第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市高二（下）第一次學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共18小題，每小題3分，共54分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z1=2+3i，z2=1+i，則A.3+2i B.?1+2i C.?1+4i D.3+4i2.已知a，b∈R，且a>b，則下列不等式中一定成立的是(

)A.a+1>b B.a>b+1 C.a+1<b+1 D.a?1<b?13.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(

)A.f(x)=x+1 B.f(x)=(12)x C.4.下列向量中，與向量a=(3,4)共線(xiàn)的是(

)A.(6,8) B.(8,6) C.(?6,8) D.(6,?8)5.不等式x2<1的解集是(

)A.{x|?1<x<0} B.{x|0<x<1}

C.{x|?1<x<1} D.{x|x<?1或x>1}6.已知a=(12)3，b=(13A.b<a<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)為頂點(diǎn).以O(shè)x為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,?1)，則角α可以是(

)A.?π2 B.?π4 C.8.某農(nóng)場(chǎng)種植的甲、乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田中連續(xù)五年的產(chǎn)量(單位：kg)如下：第1年第2年第3年第4年第5年甲水稻產(chǎn)量900920900850910乙水箱產(chǎn)量890960950850860對(duì)于上表數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是(

)A.甲水稻產(chǎn)量每年都比乙水稻產(chǎn)量小

B.甲水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為900，乙水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為860

C.甲水稻產(chǎn)量的方差比乙水稻產(chǎn)量的方差小

D.甲水稻產(chǎn)量的極差比乙水稻產(chǎn)量的極差大9.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠A=60°，則AB?AD=A.4 B.2 C.1 D.110.△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=1，b=2，sinA=13，則sinB=A.23 B.13 C.211.已知函數(shù)f(x)=x3?2.下列區(qū)間中包含f(x)的零點(diǎn)的是A.(?2,?1) B.(?1,0) C.(0,1) D.(1,2)12.lg10=A.12 B.?12 C.213.a，b是空間中兩條不同的直線(xiàn)，“a，b是異面直線(xiàn)”是“a，b沒(méi)有公共點(diǎn)”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.某市持續(xù)擴(kuò)大綠色生態(tài)空間，打造宜居城市，該市人均公園綠地面積從2020年的16.6m2增長(zhǎng)到2023年的16.9m2.設(shè)2020～2023年期間該市人均公園綠地面積的年平均增長(zhǎng)率為A.16.6r3=16.9B.16.6r3=0.315.函數(shù)f(x)=?x的定義域?yàn)?

)A.(?∞,0) B.(?∞,0] C.[0,+∞) D.(0,+∞)16.已知a，b∈R，且a2+b2=1，則A.?1 B.?12 C.1 17.若sinαcosβ+cosαsinβ=1，則(

)A.α+β=2kπ(k∈Z) B.α+β=π2+2kπ(k∈Z)

C.α+β=π+2kπ(k∈Z)18.已知集合A={1,2,3,4}.若存在A的n個(gè)不同的非空子集，它們的并集是A的真子集，則n的最大值是(

)A.5 B.6 C.7 D.8二、填空題：本題共3小題，每小題4分，共12分。19.某校美術(shù)社團(tuán)在校園文化節(jié)期間制作了“金面罩”“鍋神獸”“銅太陽(yáng)神器”3枚三星堆文物圖案印章，并為每位學(xué)生隨機(jī)選擇1枚蓋章留念，則學(xué)生甲得到“金面罩”圖案的概率為_(kāi)_____；學(xué)生乙和學(xué)生丙都得到“銅神獸”圖案的概率為_(kāi)_____．20.如圖，在三棱錐A?BCD中，DA，DB，DC兩兩互相垂直，DA=DB=DC，則△ABC是______三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)21.已知函數(shù)f(x)=log2x，g(x)=?x+6.設(shè)函數(shù)m(x)=f(x),f(x)<g(x)g(x),f(x)≥g(x)，

給出下列三個(gè)結(jié)論：

①m(x)在區(qū)間(0,4)上單調(diào)遞增；

②m(x)的最大值為2；

③方程m(x)=1三、解答題：本題共4小題，共34分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。22.(本小題9分)

已知函數(shù)f(x)=cosxtanx．

(1)寫(xiě)出f(x)的一個(gè)周期；

(2)求f(x)在區(qū)間[?π323.(本小題9分)

閱讀下面題目及其解答過(guò)程．已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x?1，

(1)求f(?2)的值；

(2)求不等式f(x)≥?3的解集．

解：(1)因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x?1，所以f(2)=?①______．

因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(?2)=②______．

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，2x≥③______，所以f(x)≥?3恒成立．

當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，所以f(?x)=④______．

因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(?x)=⑤______．

所以f(x)=1?2?x．

由f(x)≥?3以上題目的解答過(guò)程中，設(shè)置了①～⑥六個(gè)空格，如下的表格中為每個(gè)空格給出了兩個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)符合邏輯推理.請(qǐng)選出符合邏輯推理的選項(xiàng)，并填寫(xiě)在答題卡的指定位置.(只需填寫(xiě)“A”或“B”)空格序號(hào)選項(xiàng)①A.22?1=3B②A.?3B．3③A.2?B.1④A.2⑤A.f(x)?B.?f(x)⑥A.{x|x≥?2}?B.{x|?2≤x<0}24.(本小題8分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P在AB上．

(1)求證：AA25.(本小題8分)

已知集合M={a1,a2,…,an}(n≥4)，其中ai∈Zi，i=1，2，…，n，若存在M的非空子集A，滿(mǎn)足2≤card(A)≤n?2(card(A)表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù))，且A中所有元素之積與?MA中所有元素之和相等，則稱(chēng)M為“積和集合”．

(1)若M={?1,2,3,7}，判斷M是否為“積和集合”；(結(jié)論無(wú)需證明)

(2)參考答案1.D

2.A

3.B

4.A

5.C

6.A

7.B

8.C

9.B

10.A

11.D

12.A

13.A

14.C

15.B

16.D

17.B

18.C

19.13

120.銳角

21.①②③

22.(1)因?yàn)閒(x)=cosxtanx=cosx?sinxcosx=sinx(x≠kπ+π2,k∈Z)，

所以T=2π為函數(shù)的一個(gè)周期．

(2)當(dāng)x∈[?π3,π4]時(shí)，sin(?π3)≤sinx≤sinπ4，

即?32≤sinx≤22，

所以f(x)在區(qū)間[?π3,π4]上的最大值和最小值分別為22，?32．

23.解：(1)∵當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x?1，∴f(2)=22?1=3，故①選A；

∵函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，∴f(?2)=?f(2)=?3，故②選A；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，2x≥20=1，故③選B；

∵當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，所以f(?x)=2?x?1，故④選A；

∵函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，∴f(?x)=?f(x)，故⑤選B；

由題中過(guò)程可知：不等式f(x)≥?3的解集為{x|x≥?2}，故⑥選A．

故答案為：①A；②A25.(1)注意到2×3=?1+7，則取A={2,3}，?MA={?1,7}滿(mǎn)足題意，

所以M是“積和集合”；

(2)由題意可得card(A)=2，若A={1,2}，則1×2=4+a?a=?2，符合；

若A={1,4}，則1×4=2+a?a=2，不滿(mǎn)足集合互異性，舍去；

若A={1,a}，則a=2+4?a=6，符合；

若A={2,4}，則2×4=1+a?a=7，符合；

若A={2,a}，則2a=1+4?a=52，a不為整數(shù)，不滿(mǎn)足題意，舍去；

若A={4,a}，則4a=1+2?a=34，a不為整數(shù)，不滿(mǎn)足題意，舍去；

綜上，a的所有可能取值為?2，6，7；

(3)設(shè)?MA=B，集合A中全體元素乘積為∏A，全體元素和為∑A．

假設(shè)M為“積和集合”，則∏A=∑B，2≤card(A)≤9．

因∑A+∑B=∑M，則∏A+∑A=∑M．

注意到∑M=?2+(1+19)×102=98，則∏A+∑A=98．

若?2∈A，則∏A<0?∑A>∑M，這與題意不符，則?2?A，

故A?{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}，∏A>0，∑A>0．

若card(A)=2，設(shè)A={a,b}，則∏A+∑A=ab+a+b=98，所以a(b+1)+b=98，

所以a(b+1)+(b+1)=99，所以(a+1)(b+1)=99．

注意到a，b均為奇數(shù)，則a+1，b+1為偶數(shù)，則(a+1)(b+1)為偶數(shù)，這與(a+1)(b+1)=99矛盾，則不存在滿(mǎn)足card(A)=2的集合A；

若card(A)=3，設(shè)A={a,b,c}．

若1∈{a,b,c}，設(shè)a=1，則∏A+∑A=bc+b+c=97，所以c(b+1)+c=97，

所以c(b+1)+(c+1)=98，所以(c+1)(b+1)=98，

注意到98=2×72，則(c+1,b+1)可為(1,98)，(2,49)，(7,14)，(14,7)，(49,2)，(98,1)．

則(c,b)為(0,97)，(1,48)，(6,13)，(13,6