1、n級(jí)排列的定義2、排列的逆序數(shù)3、對(duì)換與排列的性質(zhì)1.2.1排列及其逆序數(shù)1.2.2n階行列式1、3階行列式的結(jié)構(gòu)2、n

階行列式的定義3、一些特殊形式的行列式教學(xué)要求：了解n級(jí)排列的概念了解排列的逆序數(shù)、奇偶排列概念及其性質(zhì)會(huì)求排列的逆序數(shù)了解n階行列式的概念，會(huì)用行列式定義計(jì)算一些行列式掌握特殊行列式的計(jì)算。定義1.3由自然數(shù)

1，2，…，n

組成的有序數(shù)組i1,i2,…,in稱為一個(gè)n級(jí)排列，其中ik∈{1,2,…,n}(k=1,2,…,n)例如，當(dāng)n=3時(shí),３級(jí)排列是由1,2,3

組成的有序數(shù)組,它們分別為1、n級(jí)排列的定義顯然，3級(jí)排列共有3!=6種。顯然，n級(jí)排列共有n!

個(gè)。在一個(gè)排列中，由較小數(shù)碼到較大數(shù)碼的排列次序稱為自然順序；而由較大數(shù)碼到較小數(shù)碼的排列為逆自然順序，簡(jiǎn)稱逆序。2、n級(jí)排列的逆序數(shù)定義1.4

個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.排在數(shù)ik

左邊比ik大的數(shù)的個(gè)數(shù)稱為數(shù)ik的逆序數(shù).中，若數(shù)ij>ik

,則稱這兩在一個(gè)排列i1,...,ij,...,ik,…,ini1,...,ij,...,ik

,…,in例如，３級(jí)排列中，排在數(shù)2

左邊比2

大的數(shù)有3，共1個(gè)，故數(shù)

2

的逆序數(shù)為1。３級(jí)排列中，排在數(shù)1

左邊比1

大的數(shù)有3，2,共2個(gè)，故數(shù)

1

的逆序數(shù)為2。定義1.4

一個(gè)排列中，每個(gè)數(shù)的逆序數(shù)的總和稱為此排列的逆序數(shù).排列i1i2…in的逆序數(shù)記為t=

(i1i2…in).例如：在5級(jí)排列３２５１４中，32514逆序逆序逆序逆序數(shù)1的左邊比1大的數(shù)有3個(gè)，逆序因此，排列“３２５１４”的逆序數(shù)為t=τ(32514)=0+1+0+3+1=5。分別是3，2，5，故數(shù)1的逆序數(shù)為3.從左至右，每個(gè)數(shù)碼的逆序數(shù)類推。逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列；逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性：注：由定義，確定一個(gè)排列的逆序數(shù)的方法是：在這個(gè)排列中，從左至右，分別計(jì)算排列中每個(gè)數(shù)左邊比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)，即計(jì)算出排列中每個(gè)數(shù)的逆序數(shù)，然后將每個(gè)數(shù)的逆序數(shù)求和即得到排列的逆序數(shù)．【例1.6】求4級(jí)排列3412的逆序數(shù),并指出奇偶性.【解】從排列“3412”的左邊第一個(gè)數(shù)碼“3”開始,從左至右,依次求出每個(gè)數(shù)碼的逆序數(shù),然后將每個(gè)數(shù)碼的逆序數(shù)相加即得排列的逆序數(shù).因?yàn)榕帕小?412”從左至右數(shù)碼“3”的逆序數(shù)為0,數(shù)碼“4”的逆序數(shù)為0,數(shù)碼“1”的逆序數(shù)為2,數(shù)碼“2”的逆序數(shù)為2,所以

(3412)=0+0+2+2=4又因?yàn)?/p>

(3412)=4是偶數(shù),故排列“3412”是偶排列.

【例1.6’】

計(jì)算下列9級(jí)排列的逆序數(shù)，并指出其奇偶性.２１７９８６３５４解：從左至右，分別計(jì)算排列中每個(gè)數(shù)的逆序數(shù)所以，該排列的逆序數(shù)t=

(217986354)=18，該排列為偶排列.217986354010013445當(dāng)n=4k,4k+1(k∈N)時(shí)t為偶數(shù)，即排列n,n

1,…,2,1為偶排列；當(dāng)n=4k+2,4k+3(k∈N)時(shí)t為奇數(shù)，即排列n,n

1,…,2,1為奇排列.【例1.7】由自然數(shù)1,2,…,n按逆自然順序排成的n級(jí)排列其逆序數(shù)為n,n

1,

n

2,…,3,2,1012n

2n

1定義1.5

在排列中，將任意兩個(gè)數(shù)碼位置對(duì)調(diào)，其余數(shù)碼不動(dòng)，這種作出新排列的過程叫做對(duì)換。相鄰兩個(gè)數(shù)碼的對(duì)換叫相鄰對(duì)換。3、對(duì)換與排列的性質(zhì)結(jié)論：一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性。例如，5級(jí)排列逆序數(shù)2（偶）1（奇）對(duì)換逆序數(shù)7（奇）8（偶）相鄰對(duì)換5級(jí)排列定理1.1（對(duì)換性質(zhì)）任一排列經(jīng)過一次對(duì)換將改變其奇偶性.設(shè)排列為a1…alabb1…bm

,對(duì)換a與b，變?yōu)閍1…albab1…bm

,顯然，除a,b外a1…al

；b1…bm

這些元素的逆序數(shù)經(jīng)對(duì)換不改變，而a,b兩元素的逆序數(shù)改變：【證】

(先證相鄰對(duì)換的情形)

當(dāng)a>b

時(shí)，經(jīng)對(duì)換后

a的逆序數(shù)不變，而

b的逆序數(shù)減少1；

當(dāng)a<b

時(shí)，經(jīng)對(duì)換后a

的逆序數(shù)增加1，而

b的逆序數(shù)不變。所以，排列a1…alabb1…bm

與

a1…albab1…bm

的奇偶性不同。再證一般對(duì)換的情形：設(shè)排列為a1…alab1…bm

bc1…cn,把b作

m次相鄰對(duì)換，調(diào)成a1…alabb1…bmc1…cn,再把a(bǔ)作m+1次相鄰對(duì)換，調(diào)成a1…albb1…bm

ac1…cn.所以，這兩個(gè)排列的奇偶性相反。總之，排列a1…alab1…bmbc1…cn

經(jīng)

2m+1次相鄰對(duì)換，調(diào)成a1…albb1…bm

ac1…cn

，【證】因?yàn)樵谌康膎級(jí)排列中，共有n!個(gè)排列，奇排列經(jīng)一次對(duì)換就是偶排列，因此奇排列的個(gè)數(shù)不超過偶排列個(gè)數(shù)。

同樣，偶排列經(jīng)一次對(duì)換就是奇排列，因此偶排列的個(gè)數(shù)不超過奇排列個(gè)數(shù)，故奇排列個(gè)數(shù)與偶排列個(gè)數(shù)相等，因此奇偶排列各占一半，即n!/2個(gè)。推論在全部的n級(jí)排列中，奇排列與偶排列個(gè)數(shù)各占一半。例如，由1，2，3組成的３級(jí)排列共有3!=６個(gè),它們分別為奇排列有：其中，偶排列有：1.2.2n階行列式教學(xué)內(nèi)容：1、3階行列式的結(jié)構(gòu)2、n階行列式的定義3、一些特殊形式的行列式1、三階行列式結(jié)構(gòu)分析分析式子右邊,可得如下特點(diǎn):①共有3!=6項(xiàng)的和。其中每一項(xiàng)都是位于不同行、不同列的3個(gè)元素的乘積。1.2.2n階行列式②每一項(xiàng)除正負(fù)號(hào)以外可以寫成a1j1a2j2a3j3

的形式。且行下標(biāo)是1,2,3的自然排列，列下標(biāo)是1、2、3的某個(gè)排列j1j2j3

,這樣的排列,共有3!=6種，即式子右端含有6項(xiàng)的代數(shù)和。132，213，321

（偶排列）（奇排列）③各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)與列標(biāo)排列對(duì)照：123，231，312帶正號(hào)的三項(xiàng)列標(biāo)

j1

j2

j3

排列是：帶負(fù)號(hào)的三項(xiàng)列標(biāo)

j1

j2

j3

排列是：④三階行列式可用和號(hào)“

”寫成其中

“

”

表示對(duì)1、2、3三個(gè)數(shù)的所有可能的排列j1j2j3取和,t為排列j1j2j3的逆序數(shù)，即t

=

(j1j2j3).定義1.7

由n2個(gè)數(shù)aij

排成的n行n列并在兩邊加上豎線的式子稱為n階行列式，記為D或

det(aij)或|aij|。其中“

”表示所有取自于D中不同行不同列的n

個(gè)數(shù)的乘積項(xiàng)的代數(shù)和，其乘積項(xiàng)形如2.n階行列式定義1.7

由n2個(gè)數(shù)aij

排成的n行n列并在兩邊加上豎線的式子稱為n階行列式，記為D或

det(aij)或|aij|。其中“

”表示所有取自于D中不同行不同列的n

個(gè)數(shù)的乘積項(xiàng)的代數(shù)和，其乘積項(xiàng)形如其中j1j2…

jn

為一個(gè)n

級(jí)排列，t為排列j1j2…

jn

的逆序數(shù)。說(shuō)明：①行列式是一種特定的算式，n

個(gè)數(shù)的乘積項(xiàng)形如行下標(biāo)是自然順序排列，列下標(biāo)是n級(jí)排列，符號(hào)由該n級(jí)排列的逆序數(shù)確定，奇數(shù)排列時(shí)取負(fù)號(hào)，偶數(shù)排列時(shí)取正號(hào)。②

n階行列式共有n!項(xiàng)的代數(shù)和；③

n!項(xiàng)的代數(shù)和中每項(xiàng)都是位于不同行、不同列的n個(gè)元素乘積.例如，5階行列式有5!=120

項(xiàng)的代數(shù)和?！纠?.8】在6階行列式det(aij)中的項(xiàng)的符號(hào)為____.的行下標(biāo)為自然順序排列1,2,3,4,5,6解:因?yàn)轫?xiàng)j1=4,j2=3,j3=1,j4=2,j5=6,j6=5其逆序數(shù)為

(431265)=6前邊應(yīng)帶正號(hào)“+”.偶排列，所以，項(xiàng)列下標(biāo)的排列為：是偶數(shù)，因此列下標(biāo)是【例1.9】計(jì)算四階行列式解設(shè)一般項(xiàng)是在一般項(xiàng)中,只有當(dāng)j1=4時(shí),一般項(xiàng)才有可能不為“0”,否則如果j1≠4,且由于第1行中只有位于第4列的元為4,其余元為“0”,那么從而該項(xiàng)等于零.同理,只有當(dāng)j2=3,j3=2,j4=1時(shí),一般項(xiàng)才不為零.這就是說(shuō),和式中不為零的項(xiàng)只有“a14a23a32a41”這一項(xiàng),且列下標(biāo)排列的逆序數(shù)

(j1j2j3j4)=

(4321)=6,所以注：從這個(gè)例子可知,行列式的對(duì)角線規(guī)則只適應(yīng)于二階或三階行列式,四階及以上階行列式不能用對(duì)角線規(guī)則.【例1.10】用定義計(jì)算行列式解：由于在一般項(xiàng)中，當(dāng)時(shí)，，且故時(shí)，一般項(xiàng)有可能不為0，的排列只有一個(gè)自然排列1234，在所有4級(jí)排列j1j2j3j4

中，能滿足這一項(xiàng)(

1)t

a11a22a33a44，且這項(xiàng)的符號(hào)是(

1)

t

=(

1)0=1.所以所以D中可能不為0的項(xiàng)只有由例題，我們可得：同例1.10，可以證明n

階上三角行列式即，上三角形行列式的值等于其主對(duì)角線元素的乘積。下三角形、對(duì)角形行列式的值也為主對(duì)角元素的乘積。(下三角形行列式)（對(duì)角形行列式）類似的可證明：例如：【例1.11

】用行列式的定義計(jì)算解：記，在一般項(xiàng)中，只有當(dāng)時(shí),列標(biāo)排列取所以在D的所有求和項(xiàng)中，只有這一項(xiàng)不為不為零，所以其中1.求下列各排列的逆序數(shù)(n>1)(1)8級(jí)排列：76385214;(2)2n級(jí)排列：13

(2n-1)24

(2n)

(2)2n級(jí)排列：13

(2n-1)(2n)(2n-2)

2.2.列出全部的4級(jí)排列，