10.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義【課前預(yù)習(xí)】知識點一1.復(fù)平面實軸虛軸2.(1)Z(a,b)(2)(a,b)診斷分析1.(1)√(2)×(3)√[解析](2)如果復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第一象限,則與該復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的終點不一定在第一象限.(3)相等的向量的坐標(biāo)一定是相同的,故它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)也相等.2.D[解析]復(fù)平面內(nèi)的點(0,-2)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-2i,是純虛數(shù).知識點二1.(1)相等相反數(shù)共軛復(fù)數(shù)(2)a-bi(3)實軸對稱共軛復(fù)數(shù)2.長度a診斷分析1.(1)√(2)×(3)√[解析](1)設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),|z|=a2+(2)設(shè)z1=1+i=z2,則z1=1+i,z2=1-i,不滿足z1=z2=0(3)1-i的共軛復(fù)數(shù)為1+i.2.解:|z|表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(a,b)到原點的距離,是實數(shù).3.解:兩虛數(shù)不能比較大小,但它們的?？梢员容^大小,因為模是實數(shù)且大于等于零.【課中探究】探究點一探索1.解:根據(jù)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的實部和虛部確定復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(a,b),進而可確定其所在的位置.2.解:a>0且b>0.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點所在的位置,決定了復(fù)數(shù)實部、虛部的取值特征.例1解:(1)當(dāng)復(fù)數(shù)(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限時,m即m<3或m>5,-7<m<4,解得-7<(2)當(dāng)復(fù)數(shù)(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于x軸的負半軸上時,m即3<m<5,m=-7或m=4,解得(3)當(dāng)復(fù)數(shù)(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于y軸的正半軸上時,m即m=3或m=5,m<-7或m>4變式BC[解析]對于A,當(dāng)m=-1時,z=0,則z為實數(shù),故A錯誤;對于B,當(dāng)m=-2時,z=7,則z為實數(shù),故B正確;對于C,當(dāng)m=32時,z=-354+354i,則Z-354,354,則點Z在直線y=-x上,故C正確;對于D,由m2-4m-5<0,得-1<m<5,由m2+3m+2<0,得-2<m<-1,則不存在點Z在第三象限探究點二例2解:記O為坐標(biāo)原點,由題意得OA=(2,3),OB=(3,2),OC=(-2,-3).設(shè)OD=(x,y),則AD=(x-2,y-3),BC=(-5,-5),由題意知,AD=BC,則x-2=故點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3-2i.變式B[解析]由題可得,OA=(2,-3),OB=(-3,2),則BA=OA-OB=(2+3,-3-2)=(5,-5),所以向量BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5-5i.故選B.拓展(1)A(2)-1[解析](1)如圖,由題知OZ=(-1,1),OZ與x軸的正方向的夾角為3π4,繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π4后點Z到達x軸上的點Z1處,因為|OZ1|=|OZ|=2,所以點Z1的坐標(biāo)為(-2,0),所以O(shè)Z1對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2)因為向量OZ1對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2-i,向量OZ2對應(yīng)的復(fù)數(shù)是a-2i(a∈R),所以O(shè)Z1=(2,-1),OZ2=(a,-2),因為OZ1⊥OZ2探究點三例3(1)C(2)B[解析](1)因為z=-1+i,所以z=-1-i,所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-1,-1),位于第三象限.故選C.(2)因為z=z,所以z∈R,所以m2+3m+2=0,解得m=-1或m=-2.故選B.變式BC[解析]當(dāng)a=0,b=1時,z=i為純虛數(shù),故A錯誤;若z=z,則a+bi=a-bi,所以b=0,所以z是實數(shù),故B正確;易知C正確;由|z|=12,得a2+b2=14,又a+b=1,所以8a2-8a+3=0,因為Δ=64-4×8×3=-32<0,所以該方程無實數(shù)解,所以|z|不可能等于12,故D錯誤.探究點四例4解:(1)由題意可得|z1|=(3)2+12=2,|(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.因為|z|的幾何意義就是復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z到原點O的距離,所以|z|≥1表示以O(shè)為圓心,1為半徑的圓及其外部所有點組成的集合,|z|≤2表示以O(shè)為圓心,2為半徑的圓及其內(nèi)部所有點組成的集合,故符合題設(shè)條件的點Z的集合是以O(shè)為圓心,分別以1和2為半徑的兩圓之間的圓環(huán)(包含邊界),如圖中陰影部分所示.變式(1)C(2)3[解析](1)由2|z|2-7|z|+3=0,解得|z|=12或|z|=3.當(dāng)|z|=12時,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是以原點為圓心,半徑為12的圓;當(dāng)|z|=3時,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是以原點為圓心,半徑為3的圓.(2)由|z+2i|≤1,得|z-(-2i)|≤1,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z到復(fù)數(shù)-2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(0,-2)的距離不超過1,則點Z在以點(0,-2)為圓心,1為半徑的圓及其內(nèi)部,因為|z|表示點Z到原點的距離,所以|z|的最大值為(0-拓展解:在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1=1+22i,z2=22-i,z3=-3+6i,z4=-2-7i對應(yīng)的點分別為Z1(1,22),Z2(22,-1),Z3(-3,6),Z4(-2,-7),這4個點在同一個圓上.證明如下:設(shè)O為坐標(biāo)原點,∵|z1|=|OZ1|=12+(22)2=3,|z2|=|OZ2|=(22)2+(-1)2=3,|z3|=|OZ3|=(-3)2+(6)2=3,|【課堂評價】1.D[解析]∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在虛軸上,∴復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)或0,∴a2-2a=0,解得a=2或a=0.故選D.2.D[解析]因為|x-i|=|1-2i|,所以(x)2+(-1)2=12+(-2)2,所以x=4.故選D.3.B[解析]因為a+i與-1+bi互為共軛復(fù)數(shù),所以a=-1,b=-1,故選B.4.AB[解析]∵復(fù)數(shù)z=1+i,∴|z|=1+1=2,故A是真命題;z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,1),在第一象限,故B是真命題;z的虛部為1,故C是假命題;z的共軛復(fù)數(shù)為1-i,故D是假命題.故選AB.5.-6+8i[解析]設(shè)復(fù)數(shù)z=x