1.3.1行列式的等價定義1.3.2行列式性質(zhì)1、行與列的對稱性2、行（列）互換的變號性3、整行（列）提取公因數(shù)性質(zhì)4、行（列）和的可加性5、行(列)倍加變換的不變性教學(xué)要求：了解行列式的等價定義掌握行列式的基本性質(zhì)會用行列式性質(zhì)計算行列式1.3.1行列式的等價定義行列式定義回顧其中t

為行標(biāo)排列i1,i2,…,in的逆序數(shù)。定義1.7

n

階行列式的等價定義即t=

(i1,i2,…,in)。即一般項(xiàng)的行標(biāo)是n級排列i1,i2,…,in，而列標(biāo)是按自然順序排列的其中t

為行標(biāo)排列i1,i2,…,in定理1.2

n

階行列式(1.9)還可以寫成即一般項(xiàng)的行標(biāo)與列標(biāo)都是n級排列！的逆序數(shù)與行標(biāo)排列j1,j2,…,jn的逆序數(shù)之和。設(shè)稱DT為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式。1.3.2行列式的性質(zhì)記行列式D轉(zhuǎn)置示意：a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

D=

a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann

…………

則DT=性質(zhì)1(行與列的對稱性)

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。例如，若123

456

788則DT==3注：行列式“行與列”的對稱性說明對行成立的性質(zhì)對列也成立。

行列式也可稱為”列行式”。性質(zhì)2

(行互換的變號性)互換行列式的兩行（列），行列式變號。若則D=

D1.則D=

D1.例如以

ri

表示行列式的第

i行，以

ci

表示行列式的第

i列，(1)交換第i，j

兩行記作:(2)交換第i，j

兩列記作:例如：推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。例如：【證】

把這兩行互換，有D=

D，故2D=0，即D=0

.

性質(zhì)3(整行提取公因數(shù)性質(zhì))

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個數(shù)k,等于用數(shù)

k乘此行列式.例如：第

i行（或列）提出公因數(shù)

k，記作ri÷k（或ci÷k）。第

i行（或列）乘以

k，記作ri

×k（或ci×k

）。

推論行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零.兩行相同！兩行成比例！例如：性質(zhì)5[行（列）和的可加性]

如果行列式的某行（列）的所有元都可以寫成兩個數(shù)的和，則該行列式可以寫成兩個行列式的和，這兩個行列式的這一行（列）的元分別為對應(yīng)的兩個加數(shù)之一，而其余各行（列）的元素與原行列式相同。a11a12…a1n

ai1+bi1

ai2+bi2

…ain

+bin

an1an2…ann

…………

…………

a11a12…a1n

ai1ai2…ain

an1an2…ann

…………

…………

a11a12…a1n

bi1bi2…bin

an1an2…ann

…………

…………

+=D=第i行推論：[行（列）和的可加性]

如果行列式的某行（列）的所有元都可以寫成m個數(shù)的和，則該行列式可以寫成m個行列式的和，這m個行列式的這一行（列）的元分別為對應(yīng)的m個加數(shù)之一，而其余各行（列）的元素與原行列式相同?！纠?.11】性質(zhì)5[行(列)倍加變換的不變性]把行列式的某一列（行）的各個元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。以數(shù)

k乘第

j行(列)加到第

i行(列)上,記作ri

+krj

(ci

+kcj

).命題

行列式D=|aij|經(jīng)過有限次的行互換與行倍加運(yùn)算，總可以化為上三角形行列式。(1)k其中(1)k表示行列式進(jìn)行k次行互換改變的符號。例如：計算行列式【例1.12】計算行列式【解】運(yùn)用行列式的性質(zhì),將其轉(zhuǎn)化為上三角形行列式,得【例1.12’】計算行列式【例1.13】計算n階行列式【解】注意到行列式每一行的和均為(x+na),因此將每列加至第1列,然后提取公因式(x+na),再將第1行的(

1)倍加至其余各行,得【補(bǔ)例1】計算n階行列式解：將第2,3,4,…,n

列都加到第一列得(第一列提取因子[a+(n-1)b])設(shè)【補(bǔ)例2】,記則D=D1D2.解：對D1作運(yùn)算ri

+krj

,把D1化為下三角形行列式:

D2作運(yùn)算ci

+kcj

,把D2化為下三角形行列式:于是，對D的前k列作運(yùn)算ri

+krj

,再對后n列作運(yùn)算ci

+kcj

,把D化為下三角形:故D=p11…pkkq11…qnn=D1D2.證畢.例如：計算行列式解：1.計算行列式(其中a,b,c,d為常數(shù))練習(xí)1.計算行列式(其中a,b,c,d為常數(shù))練習(xí)

(3)(4)考研真題1.(2016數(shù)學(xué)三)行列式.2.(2020數(shù)學(xué)三)行列式