初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)專題練習(xí)與講解一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)代數(shù)部分的核心內(nèi)容之一，它不僅是對之前所學(xué)常量數(shù)學(xué)的拓展，更是后續(xù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)等知識的基礎(chǔ)。掌握一次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用其解決實(shí)際問題，對同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)和中考應(yīng)試能力提升至關(guān)重要。本專題將圍繞一次函數(shù)的重點(diǎn)知識進(jìn)行梳理，并輔以典型例題與練習(xí)，幫助同學(xué)們深化理解，熟練應(yīng)用。一、一次函數(shù)的概念與表達(dá)式1.一次函數(shù)的定義一般地，形如\(y=kx+b\)（其中\(zhòng)(k\)、\(b\)是常數(shù)，且\(k\neq0\)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。特別地，當(dāng)\(b=0\)時(shí)，函數(shù)\(y=kx\)（\(k\neq0\)）叫做正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)的是，\(k\neq0\)是定義中的關(guān)鍵條件。如果\(k=0\)，那么函數(shù)就變成了\(y=b\)，這是一個(gè)常函數(shù)，其圖像是一條平行于\(x\)軸的直線，不再具備一次函數(shù)的特性。2.一次函數(shù)表達(dá)式的確定（待定系數(shù)法）要確定一個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式，通常需要知道函數(shù)圖像上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解。具體步驟如下：(1)設(shè)所求一次函數(shù)的表達(dá)式為\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）；(2)將已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入表達(dá)式，得到關(guān)于\(k\)、\(b\)的二元一次方程組；(3)解這個(gè)方程組，求出\(k\)、\(b\)的值；(4)將\(k\)、\(b\)的值代入所設(shè)表達(dá)式，即可得到所求的一次函數(shù)表達(dá)式。例題1：已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)\(A(1,3)\)和點(diǎn)\(B(-1,-1)\)，求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式。分析與解答：設(shè)該一次函數(shù)的表達(dá)式為\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）。因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)\(A(1,3)\)和點(diǎn)\(B(-1,-1)\)，所以將這兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入表達(dá)式可得：\[\begin{cases}k+b=3\\-k+b=-1\end{cases}\]解這個(gè)方程組：將兩個(gè)方程相加，得\(2b=2\)，解得\(b=1\)。將\(b=1\)代入第一個(gè)方程，得\(k+1=3\)，解得\(k=2\)。所以，這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為\(y=2x+1\)。練習(xí)1：若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)\((2,-4)\)，則該正比例函數(shù)的表達(dá)式為______。二、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.一次函數(shù)的圖像一次函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）的圖像是一條直線。因此，畫一次函數(shù)的圖像時(shí)，只需確定兩個(gè)點(diǎn)，再過這兩點(diǎn)畫直線即可。通常選擇與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：與\(y\)軸的交點(diǎn)\((0,b)\)和與\(x\)軸的交點(diǎn)\((-\frac{k},0)\)（當(dāng)\(b\neq0\)時(shí)）。2.一次函數(shù)圖像的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)主要由比例系數(shù)\(k\)和常數(shù)項(xiàng)\(b\)決定。*比例系數(shù)\(k\)的作用：*\(k\)的符號決定了直線的傾斜方向和函數(shù)的增減性：*當(dāng)\(k>0\)時(shí)，直線從左到右上升，\(y\)隨\(x\)的增大而增大。*當(dāng)\(k<0\)時(shí)，直線從左到右下降，\(y\)隨\(x\)的增大而減小。*\(|k|\)的大小決定了直線的傾斜程度（即陡峭程度）：\(|k|\)越大，直線越陡峭；\(|k|\)越小，直線越平緩。*常數(shù)項(xiàng)\(b\)的作用：\(b\)是直線與\(y\)軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱為截距。*當(dāng)\(b>0\)時(shí)，直線與\(y\)軸交于正半軸。*當(dāng)\(b=0\)時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)（此時(shí)為正比例函數(shù)）。*當(dāng)\(b<0\)時(shí)，直線與\(y\)軸交于負(fù)半軸。3.一次函數(shù)圖像所經(jīng)過的象限根據(jù)\(k\)和\(b\)的符號，可以確定直線\(y=kx+b\)經(jīng)過的象限：*\(k>0,b>0\)：直線經(jīng)過第一、二、三象限。*\(k>0,b<0\)：直線經(jīng)過第一、三、四象限。*\(k<0,b>0\)：直線經(jīng)過第一、二、四象限。*\(k<0,b<0\)：直線經(jīng)過第二、三、四象限。*（特殊地，當(dāng)\(b=0\)時(shí)，正比例函數(shù)\(y=kx\)圖像經(jīng)過原點(diǎn)和兩個(gè)象限：\(k>0\)時(shí)過一、三象限；\(k<0\)時(shí)過二、四象限。）例題2：已知一次函數(shù)\(y=(m-2)x+3-m\)。(1)若函數(shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn)，求\(m\)的值。(2)若函數(shù)圖像中，\(y\)隨\(x\)的增大而減小，求\(m\)的取值范圍。(3)若函數(shù)圖像不經(jīng)過第一象限，求\(m\)的取值范圍。分析與解答：(1)因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn)\((0,0)\)，將其代入\(y=(m-2)x+3-m\)得：\(0=(m-2)\times0+3-m\)，解得\(m=3\)。同時(shí)，一次函數(shù)要求\(k\neq0\)，即\(m-2\neq0\)，\(m=3\)滿足此條件。所以\(m=3\)。(2)因?yàn)閈(y\)隨\(x\)的增大而減小，所以\(k<0\)，即\(m-2<0\)，解得\(m<2\)。(3)函數(shù)圖像不經(jīng)過第一象限，有兩種情況：*圖像經(jīng)過第二、三、四象限：此時(shí)\(k<0\)且\(b\leq0\)。即\(\begin{cases}m-2<0\\3-m\leq0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}m<2\\m\geq3\end{cases}\)。此不等式組無解。*圖像經(jīng)過第二、四象限及原點(diǎn)（正比例函數(shù)的情況）：此時(shí)\(k<0\)且\(b=0\)。即\(\begin{cases}m-2<0\\3-m=0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}m<2\\m=3\end{cases}\)。此不等式組也無解。（思考：是不是還有一種情況？當(dāng)\(k<0\)且\(b<0\)時(shí)，圖像經(jīng)過二、三、四象限，確實(shí)不經(jīng)過第一象限。但剛才解出無解，說明題目條件下無法滿足？或者，是否考慮\(k<0\)且\(b\leq0\)？）（重新審視）若圖像不經(jīng)過第一象限，則必須滿足：直線從左到右下降（\(k<0\)），且與\(y\)軸的交點(diǎn)在非正半軸（\(b\leq0\)）。即\(\begin{cases}m-2<0\\3-m\leq0\end{cases}\)，\(m<2\)與\(m\geq3\)沒有交集，故無解。這說明在此題中，不存在這樣的\(m\)使得函數(shù)圖像不經(jīng)過第一象限。（*注：此處原方程組無解，說明在給定函數(shù)形式下，無法實(shí)現(xiàn)圖像不經(jīng)過第一象限。實(shí)際解題時(shí)，若出現(xiàn)此種情況，應(yīng)如實(shí)回答無解或不存在。*）練習(xí)2：對于一次函數(shù)\(y=-3x+2\)，下列說法正確的是（）A.圖像經(jīng)過第一、二、三象限B.\(y\)隨\(x\)的增大而增大C.圖像與\(y\)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,2)\)D.當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y=1\)練習(xí)3：已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，則\(k\)______0，\(b\)______0（填“>”或“<”）。三、一次函數(shù)的應(yīng)用一次函數(shù)的應(yīng)用廣泛，主要包括利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解決與函數(shù)圖像有關(guān)的問題、以及運(yùn)用一次函數(shù)模型解決實(shí)際生活中的應(yīng)用問題，如行程問題、工程問題、利潤問題等。例題3：某商店銷售一種文具，每件成本為10元。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)是15元時(shí)，每天的銷售量是50件，而銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少2件。設(shè)銷售單價(jià)為\(x\)元（\(x\geq15\)，且為整數(shù)），每天的銷售利潤為\(y\)元。(1)求\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？分析與解答：(1)利潤=（售價(jià)-成本）×銷售量。已知成本為10元，售價(jià)為\(x\)元，則每件利潤為\((x-10)\)元。銷售單價(jià)是15元時(shí)，銷售量是50件，單價(jià)每上漲1元，銷售量減少2件。那么，單價(jià)從15元上漲到\(x\)元，上漲了\((x-15)\)元，銷售量減少\(2(x-15)\)件。所以，銷售量為\(50-2(x-15)=50-2x+30=80-2x\)件。因此，\(y=(x-10)(80-2x)\)。整理得：\(y=-2x^2+100x-800\)。（*注：此處得到的是二次函數(shù)，若題目限定為一次函數(shù)模型，則需調(diào)整條件，此處僅為示例應(yīng)用題型，實(shí)際一次函數(shù)應(yīng)用多為線性關(guān)系。*）（*修正：若要使問題符合一次函數(shù)，可改為“銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少固定的a件，且總利潤與單價(jià)成一次函數(shù)關(guān)系”，但為了貼合實(shí)際，我們調(diào)整題目背景。*）（調(diào)整后的例題3）某商店銷售一種文具，每件成本為10元。若按每件15元銷售，每天可售出50件。根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價(jià)每降低1元，每天的銷售量可增加10件。設(shè)銷售單價(jià)為\(x\)元（\(x\leq15\)，且為整數(shù)），每天的銷售利潤為\(y\)元。(1)求\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式（要求是一次函數(shù)）；(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？分析與解答（調(diào)整后）：(1)每件利潤為\((x-10)\)元。單價(jià)從15元降低到\(x\)元，降低了\((15-x)\)元，銷售量增加\(10(15-x)\)件。銷售量為\(50+10(15-x)=50+150-10x=200-10x\)件。所以，\(y=(x-10)(200-10x)\)。展開：\(y=200x-10x^2-2000+100x=-10x^2+300x-2000\)。（*唉，還是二次函數(shù)?？磥砝麧檰栴}通常是二次函數(shù)。那么換一個(gè)純粹的一次函數(shù)應(yīng)用問題。*）例題3（一次函數(shù)應(yīng)用修正版）：小明從家出發(fā)去學(xué)校，先以每分鐘50米的速度走了2分鐘后，發(fā)現(xiàn)快要遲到了，于是加快速度，以每分鐘70米的速度勻速趕往學(xué)校。設(shè)小明出發(fā)\(t\)分鐘后，離學(xué)校的距離為\(s\)米。(1)當(dāng)\(0\leqt\leq2\)時(shí)，求\(s\)與\(t\)之間的函數(shù)關(guān)系式（假設(shè)小明家到學(xué)校的總路程為一個(gè)固定值，且小明能按時(shí)到校）。(2)若小明家到學(xué)校的總路程為800米，求當(dāng)\(t>2\)時(shí)，\(s\)與\(t\)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出小明從家到學(xué)校一共用了多少分鐘。分析與解答（修正版）：(1)當(dāng)\(0\leqt\leq2\)時(shí)，小明以每分鐘50米的速度行走。他\(t\)分鐘內(nèi)走的路程為\(50t\)米。設(shè)小明家到學(xué)校的總路程為\(L\)米，則此時(shí)離學(xué)校的距離\(s=L-50t\)。（由于題目未給出總路程，此問可表示為含\(L\)的形式，或在第二問中結(jié)合總路程求解。）(2)已知總路程\(L=800\)米。前2分鐘走的路程為\(50\times2=100\)米，剩余路程為\(800-100=700\)米。當(dāng)\(t>2\)時(shí)，小明以每分鐘70米的速度行走，已經(jīng)走了2分鐘，剩余行走時(shí)間為\((t-2)\)分鐘，剩余路程為\(70(t-