9.1.1簡單隨機(jī)抽樣第九章統(tǒng)計(jì)人工智能的本質(zhì)就是統(tǒng)計(jì)學(xué)。多年來，許多諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者大多使用的是統(tǒng)計(jì)學(xué)。學(xué)好統(tǒng)計(jì)這門工具，才能帶來新時(shí)代的突破。任正非：中國婦女兒童狀況統(tǒng)計(jì)資料2022年各省高中近視排名2022浙江省高中生近視率86.5%

統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)來認(rèn)識未知現(xiàn)象的一門科學(xué)，它可以為人們制定決策提供依據(jù)。統(tǒng)計(jì)中數(shù)據(jù)分析的過程如下：收集數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)提取信息構(gòu)建模型進(jìn)行推斷獲得結(jié)論？準(zhǔn)確掌握全國的人口數(shù)據(jù)，可以為科學(xué)制定國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展規(guī)劃及其他方針政策提供依據(jù).2020年，我國進(jìn)行了第七次人口普查，對全國人口普遍地、逐戶逐人地進(jìn)行一次性調(diào)查登記.調(diào)查內(nèi)容包括每位居民的姓名、性別、年齡、民族、受教育程度等.這里居民為調(diào)查對象，而居民的性別、年齡、民族、受教育程度等是要調(diào)查的指標(biāo).人口普查哪吒2觀眾年齡分布25歲以下

約占42%25~40歲

約占36.8%40歲以上

約占21.2%思考1：人口普查的數(shù)據(jù)與哪吒2觀眾年齡分布的數(shù)據(jù)是如何獲得的？

像人口普查這樣，對每一個(gè)調(diào)查對象都進(jìn)行調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又叫普查.

個(gè)體

組成總體的每一個(gè)調(diào)查對象

為了強(qiáng)調(diào)調(diào)查目的，也可以把調(diào)查對象的某些指標(biāo)的全體作為總體，每一個(gè)調(diào)查對象的相應(yīng)指標(biāo)作為個(gè)體.總體：個(gè)體：

全國所有居民

每一個(gè)居民

全國所有居民的性別、年齡等.

每一個(gè)居民的性別、年齡等.普查總體

調(diào)查對象的全體抽樣調(diào)查

根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查.樣本

總體中抽取的那部分個(gè)體樣本容量

樣本中包含的個(gè)體數(shù)樣本數(shù)據(jù)

調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測數(shù)據(jù)兩種基本的抽樣方法——簡單隨機(jī)抽樣分層隨機(jī)抽樣思考2：你能舉出生活中使用它們進(jìn)行調(diào)查的例子嗎？

它們分別有什么好處？方式優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)適用場景普查抽樣調(diào)查全面、準(zhǔn)確性高花費(fèi)少，效率高工作量大，時(shí)間長耗人力、物力、財(cái)力獲得的信息不夠全面對象很少時(shí)對象很多，或檢驗(yàn)對對象具有破壞性問題

1

既然抽樣調(diào)查的目的是為了了解總體的情況,

那么抽取的樣本應(yīng)該具有什么特點(diǎn)?

你能否用實(shí)例說明?實(shí)例：假設(shè)你作為一名食品衛(wèi)生監(jiān)督人員,

要對某食品店內(nèi)的一批待售袋裝牛奶的細(xì)菌數(shù)是否超標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn),

你該如何抽樣?抽取的樣本數(shù)據(jù)能很好地反映總體情況——用樣本估計(jì)總體問題

2:如何科學(xué)地抽取樣本？怎樣使抽取的樣本充分地反映總體的情況？1936年進(jìn)行了美國總統(tǒng)的選舉，當(dāng)時(shí)電話和汽車只有少數(shù)富人擁有。在美國總統(tǒng)選舉前，一份頗有名氣的雜志的工作人員做了一次民意調(diào)查，調(diào)查蘭頓和羅斯福誰將當(dāng)選下一屆總統(tǒng),為了了解公眾意向，調(diào)查者通過電話薄和車輛登記薄上的名單給一大批人發(fā)了調(diào)查表，通過分析收回的調(diào)查表，顯示蘭頓非常受歡迎。于是此雜志社預(yù)測蘭頓將在選舉中獲勝。實(shí)際選舉結(jié)果正好相反，最后羅斯福在選舉中獲勝，其數(shù)據(jù)如下：候選人預(yù)測結(jié)果實(shí)際結(jié)果蘭頓57%38%羅斯福43%62%

問題

2:如何科學(xué)地抽取樣本？怎樣使抽取的樣本充分地反映總體的情況？客觀、公平每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等探究：假設(shè)口袋中有紅色和白色共1000個(gè)小球，除顏色外，小球的大小、質(zhì)地完全相同，你能通過抽樣調(diào)查的方法估計(jì)袋中紅球所占的比例嗎？總體：袋中所有小球個(gè)體：每一個(gè)小球變量：小球的顏色

我們可以從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回，搖勻后再摸出一個(gè)球,如此重復(fù)n次。根據(jù)初中的概率知識可知，隨著摸球次數(shù)的增加，摸到紅球的頻率會逐漸穩(wěn)定于摸到紅球的概率，即口袋中紅球所占的比例。因此，我們可以通過放回摸球，用頻率估計(jì)出紅球的比例.思考1:

如何保證每個(gè)球被抽到的機(jī)會是均等的？放回隨機(jī)抽樣：各次抽樣的結(jié)果互相不受影響,產(chǎn)生極端樣本的可能性較大，同一個(gè)小球有可能被摸中多次,極端情況是每次摸到同一個(gè)小球,而被重復(fù)摸中的小球只能提供同一個(gè)小球的顏色信息。不放回隨機(jī)抽樣：同一個(gè)體不會被重復(fù)抽到,產(chǎn)生極端樣本的可能性要小,但各次抽樣結(jié)果之間不獨(dú)立,統(tǒng)計(jì)分析困難一些。思考2:

有放回摸球和不放回摸球，哪個(gè)摸球方式更好？簡單隨機(jī)抽樣定義：

一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N（N為正整數(shù)）個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n（1≤n<N）個(gè)個(gè)體作為樣本，

如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機(jī)抽樣．

如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機(jī)抽樣．

放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機(jī)抽樣．通過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本．思考：簡單隨機(jī)抽樣有什么特點(diǎn)？1．總體的個(gè)體數(shù)有限；樣本數(shù)n小于等于樣本總體的個(gè)數(shù)N；2．樣本的抽取是逐個(gè)進(jìn)行的，每次只抽取一個(gè)個(gè)體；3．每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會都相等，抽樣具有公平性．

不放回簡單隨機(jī)抽樣的效率更高．

因此實(shí)踐中人們更多采用不放回簡單隨機(jī)抽樣．除非特殊說明，本章所稱的簡單隨機(jī)抽樣指不放回簡單隨機(jī)抽樣．

從總體中，逐個(gè)不放回地隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本，一次性批量隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本，兩種方法是等價(jià)的．問題

一家家具廠要為樹人中學(xué)高一年級制作課桌椅，他們事先想了解全體高一年級的平均身高，以便設(shè)定可調(diào)節(jié)課桌椅的標(biāo)準(zhǔn)高度。已知樹人中學(xué)高一年級有712名學(xué)生，如果要通過簡單隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查高一年級學(xué)生的平均身高，應(yīng)該怎樣抽取樣本？在這個(gè)抽樣中，總體、個(gè)體、變量分別是什么？總體是樹人中學(xué)全部高一年級的學(xué)生個(gè)體是每一位學(xué)生變量是學(xué)生的身高思考：你能把生活中經(jīng)常用到的抽簽法數(shù)學(xué)化嗎?(1)給712名學(xué)生編號，例如1~712進(jìn)行編號；(2)把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號簽，并將這些小紙片放在一個(gè)不透明的盒里，充分?jǐn)嚢瑁?3)

從盒中不放回地逐個(gè)抽取號簽，使與號簽上的編號對應(yīng)的學(xué)生進(jìn)入樣本，直到抽足樣本所需要的人數(shù).抽簽法追問1為什么要給學(xué)生編號？編號用學(xué)號可以嗎？注意

(1)編號是為了將每名學(xué)生能明確區(qū)分開.給學(xué)生編號時(shí)，可用用學(xué)號作為編號，因?yàn)閷W(xué)號與學(xué)生之間也是一一對應(yīng)的.(2)編號產(chǎn)生的隨機(jī)性實(shí)現(xiàn)個(gè)體抽取的隨機(jī)性.

追問2

抽簽法的步驟是什么？1．編號：將總體中的所有個(gè)體編號；2．制簽：并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；

將號簽放在一個(gè)不透明容器中，并攪拌均勻．3．取樣：每次從中不放回抽取一個(gè)號簽，直到抽取到足夠的樣本量．優(yōu)點(diǎn)：簡單易行，當(dāng)總體個(gè)數(shù)不多時(shí),號簽攪拌均勻很容易，個(gè)體有均等的機(jī)會被抽中，從而能保證樣本的代表性.缺點(diǎn)：當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí),號簽很難攪拌均勻，產(chǎn)生的樣本代表性差的可能性很大.追問3抽簽法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？抽簽法一般適用于總體中個(gè)體數(shù)不多的情形追問4抽簽法的實(shí)質(zhì)是什么？你能想辦法彌補(bǔ)抽簽法的不足嗎？抽簽法的實(shí)質(zhì)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)地、等可能地產(chǎn)生的一組有實(shí)際背景的數(shù).

抽簽法有簡單化、程序化、機(jī)械化等特點(diǎn).

根據(jù)抽簽法的實(shí)質(zhì),

如果能從事先準(zhǔn)備好的、隨機(jī)產(chǎn)生的一列數(shù)即隨機(jī)數(shù)表中抽取不大于總體容量的數(shù),

那么就能用隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)來代替抽簽的過程與方法,

并且這個(gè)隨機(jī)數(shù)表可以用于其他場合的抽簽.

隨機(jī)數(shù)法步驟

1．編號：將總體中的所有個(gè)體編號；2．選號：用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生編號范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)；3．取樣：把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號（位數(shù)一致），使與編號對應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本．注：如果生成的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，即同一編號被多次抽到，只保留第一次，其余全部剔除，再重新產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，直到抽足樣本所需要的人數(shù)隨機(jī)數(shù)法一般適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情形

解：162，277,545，354,520，384,

263,

491,648，642.①把握隨機(jī)數(shù)表產(chǎn)生的特點(diǎn):

只要是隨機(jī)的、等可能的,

怎樣產(chǎn)生都行.

問題

:如何生產(chǎn)隨機(jī)數(shù)?②隨機(jī)數(shù)表的種產(chǎn)生方法:

用隨機(jī)試驗(yàn)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),用信息技術(shù)生產(chǎn)隨機(jī)數(shù)用隨機(jī)試驗(yàn)生成隨機(jī)數(shù)

準(zhǔn)備10個(gè)大小質(zhì)地一樣的小球，小球上分別寫上數(shù)字0,1,…9，放在不透明盒子中，當(dāng)編號是三位的時(shí)候，有放回抽取3次，抽前充分?jǐn)嚢瑁谝?、二、三次號作摸到?shù)字分別作為百、十、個(gè)位數(shù)。這樣產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)可能會有重復(fù).

如果生成的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，即同一編號被多次抽到，可以剔除重復(fù)的編號并重新產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編號個(gè)數(shù)等于樣本所需要的人數(shù).追問：如果生成的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，該如何解決？練習(xí)

如圖，由均勻材質(zhì)制成的一個(gè)正20面體(每個(gè)面都是正三角形)，將20個(gè)面平分成10組，第1組標(biāo)上0，第2組標(biāo)上1，???，第10組標(biāo)上9.

(1)投擲正20面體，若把朝上一面的數(shù)字作為投擲結(jié)果，則出現(xiàn)0,1,2,???,9是等可能的嗎?

(2)三個(gè)正20面體分別涂上紅、黃、藍(lán)三種顏色，分別代表百位、十位、個(gè)位，同時(shí)投擲可以產(chǎn)生一個(gè)三位數(shù)(百位為0的也看作三位數(shù))，它是000~999范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)嗎?

進(jìn)入計(jì)算器的計(jì)算模式(不同的計(jì)算器型號可能會有不同)，調(diào)出生成隨機(jī)數(shù)的函數(shù)并設(shè)置參數(shù)，例如RandInt，按“=”鍵即可生成1—712范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù).重復(fù)按“=”鍵，可以生成多個(gè)隨機(jī)數(shù).這樣產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)可能會有重復(fù).random隨機(jī)的integer整數(shù)

用信息技術(shù)生成隨機(jī)數(shù)①用計(jì)算器生成隨機(jī)數(shù)解：記[0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù)為r.設(shè)b為712r+1的整數(shù)部分，則b就是1~712范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù).設(shè)a為100r+1的整數(shù)部分，則a就是1~100范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù).練習(xí).如果計(jì)算器只能生成[0，1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，你有辦法把它轉(zhuǎn)化為1~100范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)嗎？轉(zhuǎn)化為1~712范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)呢?②用電子表格軟件生成隨機(jī)數(shù)

在電子表格軟件的任意單元格中輸入“=RANDBETWEEN(1，712)”，即可生成一個(gè)1—712范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù).再利用電子表格軟件的自動填充功能，可以快速生成大量的隨機(jī)數(shù).③用R統(tǒng)計(jì)軟件生成隨機(jī)數(shù)

在R軟件的控制臺中，輸入“sample(1:712，50，replace=F)”，按回車鍵，就可以得到50個(gè)1～712范圍內(nèi)的不重復(fù)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)(如右圖).一般的抽簽軟件，專業(yè)的統(tǒng)計(jì)軟件，如：SAS,SPSS,S-Plus,State等;綜合性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)軟件，如：Python，MATLAB,Mathematica,GeoGebra等.思考：比較隨機(jī)數(shù)法與抽簽法，它們各有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？抽樣方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)抽簽法簡單易行總體量較大時(shí)，制作號簽成本高，“均勻攪拌”困難.隨機(jī)數(shù)法方便、快捷、效率高，可節(jié)省成本.隨機(jī)試驗(yàn)和部分軟件可能會產(chǎn)生重復(fù)隨機(jī)數(shù)，需要剔除重復(fù)編號并重新產(chǎn)生.問題：用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，樣本量是否越大越好？用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣木，樣本量越大，結(jié)果越準(zhǔn)確。一般來說，樣本量大的要比樣本量小的好，增加樣本量可以較好地提高估計(jì)的效果.但在實(shí)際情況中，樣本量會導(dǎo)致人力、費(fèi)用、時(shí)間等成本的增加.抽樣調(diào)查中樣本量的選擇要根據(jù)實(shí)際問題的需要,在精度和費(fèi)用兩者間進(jìn)行權(quán)衡，并不一定是越大越好.問題延伸

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在樹人中學(xué)高一年級的712名學(xué)生中，男生有326名，女生有386名，調(diào)查高一年級學(xué)