1第三章微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))一元函數(shù)微分學(xué)2德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家Ferma在研究極值問(wèn)題中提出.英國(guó)數(shù)學(xué)家Newton微積分學(xué)的創(chuàng)始人:3引例導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系求導(dǎo)舉例第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念(derivative)41.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述物體運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為一、引例5處切線的斜率.導(dǎo)數(shù)的概念已知曲線的方程確定點(diǎn)

如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,稱(chēng)為C在點(diǎn)M處的切線.如圖,割線的極限位置——切線位置.2.

曲線的切線斜率問(wèn)題若已知平面曲線如何作過(guò)的切線呢.?曲線上點(diǎn)6導(dǎo)數(shù)的概念割線MN的斜率為切線MT的斜率為0limxx?7兩個(gè)問(wèn)題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限

.8定義導(dǎo)數(shù)的概念二、導(dǎo)數(shù)的定義存在,(derivative)則稱(chēng)此極限值為若中的任何一個(gè)表示,如或或有導(dǎo)數(shù).可用下列記號(hào)9處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.特別當(dāng)(1)式的極限為有時(shí)也說(shuō)在x0處導(dǎo)數(shù)是正(負(fù))無(wú)注要注意導(dǎo)數(shù)定義可以寫(xiě)成多種形式:導(dǎo)數(shù)的概念當(dāng)極限(1)式不存在時(shí),就說(shuō)函數(shù)f(x)在x0在利用導(dǎo)數(shù)的定義證題或計(jì)算時(shí),正(負(fù))無(wú)窮時(shí),窮大,但這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在.10關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明或如果x0=0,可以寫(xiě)成導(dǎo)數(shù)的概念特別是,(1)如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo),就稱(chēng)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo).11注導(dǎo)數(shù)的概念記作即或(2)對(duì)于任一都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值.這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).

為常數(shù).12導(dǎo)數(shù)的概念例用導(dǎo)數(shù)表示下列極限解練習(xí)hxfhxfxfh)()(lim)(0000-+=￠?解13例1.解:三、求導(dǎo)舉例(幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù))

導(dǎo)數(shù)的概念

步驟

即

導(dǎo)數(shù)的定義不僅給出了導(dǎo)數(shù)的概念,也提供了計(jì)算方法.因而它也屬于雙重意義的定義.14例2.解:導(dǎo)數(shù)的概念即同理可得15例3.解:導(dǎo)數(shù)的概念即16說(shuō)明：對(duì)一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明）17例4.解:導(dǎo)數(shù)的概念即18例5.解:導(dǎo)數(shù)的概念即19(sinx)

=cosx

(cosx)

=-sinx

(ax)

=axlna

求導(dǎo)數(shù)舉例

以上得到的是部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.

特別地有特別地有(ex

)

=ex

導(dǎo)數(shù)的概念20右導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念(leftderivative)(rightderivative)21導(dǎo)數(shù)的概念處的可導(dǎo)性.此性質(zhì)常用于判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)如果在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),都存在,22特別地:導(dǎo)數(shù)的概念即四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義))(,()(,0)()1(000xfxxfyxf在點(diǎn)則曲線若==￠;軸的切線平行于Ox23導(dǎo)數(shù)的概念

過(guò)切點(diǎn)M(x0,f(x0))且與切線垂直的直線叫做曲線y=f(x)的法線.24例6.解:得切線斜率為所求切線方程為法線方程為導(dǎo)數(shù)的概念由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,即即25

設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0

解于是所求切線的方程可設(shè)為

已知點(diǎn)(0

4)在切線上

所以解之得x0

4

于是所求切線的方程為則切線的斜率為導(dǎo)數(shù)的概念練習(xí)26例.

問(wèn)曲線哪一點(diǎn)有垂直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫(xiě)出其切線方程.解:令得對(duì)應(yīng)則在點(diǎn)(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(diǎn)(0,0)有垂直切線27該點(diǎn)必連續(xù).證導(dǎo)數(shù)的概念定理如果函數(shù)則函數(shù)在五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系在點(diǎn)x處可導(dǎo),即所以,該定理的逆定理不一定成立.注28例7.解:導(dǎo)數(shù)的概念,此極限不存在29例8.

討論函數(shù)f(x)=

x,在x=0處的可導(dǎo)性.顯然,f(x)在點(diǎn)0

處連續(xù).但因?yàn)樗詅-

(0)

f+

(0),即f(x)在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo).y=

x

xOy解：30例9.

設(shè),問(wèn)a

取何值時(shí),在都存在,并求出解:故時(shí)此時(shí)在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).31練習(xí)為了使f(x)在x=1處可導(dǎo),

導(dǎo)數(shù)的概念解:首先函數(shù)必須在x=1處連續(xù).由于故應(yīng)有又因?yàn)閼?yīng)如何選取a,b?設(shè)從而,當(dāng)

f(x)在x=1處可導(dǎo).32在處連續(xù),且存在，證明:在處可導(dǎo).證：因?yàn)榇嬖?，則有又在處連續(xù),所以即在處可導(dǎo).例10.

設(shè)故設(shè)解：當(dāng)練習(xí)3334牛頓(1642–1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)》一書(shū)(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.35萊布尼茲(1646–