/2025年江西省景德鎮(zhèn)市高考數(shù)學(xué)沖刺試卷（一）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，2，3，4，，，2，，，，則A． B．， C．，2，3， D．，3，4，2．設(shè)，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，則A． B． C． D．4．記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的最大值是A．2 B．4 C．8 D．165．某魚塘只養(yǎng)殖有鰱魚和鯽魚，若鰱魚和鯽魚的數(shù)量比是，鰱魚和鯽魚被釣上來(lái)的概率分別是0.03，0.01．現(xiàn)有一條魚被釣上來(lái)了，這條魚是鰱魚的概率為A． B． C． D．6．設(shè)均為單位向量，且，則的最大值是A． B． C． D．7．某市將要承辦“全國(guó)太極拳公開賽總決賽”，組委會(huì)將甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到個(gè)人賽、對(duì)練賽和集體項(xiàng)目比賽等三個(gè)場(chǎng)館執(zhí)勤，若每個(gè)場(chǎng)館至少分到一人，且甲不能被分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，乙不能分配到對(duì)練賽場(chǎng)館，則不同分配方案的種數(shù)是A．69 B．72 C．75 D．908．若，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）已知直線，，不同的平面，，下列命題中正確的是A．若，，且，則 B．若，，且，則 C．若，，且，則 D．若，，且，則（多選）10．（6分）若實(shí)數(shù)，都是一次函數(shù)的零點(diǎn)，則下列不等關(guān)系中可能成立的是A． B． C． D．（多選）11．（6分）已知△是橢圓的內(nèi)接三角形，且，下列說(shuō)法正確的是A．的離心率是 B．△的面積的最大值是3 C．若直線，的斜率之積為，則 D．若，的中點(diǎn)滿足方程三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的橫線上。12．已知，且，則．13．已知在平面直角坐標(biāo)系中有兩個(gè)點(diǎn)，，，，數(shù)學(xué)上，我們常把定義為歐幾里得距離，把定義為曼哈頓距離．分別記，為雙曲線的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是．14．記表示不小于的最小整數(shù)，例如．已知是大于1的正整數(shù)，設(shè)是函數(shù)的零點(diǎn)，記，則．四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）年末促銷是商場(chǎng)常用清理庫(kù)存和資金回籠的一種措施．某商場(chǎng)對(duì)消費(fèi)超過(guò)500元的消費(fèi)者提供一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中裝有10個(gè)同種材質(zhì)且大小相同的紅球、黃球和綠球（綠球的個(gè)數(shù)最多），消費(fèi)者從抽獎(jiǎng)箱中同時(shí)抽取2個(gè)小球，若2個(gè)小球都是紅球即獲得一等獎(jiǎng)，都是黃球即獲得二等獎(jiǎng)，其余情況，均是不獲獎(jiǎng)．若從抽獎(jiǎng)箱中同時(shí)抽取2個(gè)小球，其中黃球和綠球各1個(gè)的概率是，某消費(fèi)者抽獎(jiǎng)一次．（1）求其獲得一等獎(jiǎng)的概率；（2）記抽到的綠球個(gè)數(shù)為，求的分布列及其期望．16．（15分）已知函數(shù)，其中，若將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，且是偶函數(shù)．（1）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知且，若是的中點(diǎn)，求的最大值．17．（15分）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作平行于軸的直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為4，已知點(diǎn)，，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，且直線交拋物線于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線交以為直徑的圓于點(diǎn)，，求的最小值．18．（17分）如圖，在三棱錐中，，，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，求四邊形面積的最大值；（3）若，且二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．19．（17分）設(shè)，其中，，都是實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：僅有一個(gè)零點(diǎn)，且；（2）當(dāng)，時(shí)，求過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與相切的直線方程；（3）當(dāng)，，時(shí)，若實(shí)數(shù)，其中同第（1）問(wèn)，且，求的最大值．

2025年江西省景德鎮(zhèn)市高考數(shù)學(xué)沖刺試卷（一）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案DBABCCAD二．多選題（共3小題）題號(hào)91011答案ADACDACD一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，2，3，4，，，2，，，，則A． B．， C．，2，3， D．，3，4，解：集合，2，3，4，，，2，，，，則，3，，，，所以，3，4，．故選：．2．設(shè)，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：根據(jù)題意，若，變形可得，必有，所以，必要性成立；反之，若，滿足，但，充分性不成立；所以“”是“”的必要不充分條件．故選：．3．已知，則A． B． C． D．解：，，．故選：．4．記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的最大值是A．2 B．4 C．8 D．16解：等差數(shù)列中，，得．由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：．5．某魚塘只養(yǎng)殖有鰱魚和鯽魚，若鰱魚和鯽魚的數(shù)量比是，鰱魚和鯽魚被釣上來(lái)的概率分別是0.03，0.01．現(xiàn)有一條魚被釣上來(lái)了，這條魚是鰱魚的概率為A． B． C． D．解：設(shè)事件表示魚被釣上來(lái)，事件表示隨機(jī)釣一條魚且該魚是鰱魚，鰱魚和鯽魚的數(shù)量比是，鰱魚和鯽魚被釣上來(lái)的概率分別是0.03，0.01，則，所以．故選：．6．設(shè)均為單位向量，且，則的最大值是A． B． C． D．解：設(shè)均為單位向量，且，由，可得，則，所以．故選：．7．某市將要承辦“全國(guó)太極拳公開賽總決賽”，組委會(huì)將甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到個(gè)人賽、對(duì)練賽和集體項(xiàng)目比賽等三個(gè)場(chǎng)館執(zhí)勤，若每個(gè)場(chǎng)館至少分到一人，且甲不能被分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，乙不能分配到對(duì)練賽場(chǎng)館，則不同分配方案的種數(shù)是A．69 B．72 C．75 D．90解：由題意，分以下六種情況：第一種情況，甲單獨(dú)一人執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館，則剩下的四個(gè)人可以分成一個(gè)人和三個(gè)人兩組，或分成每組兩個(gè)人，所以共有（種方案；第二種情況，甲單獨(dú)一人執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，則乙只能分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，若乙和另外一人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，則有種情況；若乙和另外兩人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，則有種情況；若只有乙一個(gè)人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，剩下的三個(gè)人分配到對(duì)練賽場(chǎng)館，則有1種情況；所以共有（種方案；第三種情況，甲和另外一人執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館，則剩下的三個(gè)人分成一個(gè)人和兩個(gè)人兩組，分配到個(gè)人賽場(chǎng)館和集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，所以共有（種方案；第四種情況，甲和另外一人執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，若甲和乙執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，則有種情況；若甲和乙以外的一人執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，則有種情況；共有（種方案；第五種情況，甲和另外兩人執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館，則剩下的三個(gè)人分成一個(gè)人和兩個(gè)人兩組，分配到個(gè)人賽場(chǎng)館和集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，所以共有（種方案；第六種情況，甲和另外兩人執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，則乙只能分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，若乙和另外一人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，則有種情況；若只有乙一個(gè)人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，剩下的兩個(gè)人分配到對(duì)練賽場(chǎng)館，則有種情況；所以共有（種方案．所以一共有（種不同的分配方案．故選：．8．若，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．解：，若，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，則，即對(duì)任意的恒成立，對(duì)任意的恒成立．設(shè)，．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，令，則（1），（e），使，即，故，即的取值范圍是．故選：．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）已知直線，，不同的平面，，下列命題中正確的是A．若，，且，則 B．若，，且，則 C．若，，且，則 D．若，，且，則解：由，，得，又因?yàn)?，所以，故正確；若，，且，則或與相交，故錯(cuò)誤；若，，且，則兩平面相交或平行，故錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，則，又，所以，故正確．故選：．（多選）10．（6分）若實(shí)數(shù)，都是一次函數(shù)的零點(diǎn)，則下列不等關(guān)系中可能成立的是A． B． C． D．解：由題意可得，，即，解得，在同一坐標(biāo)系下作出的圖象，如圖所示：根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，，有或，故錯(cuò)誤；若，則，又因?yàn)?，所以，故正確；若，則，所以，故正確；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，使得，所以，即，故正確．故選：．（多選）11．（6分）已知△是橢圓的內(nèi)接三角形，且，下列說(shuō)法正確的是A．的離心率是 B．△的面積的最大值是3 C．若直線，的斜率之積為，則 D．若，的中點(diǎn)滿足方程解：，根據(jù)題意可知，橢圓，故，故正確；，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，故錯(cuò)誤；，設(shè)，，，，，，由題意可得，，所以，因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，則，因?yàn)椋?，故正確；，因?yàn)?，設(shè)，，，，由選項(xiàng)知，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以所以，則的中點(diǎn)滿足方程，故正確．故選：．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的橫線上。12．已知，且，則．解：因?yàn)?，且，可得，則，可得．故答案為：．13．已知在平面直角坐標(biāo)系中有兩個(gè)點(diǎn)，，，，數(shù)學(xué)上，我們常把定義為歐幾里得距離，把定義為曼哈頓距離．分別記，為雙曲線的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是1．解：設(shè)，又，，，所以，當(dāng)，時(shí)，可得，即；當(dāng)，時(shí)，可得，即；當(dāng)，時(shí)，可得，即；當(dāng)，時(shí)，可得，即；可知點(diǎn)的軌跡是以為中心且其一條對(duì)角線在軸上的正方形．又，所以．可知當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)正上方或正下方時(shí)，，所以點(diǎn)的軌跡與雙曲線僅有1個(gè)公共點(diǎn)．故答案為：1．14．記表示不小于的最小整數(shù)，例如．已知是大于1的正整數(shù)，設(shè)是函數(shù)的零點(diǎn)，記，則228．解：，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以（1），，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，兩式取等條件不同，，存在零點(diǎn)，，令，則，．設(shè)，在上為增函數(shù)，且．，，單調(diào)遞增，（2），，，，則．故答案為：228．四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）年末促銷是商場(chǎng)常用清理庫(kù)存和資金回籠的一種措施．某商場(chǎng)對(duì)消費(fèi)超過(guò)500元的消費(fèi)者提供一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中裝有10個(gè)同種材質(zhì)且大小相同的紅球、黃球和綠球（綠球的個(gè)數(shù)最多），消費(fèi)者從抽獎(jiǎng)箱中同時(shí)抽取2個(gè)小球，若2個(gè)小球都是紅球即獲得一等獎(jiǎng)，都是黃球即獲得二等獎(jiǎng)，其余情況，均是不獲獎(jiǎng)．若從抽獎(jiǎng)箱中同時(shí)抽取2個(gè)小球，其中黃球和綠球各1個(gè)的概率是，某消費(fèi)者抽獎(jiǎng)一次．（1）求其獲得一等獎(jiǎng)的概率；（2）記抽到的綠球個(gè)數(shù)為，求的分布列及其期望．解：（1）設(shè)10個(gè)小球中黃球?yàn)閭€(gè)，綠球?yàn)閭€(gè)，且，，，由題意得，，整理得，解得，，則紅球有2個(gè)，記事件：某消費(fèi)者抽獎(jiǎng)一次獲得一等獎(jiǎng)，則；（2）由題意，的取值是0，1，2，則，，，所以的分布列為：012所以．16．（15分）已知函數(shù)，其中，若將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，且是偶函數(shù)．（1）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知且，若是的中點(diǎn)，求的最大值．解：（1）因?yàn)?，因?yàn)閷⒌膱D象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，所以．因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以．又因?yàn)?，所以，所以．令，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）因?yàn)椋?，即．又因?yàn)椋?，所以，解得．由余弦定理有：，得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，則的最大值是．17．（15分）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作平行于軸的直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為4，已知點(diǎn)，，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，且直線交拋物線于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線交以為直徑的圓于點(diǎn)，，求的最小值．解：（1）易知拋物線的焦點(diǎn)為，將代入拋物線的方程中，解得，則，故拋物線的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，，，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時(shí)△，由韋達(dá)定理得，，因?yàn)?，所以直線，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，所以，所以，則，直線，因?yàn)?，，所以，又，所以，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．以為直徑的圓的方程是，該圓的圓心為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（此時(shí)點(diǎn)，重合）最小，此時(shí)，故最小值為4．18．（17分）如圖，在三棱錐中，，，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，求四邊形面積的最大值；（3）若，且二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．解：（1）證明：如圖，設(shè)是在平面上的射影，連接，，，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以．又，，平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．同理可得，，所以是△的垂心，所以．又，，平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．連接，，，．因?yàn)椋?，且所以且，故四邊形是平行四邊形．又，，且，所以，所以平行四邊形是矩形，則．（2）由（1）可知，四邊形是矩形，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以四邊形面積的最大值是1．（3）如圖，連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，．在△中，由等面積法，得，即．在△中，，所以在△中，．以為原點(diǎn)，，所在的直線為，軸，以過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，即為三棱錐的高，設(shè)，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，則，即，令，得，，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則，則，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，解得，則點(diǎn)到平面的距離是．19．（17分）設(shè)，其中，，都是實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：僅有一個(gè)零點(diǎn)，且；（2）當(dāng)，時(shí)，求過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與相切的直線方程；（3）當(dāng)，，時(shí)，若實(shí)數(shù)，其中同第（1）問(wèn)，且，求的最大值．解：（1）證明：的定義域?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞增．又，所以由零點(diǎn)存在性定理可知：有且只有一個(gè)，使得，即當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)，且．（2）由，得．設(shè)是的圖象上一點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線為，整理得．因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，解得或，所以當(dāng)，時(shí)，所求直線方程為．（3）根據(jù)題目：當(dāng)，，時(shí)，若實(shí)數(shù)，其中同第（1）問(wèn)，且，設(shè)，則．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，