11.3乘法公式（第2課時）

第11章

整式的乘除

華師大版2024·八年級上冊章節(jié)導讀學

習

目

標理解公式結構學生能準確寫出兩數(shù)和與兩數(shù)差的平方公式：理解公式中每一項的幾何或代數(shù)意義（如幾何模型中的面積關系）。，

應用公式計算能熟練運用公式展開具體數(shù)值或代數(shù)式的平方。能逆向運用公式將三項式化簡為完全平方形式解決實際問題能通過公式簡化復雜運算結合幾何問題（如正方形面積分割）或其他學科場景，解釋或應用公式。課堂導入學生快速計算以下算式：“小明要計算邊長為(a+b)的正方形面積，小紅要計算(a-b)2

的數(shù)值，誰能最快得出結果？”情境導入——速算挑戰(zhàn)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+a2如果用多項式乘以多項式計算較為復雜，還有其它方法嗎新知探究計算以下各組式子的值，觀察規(guī)律：①(1+2)2與12+2×1×2+22②(x+3)2與x2+2×x×3+32③(2a-1)2與(2a)2-2×2a×1+12關鍵提問：等式左右兩邊是否相同？（可以用多項式與多項式乘法）你能從特例中歸納出（a±b）2的展開式嗎？利用多項式乘多項式展開計算驗證新知探究代數(shù)推導（多項式乘法）1.和的平方（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b22.差的平方（a-b）2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2①為什么中間項是2ab而不是ab？②比較（a+b）2和（a-b）2的異同，符號規(guī)律是什么？邏輯驗證思考新知探究口訣：“首平方，尾平方，首尾二倍方中央”符號法則：同號加二倍，異號減二倍。對比記憶：公式結構化記憶類型公式展開關鍵點和的平方（a+b）2=a2+2ab+b2中間項為+2ab差的平方（a-b）2=a2-2ab+b2中間項為-2ab易錯警示：①漏掉“二倍”項（如寫成a2+ab+b2）②符號錯誤（如（a-b）2誤為a2-b2）典例分析

原式=（2y）2+2×2y×3+32=4y2+12y+9

原式=x2-2xy+x2+2xy+y2=2x2+y2典例分析例2

已知下列算式：①(a3)3=a6；②2m·3n=6m+n；③-a2·(-a)3=a5；④(b-a)2=a2-b2+2ab．其中計算結果正確的有（

）A.3個B.2個C.1個D.0個C根據(jù)冪的乘方(a3)3=a9，故①錯誤(b-a)2=a2+b2-2ab，故④錯誤不是同底數(shù)冪，指數(shù)也不相同，故②錯誤典例分析例3已知x2+y2=20，xy=2，則x-y的值為_______．±14本題主要考查了利用完全平方公式變形求代數(shù)式的值，由（x-y）2=x2+y2-2xy，可得：（x-y）2=16，即可求得結果為±4解：（x-y）2=x2+y2-2xy∵x2+y2=20，xy=2，∴（x-y）2=20-2×2=16∵（±4）2=16∴x-y=±14典例分析

將99化為（100-1），將101化為（100+1），正好構造成平方差公式，再利用公式計算即可

解：（1）1002-99×101=1002-（100-1）×（100+1）=1002-1002+1=1

變式訓練如圖所示，將甲圖中陰影部分無重疊、無縫隙地拼成乙圖，根據(jù)兩個圖中陰影部分的面積關系得到的等式是（

）BA.a2-b2=(a+b)(a-b)

B.a2-2ab+b2=(a-b)2

C.(a+b)2-4ab=(a-b)2D.a2+2ab+b2=(a+b)2變式訓練若關于的二次三項式4x2+(m+1)x+1是完全平方式，則m的值為（

）解：∵4x2+（m+1）x+1是一個完全平方式∴m+1=±4解得：m=3或m=-5D本題考查完全平方式，對于一個具有若干個簡單變元的整式A，如果存在另一個整式，使A=B2，則稱A是完全平方式，利用完全平方公式的結構判斷即可。A.-5B.-3C.-3或5D.-5或3變式訓練設M=2a2+5a-5，N=3a2+a-1，其中a為實數(shù)，則M與N的大小關系是

______解：∵M=2a2+5a-5，N=3a2+a-1∴N-M=3a2+a-1-(2a2+5a-5)=3a2+a-1-2a2-5a+5=a2-4a+4=（a-2）2≥0∴N≥M，即M≤N本題主要考查了整式的大小比較，完全平方式的應用，利用作差法求N-M，進而根據(jù)結果即可判斷求解。M≤N課堂練習1．下列計算正確的是（

）A.x8÷x4=x2

B.（x-y）2=x2-y2

C.(-x2y3)2=-x4y6

D.x3·x4=x7基礎鞏固題D利用同底數(shù)冪的除法：x8÷x4=x4，故A選項錯誤（x-y）2=x2-2xy+y2

，故B選項錯誤

(-x2y3)2=x4y6，故C選項錯誤課堂練習2．如圖，根據(jù)標注，該圖可驗證的乘法公式是（

）CA.m2-n2=(m+n)(m-n)

B.m2+2nm+n2=(m+n)2

C.(m-n)2=m2-2mn+n2D.(m-n)2+4mn=(m+n)2課堂練習3.如果把一個正方形的一組對邊加長4cm，再把另一組對邊減少4cm，這時得到的長方形的面積與原正方形的邊長減少2cm后的正方形的面積相等，原正方形的面積為（

）設原正方形的邊長為xcm，則所得到的長方形的長為（x+m）cm，寬為（x-4）cm，根據(jù)面積相等列方程求解解：設原正方形的邊長為xcm，則所得到的長方形的長為（x+m）cm，寬為（x-4）cm，所得的正方形的邊長為（x-2）cm根據(jù)題意得,(x+4)(x-4)=(x-2)2,整理，得x2-16=x2-4x+4即4x=20，解得x=5，所以x2=52=25D課堂練習4．化簡求值：（a-b）2+（a+b）(a-b)-2a(a-2b)，其中a=2025,b=-1基礎鞏固題此題考查了整式的混合運算中化簡求值，原式利用完全平方式以及平方差公式化簡，去括號合并得到最簡的結果，將a與b的值代入計算即可求解值解：（a-b）2+（a+b）（a-b）-2a（a-2b）=a2-2ab+b2+a2-b2-2a2+4ab=2ab當a=2025，b=-1時，原式=2×2025×（-1）=-4050課堂練習5．已知（a-b）2=7，（a+b）2=13，求a2+b2和ab的值．解：∵（a-b）2=7，（a+b）2=13∴a2+b2-2ab=7①，a2+b2+2ab=13②①+②，得：2（a2+b2）=7+13∴a2+b2=10∴7=a2+b2-2ab=10-2ab，∴ab=1.5根據(jù)完全平方公式將已知轉為a2+b2-2ab