數(shù)分題庫及答案一、單項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)在區(qū)間\((0,1)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=\sinx\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\lnx\)答案：C2.極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.2D.不存在答案：B3.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點(diǎn)為（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)答案：A4.設(shè)\(f(x)\)為可導(dǎo)函數(shù)，且\(f^\prime(1)=2\)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B5.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.2答案：A6.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)的和為（）A.\(\frac{\pi^2}{6}\)B.\(\frac{\pi}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.1答案：A7.設(shè)\(f(x)\)是奇函數(shù)，\(g(x)\)是偶函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A.\(f(x)g(x)\)B.\(f(x)+g(x)\)C.\(f(g(x))\)D.\(g(f(x))\)答案：A8.曲線\(y=x^3-3x^2+2x\)的拐點(diǎn)為（）A.\((1,0)\)B.\((2,0)\)C.\((\frac{1}{2},\frac{3}{8})\)D.\((\frac{3}{2},\frac{1}{8})\)答案：A9.若\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則在區(qū)間\([a,b]\)上（）A.\(f(x)\)恒為0B.\(f(x)\)至少有一個(gè)零點(diǎn)C.\(f(x)\)不一定為0D.\(f(x)\)恒大于0答案：C10.設(shè)\(f(x)\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，且\(f(0)=0\)，\(f^\prime(0)=2\)，則\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\)的值為（）A.0B.1C.2D.不存在答案：C二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)在\(x=0\)處連續(xù)的有（）A.\(f(x)=\begin{cases}x,x\geq0\\-x,x\lt0\end{cases}\)B.\(f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},x\neq0\\1,x=0\end{cases}\)C.\(f(x)=\begin{cases}x^2,x\geq0\\2x,x\lt0\end{cases}\)D.\(f(x)=\begin{cases}e^x,x\geq0\\1+x,x\lt0\end{cases}\)答案：ABC2.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，則下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)B.\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a-h)-f(a)}{h}\)C.\(\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)D.\(\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x+a)-f(a)}{x}\)答案：AC3.下列廣義積分收斂的有（）A.\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx\)B.\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)C.\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx\)D.\(\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx\)答案：CD4.下列級(jí)數(shù)收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)答案：BCD5.設(shè)\(f(x)\)，\(g(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)B.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）C.\(\int_{a}^f(x)g(x)dx=(\int_{a}^f(x)dx)(\int_{a}^g(x)dx)\)D.若\(f(x)\geqg(x)\)，則\(\int_{a}^f(x)dx\geq\int_{a}^g(x)dx\)答案：ABD三、判斷題1.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)。（）答案：√2.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上有界，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積。（）答案：×3.若級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)。（）答案：√4.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。（）答案：√5.若\(f(x)\)在\(x=a\)處取得極值，則\(f^\prime(a)=0\)。（）答案：×6.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)。（）答案：×7.若\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為0。（）答案：×8.若級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)發(fā)散，則\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n\neq0\)。（）答案：√9.若\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增，則\(f^\prime(x)\gt0\)在\((a,b)\)內(nèi)恒成立。（）答案：×10.若\(\int_{a}^|f(x)|dx=0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為0。（）答案：√四、簡答題1.簡述函數(shù)連續(xù)的定義。答案：如果函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量\(x\)趨近于\(x_0\)時(shí)，函數(shù)值\(f(x)\)趨近于\(f(x_0)\)，即\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)，則稱函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)。2.說明羅爾定理的內(nèi)容。答案：如果函數(shù)\(f(x)\)滿足在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即\(f(a)=f(b)\)，那么在\((a,b)\)內(nèi)至少存在一點(diǎn)\(\xi\)，使得\(f^\prime(\xi)=0\)。3.解釋定積分的幾何意義。答案：定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)在幾何上表示由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)以及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形的面積。當(dāng)\(f(x)\geq0\)時(shí)，定積分的值為該曲邊梯形的面積；當(dāng)\(f(x)\leq0\)時(shí)，定積分的值為該曲邊梯形面積的相反數(shù)；當(dāng)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上有正有負(fù)時(shí)，定積分的值為\(x\)軸上方的曲邊梯形面積減去\(x\)軸下方的曲邊梯形面積。4.簡述冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的求法。答案：對(duì)于冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)，設(shè)\(\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho\)，當(dāng)\(\rho\neq0\)時(shí)，收斂半徑\(R=\frac{1}{\rho}\)；當(dāng)\(\rho=0\)時(shí)，\(R=+\infty\)；當(dāng)\(\rho=+\infty\)時(shí)，\(R=0\)。五、討論題1.討論函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。答案：如果函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)\(f^\prime(x)\gt0\)時(shí)，函數(shù)\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)\(f^\prime(x)\lt0\)時(shí)，函數(shù)\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)\(f^\prime(x)=0\)時(shí)，函數(shù)\(f(x)\)在該點(diǎn)可能取得極值或?yàn)槌?shù)函數(shù)。例如\(f(x)=x^3\)，\(f^\prime(x)=3x^2\)，在\((-\infty,0)\)上\(f^\prime(x)\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增，在\((0,+\infty)\)上\(f^\prime(x)\gt0\)，函數(shù)也單調(diào)遞增。2.討論級(jí)數(shù)收斂的必要條件及其應(yīng)用。答案：級(jí)數(shù)收斂的必要條件是\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)。應(yīng)用此條件可以判斷某些級(jí)數(shù)發(fā)散，若\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n\neq0\)，則級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)發(fā)散。例如\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1\neq0\)，所以該級(jí)數(shù)發(fā)散。但此條件不是充分條件，即\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)時(shí)，級(jí)數(shù)不一定收斂。3.討論定積分的換元法及其注意事項(xiàng)。答案：定積分的換元法是將積分變量進(jìn)行替換，從而將復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)化為簡單的積分。設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，令\(x=\varphi(t)\)，滿足\(\varphi(\alpha)=a\)，\(\varphi(\beta)=b\)，且\(\varphi(t)\)在\([\alpha,\beta]\)（或\([\beta,\alpha]\)）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi^\prime(t)dt\)。注意事項(xiàng)：換元后積分上下限要相應(yīng)改變；換元函數(shù)\(\varphi(t)\)在\([\alpha,\beta]\)（或\([\beta,\alpha]\)）上要單調(diào)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；換元后被積函數(shù)要正確表示。例如計(jì)算\(\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^2}dx\)，令\(x=\sint\)，則積分變?yōu)閈(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sint\cost\cdot\costdt\)。4.討論函數(shù)的極值點(diǎn)與最值點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系。答案：極值點(diǎn)是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性