9.1.2余弦定理第1課時(shí)余弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能夠借助向量的運(yùn)算探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系,通過(guò)用向量推導(dǎo)余弦定理,提升邏輯推理素養(yǎng);2.掌握余弦定理及其變形形式,運(yùn)用余弦定理及變形求解三角形問(wèn)題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).◆知識(shí)點(diǎn)一余弦定理文字語(yǔ)言三角形任何一邊的等于其他兩邊的減去這兩邊與它們夾角的2倍

符號(hào)語(yǔ)言a2=,b2=,c2=

變形形式cosA=,cosB=,cosC=

【診斷分析】判斷下列說(shuō)法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)余弦定理反映了任意三角形邊角之間的關(guān)系,因此它適用于任何三角形. ()(2)在三角形中,勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例. ()(3)在△ABC中,已知A=60°,b=2,c=1,則a=3. ()◆知識(shí)點(diǎn)二利用余弦定理解三角形利用余弦定理主要解答如下兩種解三角形的問(wèn)題:(1)已知三角形的兩邊和一個(gè)角,求;

(2)已知三角形的三邊,求.

【診斷分析】判斷下列說(shuō)法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若b2+c2-a2=0,則A=90°. ()(2)在△ABC的六個(gè)元素中,已知任意三個(gè)元素可求其他元素. ()(3)在△ABC中,已知兩邊及夾角時(shí),△ABC不一定唯一. ()(4)若在三角形中,已知兩邊及一邊的對(duì)角,則這樣的三角形唯一確定. ()◆探究點(diǎn)一已知三角形兩邊及其一角解三角形例1在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,根據(jù)下列條件解三角形.(1)a=2,b=22,C=15°;(2)a=3,b=2,B=45°.變式在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,則BC=.

[素養(yǎng)小結(jié)]已知三角形兩邊及其一角解三角形有以下兩種情況:(1)已知兩邊和兩邊夾角,直接應(yīng)用余弦定理求出第三邊,然后根據(jù)邊角關(guān)系應(yīng)用正弦定理或余弦定理求解.(2)已知兩邊和一邊的對(duì)角,有兩種解法.解法一:利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程,運(yùn)用解方程的方法求出第三邊的長(zhǎng),這樣可免去判斷取舍的麻煩;解法二:直接運(yùn)用正弦定理,先求角再求邊,需討論.拓展在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若B=60°,最大邊與最小邊的邊長(zhǎng)之比為(3+1)∶2,求△ABC的最大角.◆探究點(diǎn)二已知三邊解三角形[探索]在前面我們所解的三角形問(wèn)題中,已知條件中都至少含有一個(gè)角,若已知三角形的三邊,能否解此三角形?你能給出具體解決方法嗎?

例2在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=3,b=7,c=2,求角B的大小.變式(1)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若(a+c)(a-c)=b(b+c),則角A的大小為.

(2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=7,b=8,c=5,求最大角與最小角的和.[素養(yǎng)小結(jié)]已知三角形的三邊解三角形的方法:(1)先利用余弦定理的變形形式求出其中兩個(gè)角的余弦值,從而求出兩個(gè)角,再利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.(2)利用余弦定理的變形形式求出三個(gè)角的余弦值,進(jìn)而求出三個(gè)角.◆探究點(diǎn)三判斷三角形的形狀例3(1)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若1-cosA1-cosB=(2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若2B=A+C,b2=ac,則△ABC的形狀為.

變式(1)已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1,3,a,則a的取值范圍是 ()A.(2,4) B.(2.5,3.5)C.(22,10) D.(22,4)(2)[2024·沈陽(yáng)二中高一月考]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a-ccosB=b-ccosA,則△ABC的形狀是 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形[素養(yǎng)小結(jié)]利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑①先化邊為角,再進(jìn)行三角恒等變換,求出三角之間的數(shù)量關(guān)系;②先化角為邊,再進(jìn)行代數(shù)恒等變換,求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系.1.在△ABC中,AB=2,BC=3,B=60°,則AC= ()A.5 B.7C.10 D.132.[2023·湖南常德臨澧一中高一期末]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若b2=ac且c=2a,則cosB= ()A.14 B.34 C.24 3.[2024·昆明一中高一月考]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=b=1,c=3,則△ABC的外接圓的面積為 ()A.2π B.3π C.π D.2π4.[2024·陜西咸陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b2-a2-c2=52ac,則△ABC的形狀是 (A.銳角三角形 B.