解切線方程法線方程通過原點.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)8練習.

求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導故切線方程為即9隱函數(shù)求二階導數(shù)法1:

由隱函數(shù)直接求出一階導數(shù),用一階導數(shù)的顯式繼續(xù)求導.法2:

反復用隱函數(shù)的表達式直接求二階導數(shù).10例4解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)將上面方程兩邊再對11或解解得23)4(xy-)112(2-￠yy隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)12【練習】

設由方程確定,解一:方程兩邊對x

求導,得再求導,得②當時,故由①得再代入②得

求①13解二:方程兩邊對x

求導,得再求導,得②當時,故由①得再代入②得①【練習】設由方程確定,

求14的一階導數(shù)確定的隱函數(shù)求由方程練習二階導數(shù)解:方程兩邊對x求導，得153.對數(shù)求導法作為隱函數(shù)求導法的一個簡單應用,介紹(1)許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù).對數(shù)求導法,它可以利用對數(shù)性質(zhì)使某些函數(shù)的求導變得更為簡單.

適用于方法先在方程兩邊取對數(shù),--------對數(shù)求導法

然后利用隱函數(shù)的求導法求出導數(shù).16例6解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)等式兩邊取對數(shù)得

隱函數(shù)17例7解一隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)等式兩邊取對數(shù)得18求的導數(shù).解二:19上式兩邊對x求導

得

練習.

先在兩邊取對數(shù)

得

解

20二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)如?(parametricequation)參數(shù)方程

稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).

消參數(shù)困難或無法消參數(shù)如何求導.消去參數(shù),間的函數(shù)關系與確定xy21所以,隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得22例1解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)

所求切線方程為23設由方程確定函數(shù)求方程組兩邊對t

求導,得故例2解?íìtydd)1(2+t=tydd隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)24隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)?已知注意:25例3解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)26設求解:練習27已知，求解：練習隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)解：確定,將方程兩邊對x求導,得28292.兩邊取對數(shù)兩邊對x求導xb+解：求3.

求由參數(shù)方程所確定的函數(shù),.的導數(shù)解：30311.

設由方程確定,解:方程兩邊對x