11.1.6祖暅原理與幾何體的體積1.C[解析]由題可知圓錐的高、底面半徑均為2,所以圓錐的體積為13×2×π×22=8π3.故選2.D[解析]V三棱錐A'-EFQ=V三棱錐Q-A'EF=13×12×EF×AA'×A'D'=163,所以三棱錐A'-EFQ的體積為定值,與點(diǎn)E,F,3.C[解析]由題意得棱臺(tái)的體積V1=13×9×(400+900+400×900)=5700(cm3).∵長(zhǎng)方體形凹槽是指長(zhǎng)方體去掉一個(gè)長(zhǎng)相等,寬和高分別為原長(zhǎng)方體一半的小長(zhǎng)方體,∴長(zhǎng)方體凹槽的體積是原長(zhǎng)方體體積的34,則長(zhǎng)方體形凹槽的體積V2=34×900×12=8100(cm3).∴這個(gè)斗的體積V=V1+V2=5700+8100=13800(cm3).4.B[解析]設(shè)原來(lái)球的半徑為R,則原來(lái)球的大圓面積S=4πR2,原來(lái)球的體積V=43πR3.設(shè)增大后球的半徑為R1,因?yàn)樵龃蠛笄虻拇髨A面積增大為原來(lái)的4倍,即增大后球的大圓面積S1=4S,所以16πR2=4πR12,即R1=2R,則增大后球的體積V1=43πR13=43π×8R3,又V1V=5.B[解析]設(shè)四棱錐P-ABCD的高為h,底面ABCD的面積為S,則V2=V三棱錐P-ABD=13×12Sh=16Sh.因?yàn)镃E=2EP,所以PE=13PC,所以V1=V三棱錐P-EBD=V三棱錐E-PBD=13V三棱錐C-PBD=13V三棱錐P-BCD=13×16Sh=118Sh,所以6.C[解析]如圖所示,設(shè)兩圓錐的頂點(diǎn)分別為A,B,連接AB,設(shè)底面圓的圓心為O1,球心為O,底面圓上一點(diǎn)為C,連接O1C,OC,則圓錐底面圓的半徑r=O1C,球的半徑R=OC=6.∵兩個(gè)圓錐的體積之和為球的體積的38,∴13πr2·AO1+13πr2·BO1=13πr2(AO1+BO1)=13πr2·2R=38×43πR3,化簡(jiǎn)得r2=34R2=27,則r=33.在Rt△OO1C中,OO1=OC2-O1C2=36-27=3,則兩個(gè)圓錐的高分別為AO1=R-7.C[解析]正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中,AB=3,A1B1=23,所以△ABC的面積為12×3×3×32=334,△A1B1C1的面積為12×23×23×32=33.設(shè)O,O1分別是△ABC,△A1B1C1的中心,D,D1分別是BC,B1C1的中點(diǎn),如圖所示,連接AD,A1D1,OO1,DD1,則A,O,D三點(diǎn)共線,A1,O1,D1三點(diǎn)共線,AD=AB×sinπ3=3×32=32,A1D1=A1B1×sinπ3=23×32=3,所以O(shè)D=13AD=12,O1D1=13A1D1=1,DD1=BB12-B1C1-BC22=22-23-322=132.過(guò)D作DE⊥A1D1,垂足為E,則DE∥OO1,8.BCD[解析]由已知及題圖知cos∠ADC=12且0°<∠ADC<90°,所以∠ADC=60°,故A錯(cuò)誤;圓臺(tái)的高h(yuǎn)=2×sin60°=3,所以圓臺(tái)軸截面ABCD的面積S=12×(2+4)×3=33(cm2),故B正確;圓臺(tái)的體積V=13×(π×12+π×12×22+π×22)×3=73π3(cm3),故C正確;將圓臺(tái)一半側(cè)面展開(kāi),如圖中環(huán)形ABCD,E為AD的中點(diǎn),而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐一半側(cè)面展開(kāi)為扇形COD且OC=4,又∠COD=2π4=π2,所以在Rt△COE中,CE=42+9.BC[解析]對(duì)于A,設(shè)三棱柱的底面積為S,高為h,則三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=Sh,因?yàn)镈,E,F分別是棱AB,BC,CA的中點(diǎn),所以S△DEF=14S,則三棱錐A1-DEF的體積為13×14Sh=112V,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,如圖①,因?yàn)锳F=12AC,DE∥AC,DE=12AC,所以DE∥AF,DE=AF,則四邊形ADEF為平行四邊形,所以S四邊形ADEF=12S,則VA1-ADEF=13×12Sh=16Sh,故B正確;對(duì)于C,如圖②,因?yàn)椤鰿EF∽△C1B1A1,且棱柱上、下底面平行,E,F分別是棱BC,CA的中點(diǎn),所以線段C1C,B1E,A1F的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn),則幾何體CEF-C1B1A1為三棱臺(tái),且S△CEF=14S,則VCEF-C1B1A1=13hS+14S+S·14S=712Sh=712V,所以VABEFA1B1=VABC-A1B1C1-VCEF-C1B1A1=V-712V=512V,故①②③10.48cm23233cm3[解析]設(shè)正四棱錐S-ABCD的高為h,斜高為h'.如圖所示,設(shè)O為正方形ABCD的中心,E為CD的中點(diǎn),連接SO,OE,SE.在Rt△SOE中,∠OSE=30°,OE=2cm,∴SO=23cm,SE=4cm,即h=23cm,h'=4cm,∴S表=4×12×4×4+4×4=32+16=48(cm2),V=13×4×4×23=11.8[解析]以四面體的各棱為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線,作出該長(zhǎng)方體,如圖所示.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z,則x2+y2=(13)2,y2+z2=(25)2,x2+z2=52,∴x=3,y=2,z=4.易知V三棱錐D-ABE=13DE·S△ABE=16V長(zhǎng)方體.同理V三棱錐C-ABF=V[點(diǎn)睛]三對(duì)對(duì)棱分別相等的四面體都可以補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,其中各棱均為長(zhǎng)方體各面的對(duì)角線.12.14[解析]如圖,∵D,E分別為PB,PC的中點(diǎn),∴S四邊形BDEC=34S△PBC,則S△BDE=13S四邊形BDEC=13×34S△PBC=14S△PBC.∵VP-ABC=VA-PBC=V2,VD-ABE=VA-BDE=V1,且三棱錐A-PBC與三棱錐A-BDE的高相等,∴13.解:(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,圓錐的母線長(zhǎng)為l,高為h1,則2πr=24π,故r=12,h1=20所以“籠具”的體積V=πr2h-13πr2h1=π·122×30(2)圓柱的側(cè)面積S1=2πrh=720π(cm2),圓柱的底面積S2=πr2=144π(cm2),圓錐的側(cè)面積S3=πrl=240π(cm2),故“籠具”的表面積S=S1+S2+S3=1104π(cm2).故制造50個(gè)這樣的“籠具”的總造價(jià)為1104π×50×8104=1104π2514.解:如圖所示,連接CA,則V幾何體C-EFGH=V-V四棱錐C-ABFE-V四棱錐C-ADHE,其中V是幾何體ABCD-EFGH的體積.因?yàn)锳E=1,BF=DH=2,CG=3,且?guī)缀误wABCD-EFGH是以正方形ABCD為底面的正四棱柱的一部分,所以幾何體ABCD-EFGH的體積V=(2)2×2=4.V四棱錐C-ABFE=13×S四邊形ABFE×BC=13×12(AE+BF)×AB×BC=16×(1+2)×同理得V四棱錐C-ADHE=1,所以V幾何體C-EFGH=V-V四棱錐C-ABFE-V四棱錐C-ADHE=4-1-1=2,即幾何體C-EFGH的體積為2.[點(diǎn)撥]求解不規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題,主要是將其分解為若干個(gè)“柱、錐、臺(tái)、球”的基本型,然后根據(jù)相關(guān)公式求解,還有很多的題在求解時(shí)主要應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想化不規(guī)則為規(guī)則,以“分割”“補(bǔ)形”為工具將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的幾何體.15.D[解析]開(kāi)始時(shí),沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高H=23×8=163(cm),底面圓的半徑r=23×4=83(cm),故細(xì)沙的體積V=13πr2H=π3×832×163=1024π81(cm3).當(dāng)細(xì)沙漏入下部后,圓錐形沙堆的底面半徑為4cm,設(shè)高為H'cm,則π3×42×H'16.解:(1)由題意可知,正三棱柱的底面積S△ABC=12×6×6×32=93,且高AA故VABC-A1B(2)如圖,過(guò)點(diǎn)V,C,C1作圓錐的軸截面VEF,分別交AB,A1B1于點(diǎn)M,N連接C1N,由題可知底面圓O是矩形ABB1A1的外接圓,連接VO,A1B.∵A1B=82+62=10,∴底面圓∵ON=12MN=4,O