培優(yōu)練3爪形結(jié)構(gòu)與分角定理、張角定理一、基本技能練1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\o(OB,\s\up6(→))＝a1eq\o(OA,\s\up6(→))＋a200eq\o(OC,\s\up6(→))，且A，B，C三點(diǎn)共線，設(shè)直線不過點(diǎn)O，則S200＝()A.100 B.101C.200 D.2012.在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，點(diǎn)P是BN上一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.13.已知A(2，1)，B(3，－1)及直線l：y＝4x－5，直線AB與l相交于P點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，則λ＝()A.－eq\f(1,2) B.－eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)4.在△ABC中，eq\o(AR,\s\up6(→))＝2eq\o(RB,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PR,\s\up6(→))，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，則m＋n＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(7,9)C.eq\f(8,9) D.15.在△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，E、F為BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AE交CD于點(diǎn)M.設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(FM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,15)a－eq\f(7,15)b B.eq\f(1,15)a＋eq\f(7,15)bC.eq\f(2,15)a－eq\f(4,15)b D.eq\f(2,15)a＋eq\f(4,15)b6.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，角A的角平分線交BC于點(diǎn)D.若asinA＝bsinB＋(c－b)sinC，且AD＝eq\r(3)，b＝3c，則a的值為()A.eq\f(7,2) B.eq\f(4\r(7),3)C.3 D.2eq\r(3)7.邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，CD與BE交于點(diǎn)O，則|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝________.8.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，AD是∠BAC的角平分線，若∠BAC＝eq\f(π,3)，|AD|＝2eq\r(3)，則2b＋c的最小值為________.二、創(chuàng)新拓展練9.(多選)如圖所示，在凸四邊形ABCD中，對(duì)邊BC，AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，對(duì)邊AB，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))＝μeq\o(DA,\s\up6(→))(λ，μ>0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(BF,\s\up6(→))，則()A.eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(EA,\s\up6(→)) B.λμ＝eq\f(1,4)C.eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)的最大值為1 D.eq\f(\o(EC,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→)),\o(EB,\s\up6(→))·\o(EA,\s\up6(→)))≥－eq\f(4,9)10.在△ABC中，B＝eq\f(3π,4)，AB＝1，角A的平分線AD＝eq\r(2)，則AC＝________.參考答案1.A[易知a1＋a200＝1，∴S200＝eq\f(200（a1＋a200）,2)＝100.]2.B[eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1－λ,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝m，,\f(1－λ,4)＝\f(1,6)，))∴m＝eq\f(1,3).]3.B[設(shè)P(x，y)，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，得λ＝eq\f(\o(AP,\s\up6(→)),\o(PB,\s\up6(→)))，由定比分點(diǎn)公式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(λ,1＋λ)eq\o(OB,\s\up6(→))，即(x，y)＝eq\f(1,1＋λ)(2，1)＋eq\f(λ,1＋λ)(3，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋3λ,1＋λ)，\f(1－λ,1＋λ)))，又∵P點(diǎn)在直線l上，∴eq\f(1－λ,1＋λ)＝eq\f(4（2＋3λ）,1＋λ)－5，∴λ＝－eq\f(1,4).]4.B[eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,1＋2)eq\o(AR,\s\up6(→))＋eq\f(1,1＋2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AR,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)·eq\f(2,3)·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴m＝eq\f(4,9)，n＝eq\f(1,3)，∴m＋n＝eq\f(7,9).]5.A[∵D，M，C共線，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))；∵A，M，E共線，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AE,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝\f(2,3)y，,1－x＝\f(1,3)y，))∴eq\f(x,2)＝2－2x，∴x＝eq\f(4,5)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(FM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(1,3)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(2,3)))eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,15)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(7,15)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,15)a－eq\f(7,15)b.]6.B[由asinA＝bsinB＋(c－b)sinC及正弦定理得a2＝b2＋(c－b)c，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，則A＝eq\f(π,3)，由三角形內(nèi)角平分線定理得eq\f(BD,DC)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(1,3)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，兩邊平方得|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AC,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(3,8)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,16)eq\o(AC,\s\up6(→))2，即(eq\r(3))2＝eq\f(9,16)c2＋eq\f(3,8)c·3c·eq\f(1,2)＋eq\f(1,16)(3c)2，解得c＝eq\f(4,3)，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝42＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(2)－2×4×eq\f(4,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(112,9)，a＝eq\f(4\r(7),3).]7.eq\f(8\r(3),5)[eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∵直線BE交△ADC三邊所在直線于E、O、B，由梅涅勞斯定理得eq\f(AB,BD)·eq\f(DO,OC)·eq\f(CE,EA)＝1，eq\f(2,1)·eq\f(DO,OC)·eq\f(1,3)＝1，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|2eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|－3eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|－2eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(4,5)|CD|＝eq\f(8\r(3),5).]8.6＋4eq\r(2)[如圖.∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(π,6)，由張角定理得eq\f(sin∠BAC,AD)＝eq\f(sin∠BAD,AC)＋eq\f(sin∠DAC,AB)，即eq\f(sin\f(π,3),2\r(3))＝eq\f(sin\f(π,6),b)＋eq\f(sin\f(π,6),c)，∴eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,2)，∴2b＋c＝(2b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(1,c)))×2＝eq\f(2c,b)＋eq\f(4b,c)＋6≥6＋2eq\r(\f(2c,b)×\f(4b,c))＝6＋4eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)\f(2c,b)＝\f(4b,c)，即c＝\r(2)b時(shí)取“＝”)).]9.ABD[由eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(BF,\s\up6(→))，得eq\o(EB,\s\up6(→))－eq\o(EA,\s\up6(→))＝3eq\o(EF,\s\up6(→))－3eq\o(EB,\s\up6(→))，∴eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(EA,\s\up6(→))，A正確；直線FD交△ABE三邊所在直線于D，C，F(xiàn)，由梅涅勞斯定理，得eq\f(AF,FB)·eq\f(BC,CE)·eq\f(ED,DA)＝1，eq\f(4,1)·eq\f(λ,1)·eq\f(μ,1)＝1，λμ＝eq\f(1,4)，eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)≥2eq\r(\f(1,λ)·\f(1,μ))＝4，所以B正確，C錯(cuò)誤；eq\f(\o(EC,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→)),\o(EB,\s\up6(→))·\o(EA,\s\up6(→)))＝eq\f(－\o(EC,