幾何最大值問題專項(xiàng)訓(xùn)練集引言：探尋幾何世界中的“極致”之美在平面幾何的學(xué)習(xí)旅程中，我們時(shí)常會遇到一類充滿挑戰(zhàn)與趣味的問題——最大值問題。這類問題不僅要求我們對幾何圖形的性質(zhì)有深刻的理解，更需要我們具備靈活的思維與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰?。從線段長度的最值，到圖形面積的極值，再到角度大小的范圍探索，幾何最大值問題貫穿于各個(gè)知識模塊，既是考試中的熱點(diǎn)，也是培養(yǎng)空間想象與邏輯思維的絕佳載體。本訓(xùn)練集旨在引領(lǐng)讀者深入探究幾何最大值問題的內(nèi)在規(guī)律，掌握常用的解題策略與技巧，最終能夠游刃有余地應(yīng)對各類相關(guān)挑戰(zhàn)。一、基于幾何圖形性質(zhì)的最值分析幾何圖形本身蘊(yùn)含著豐富的性質(zhì)，許多最大值問題的解決，往往就隱藏在這些基本性質(zhì)之中。（一）利用“兩點(diǎn)之間線段最短”及衍生性質(zhì)“兩點(diǎn)之間，線段最短”是歐氏幾何中的一條基本公理，看似簡單，卻能解決諸多復(fù)雜的最值問題。其衍生出的“三角形兩邊之和大于第三邊”、“垂線段最短”等性質(zhì)，也是我們解題的利器。例題1：已知直線l外有一定點(diǎn)A，試在直線l上找一點(diǎn)P，使得AP的長度最小。并說明理由。分析與解答：根據(jù)“垂線段最短”的性質(zhì)，過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足即為所求點(diǎn)P。此時(shí)AP為點(diǎn)A到直線l的距離，是所有連接A與l上點(diǎn)的線段中最短的。例題2：在△ABC中，AB=5，AC=3，BC邊上的中線AD長度的最大值是多少？分析與解答：這是一個(gè)經(jīng)典的“中線最值”問題。我們可以利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形。延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE。易證△ADC≌△EDB（SAS），從而BE=AC=3。在△ABE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，AB-BE<AE<AB+BE，即5-3<2AD<5+3，所以1<AD<4。因此，AD長度的最大值為4（當(dāng)A、B、E三點(diǎn)共線時(shí)取等號）。（二）利用軸對稱性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段在涉及折線長度最值的問題中，通過軸對稱變換將折線“拉直”，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的線段問題，是一種極為有效的策略。例題3：如圖，在∠MON內(nèi)有一點(diǎn)P，試在OM、ON上分別找一點(diǎn)A、B，使得△PAB的周長最小。分析與解答：要使△PAB的周長最小，即PA+PB+AB最小。由于AB是OM、ON上的兩點(diǎn)連線，其長度隨A、B的位置變化而變化。我們可以利用軸對稱，分別作出點(diǎn)P關(guān)于OM的對稱點(diǎn)P?，關(guān)于ON的對稱點(diǎn)P?。連接P?P?，分別交OM、ON于點(diǎn)A、B。此時(shí)，PA=P?A，PB=P?B，所以△PAB的周長PA+PB+AB=P?A+P?B+AB=P?P?。根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，此時(shí)的周長即為最小值。故A、B兩點(diǎn)即為所求。二、結(jié)合代數(shù)方法的最值求解有些幾何最大值問題，單純依靠幾何直觀難以突破，此時(shí)引入代數(shù)工具，通過建立函數(shù)關(guān)系或方程，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，往往能收到奇效。（一）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值當(dāng)所求的幾何量（如長度、面積）可以表示為某個(gè)變量的二次函數(shù)時(shí)，我們可以借助二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或單調(diào)性來確定其最大值。例題4：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。點(diǎn)P是斜邊AB上的一個(gè)動點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)P分別作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E。求矩形PDCE面積的最大值。分析與解答：首先，利用勾股定理可求得AB的長度為10。設(shè)AP=x，則PB=10-x。由于PD⊥AC，PE⊥BC，易知△ADP∽△ACB，△BEP∽△BCA。由△ADP∽△ACB，得PD/BC=AP/AB，即PD/8=x/10，所以PD=(4/5)x。由△BEP∽△BCA，得PE/AC=BP/AB，即PE/6=(10-x)/10，所以PE=(3/5)(10-x)。矩形PDCE的面積S=PD×PE=(4/5)x×(3/5)(10-x)=(12/25)x(10-x)=(12/25)(-x2+10x)。這是一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為x=5。當(dāng)x=5時(shí)，S取得最大值，S_max=(12/25)(-25+50)=(12/25)(25)=12。因此，矩形PDCE面積的最大值為12。（二）利用基本不等式求最值對于涉及乘積形式的幾何量，若能滿足“一正、二定、三相等”的條件，基本不等式（均值定理）是求其最大值的有力工具。例題5：用一段長度為定值L的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，如何設(shè)計(jì)矩形的長和寬，才能使菜園的面積最大？分析與解答：設(shè)矩形的長為x，寬為y。則籬笆的周長為2(x+y)=L，即x+y=L/2。菜園的面積S=x×y。根據(jù)基本不等式，對于正數(shù)x、y，有x+y≥2√(xy)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號成立。將x+y=L/2代入，得L/2≥2√(S)，即√(S)≤L/4，兩邊平方得S≤L2/16。當(dāng)且僅當(dāng)x=y=L/4時(shí)，等號成立。因此，當(dāng)矩形為正方形（長和寬都為L/4）時(shí)，菜園的面積最大，最大值為L2/16。三、動態(tài)幾何中的最值問題動態(tài)幾何問題中的最大值，通常涉及點(diǎn)、線、面的運(yùn)動，需要我們在運(yùn)動變化中尋找不變的量或關(guān)系，從而確定最值的位置。例題6：如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線AC上的一個(gè)動點(diǎn)。連接PB、PE，求PB+PE的最小值。分析與解答：正方形的對角線AC是一條對稱軸。點(diǎn)B關(guān)于對角線AC的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D。連接DE，交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PE=PD+PE=DE。根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，DE的長度即為PB+PE的最小值。因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，BC=2，所以EC=1。在Rt△DCE中，DC=2，EC=1，根據(jù)勾股定理，DE=√(DC2+EC2)=√(4+1)=√5。因此，PB+PE的最小值為√5。四、解題策略小結(jié)與反思解決幾何最大值問題，通?？梢宰裱韵滤悸罚?.明確目標(biāo)：清楚題目要求的是哪個(gè)幾何量（線段、面積、角度等）的最大值。2.分析圖形：仔細(xì)觀察圖形的結(jié)構(gòu)，識別基本圖形，回憶相關(guān)的幾何性質(zhì)和定理。3.動態(tài)探究：對于動態(tài)問題，可嘗試畫出圖形在不同位置的情況，觀察目標(biāo)量的變化趨勢，初步判斷最值可能出現(xiàn)的位置（如特殊點(diǎn)、端點(diǎn)、中點(diǎn)、垂直或平行位置等）。4.選擇方法：*若能直接利用幾何性質(zhì)（如三角形三邊關(guān)系、垂線段最短、軸對稱性質(zhì)等），則優(yōu)先考慮幾何方法。*若幾何關(guān)系復(fù)雜，可嘗試引入變量，建立函數(shù)模型（如二次函數(shù)），利用代數(shù)方法求最值。*對于涉及乘積或和式的最值，可考慮基本不等式等數(shù)學(xué)工具。5.嚴(yán)謹(jǐn)論證：找到可能的最值位置后，需進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明，確保結(jié)論的正確性。6.反思總結(jié)：解題后回顧過程，總結(jié)方法的適用條件和關(guān)鍵步驟，積累解題經(jīng)驗(yàn)。結(jié)語：勤練善思，攻克最值難關(guān)幾何最大值問題的求解沒有一成不變的萬能公式，它需要我們將幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算相結(jié)合，將靜態(tài)分析與動態(tài)思維相融合。通過本