三角函數(shù)測試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)答案：B2.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：C3.若\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值為（）A.3B.\(\frac{1}{3}\)C.2D.\(\frac{1}{2}\)答案：A4.函數(shù)\(y=\cos(2x+\frac{\pi}{3})\)的對(duì)稱軸方程為（）A.\(x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6},k\inZ\)B.\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6},k\inZ\)C.\(x=k\pi-\frac{\pi}{6},k\inZ\)D.\(x=k\pi+\frac{\pi}{6},k\inZ\)答案：A5.\(\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)答案：B6.已知\(\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{3}\)，則\(\sin(\frac{5\pi}{6}-\alpha)\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(-\frac{1}{3}\)C.\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)D.\(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)答案：A7.函數(shù)\(y=\tanx\)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性是（）A.在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增B.在整個(gè)定義域上單調(diào)遞減C.在每一個(gè)開區(qū)間\((-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi),k\inZ\)上單調(diào)遞增D.在每一個(gè)開區(qū)間\((-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi),k\inZ\)上單調(diào)遞減答案：C8.若\(\sin\alpha=\frac{m-3}{m+5}\)，\(\cos\alpha=\frac{4-2m}{m+5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(m\)的值為（）A.0B.8C.0或8D.3答案：B9.函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0)\)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為\((\frac{\pi}{12},2)\)，相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為\((\frac{7\pi}{12},-2)\)，則\(\omega\)的值為（）A.2B.4C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{4}\)答案：A10.已知\(\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，則\(\sin2\alpha\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列關(guān)于三角函數(shù)的說法正確的是（）A.\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)B.\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)C.\(\tan(-\alpha)=-\tan\alpha\)D.\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta\)答案：ABC2.以下哪些函數(shù)的最小正周期是\(\pi\)（）A.\(y=\sin2x\)B.\(y=\cos2x\)C.\(y=\tan2x\)D.\(y=\sin(x+\frac{\pi}{2})\)答案：AB3.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\alpha\)可能的值為（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{5\pi}{6}\)C.\(\frac{13\pi}{6}\)D.\(\frac{17\pi}{6}\)答案：ABCD4.函數(shù)\(y=\sinx\)的圖象可以通過以下哪些變換得到函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的圖象（）A.先向左平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮小為原來的\(\frac{1}{2}\)B.先將橫坐標(biāo)縮小為原來的\(\frac{1}{2}\)，再向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位C.先向右平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮小為原來的\(\frac{1}{2}\)D.先將橫坐標(biāo)縮小為原來的\(\frac{1}{2}\)，再向右平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位答案：AB5.已知\(\alpha\)為銳角，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則（）A.\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)B.\(\tan\alpha=\frac{3}{4}\)C.\(\sin2\alpha=\frac{24}{25}\)D.\(\cos2\alpha=\frac{7}{25}\)答案：ABC6.下列函數(shù)中，奇函數(shù)是（）A.\(y=\sinx\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\tanx\)D.\(y=\sin(x+\frac{\pi}{2})\)答案：AC7.對(duì)于函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0)\)，以下說法正確的是（）A.\(A\)決定函數(shù)的振幅B.\(\omega\)決定函數(shù)的周期C.\(\varphi\)決定函數(shù)的初相D.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((\frac{k\pi-\varphi}{\omega},0),k\inZ\)對(duì)稱答案：ABCD8.若\(\tan\alpha=3\)，則（）A.\(\sin\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}\)B.\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}\)C.\(\sin2\alpha=\frac{3}{5}\)D.\(\cos2\alpha=-\frac{4}{5}\)答案：CD9.函數(shù)\(y=\cosx\)在區(qū)間\([0,2\pi]\)上的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\([0,\pi]\)B.\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)C.\([\pi,2\pi]\)D.\([0,\frac{\pi}{2}]\)和\([\frac{3\pi}{2},2\pi]\)答案：AB10.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，\(\alpha\in(0,\pi)\)，則（）A.\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)B.\(\cos\alpha=-\frac{3}{5}\)C.\(\tan\alpha=-\frac{4}{3}\)D.\(\sin2\alpha=-\frac{24}{25}\)答案：ABCD三、判斷題1.\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)（）答案：對(duì)2.函數(shù)\(y=\sinx\)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（）答案：對(duì)3.\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\)（）答案：對(duì)4.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x|x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\inZ\}\)（）答案：對(duì)5.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)（）答案：錯(cuò)6.函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)的最大值是\(A\)（）答案：錯(cuò)（當(dāng)\(A<0\)時(shí)，最大值是\(-A\)）7.\(\cos2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha\)（）答案：對(duì)8.函數(shù)\(y=\sinx\)在區(qū)間\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)上單調(diào)遞減（）答案：對(duì)9.\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，\(\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\inZ\)（）答案：對(duì)10.函數(shù)\(y=\cos(x+\frac{\pi}{2})=\sinx\)（）答案：錯(cuò)（\(y=\cos(x+\frac{\pi}{2})=-\sinx\)）四、簡答題1.簡述三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的記憶方法。答案：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”?！捌孀兣疾蛔儭敝傅氖?，對(duì)于形如\(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\)，\(\pi\pm\alpha\)等形式，若\(\frac{\pi}{2}\)的倍數(shù)是奇數(shù)，則函數(shù)名改變（正弦變余弦，余弦變正弦等），若倍數(shù)是偶數(shù)則函數(shù)名不變?！胺?hào)看象限”是把\(\alpha\)看作銳角，看原函數(shù)在相應(yīng)象限的符號(hào)，從而確定誘導(dǎo)公式的符號(hào)。2.求函數(shù)\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)的單調(diào)遞增區(qū)間。答案：令\(z=2x-\frac{\pi}{3}\)，函數(shù)\(y=\sinz\)的單調(diào)遞增區(qū)間是\([-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi],k\inZ\)。則\(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi\)，\(k\inZ\)。解這個(gè)不等式可得：\(-\frac{\pi}{12}+k\pi\leqx\leq\frac{5\pi}{12}+k\pi\)，\(k\inZ\)。所以函數(shù)\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)的單調(diào)遞增區(qū)間是\([-\frac{\pi}{12}+k\pi,\frac{5\pi}{12}+k\pi],k\inZ\)。3.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\)是第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案：因?yàn)閈(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，則\(\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-(\frac{1}{3})^{2}=\frac{8}{9}\)。又因?yàn)閈(\alpha\)是第二象限角，\(\cos\alpha<0\)，所以\(\cos\alpha=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}\)。4.簡述\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)中\(zhòng)(A\)、\(\omega\)、\(\varphi\)的物理意義。答案：\(A\)稱為振幅，它表示函數(shù)振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大距離，決定了函數(shù)圖象的縱向拉伸程度；\(\omega\)決定函數(shù)的周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，影響函數(shù)的變化快慢，\(\omega\)越大，周期越小，函數(shù)變化越快；\(\varphi\)稱為初相，它決定了\(x=0\)時(shí)函數(shù)的初始狀態(tài)，即函數(shù)圖象在\(x=0\)處的相位。五、討論題1.討論三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用。答案：三角函數(shù)在物理學(xué)中有廣泛應(yīng)用。在簡諧振動(dòng)中，位移隨時(shí)間的變化關(guān)系常用正弦或余弦函數(shù)描述，比如彈簧振子的位移\(x=A\sin(\omegat+\varphi)\)，\(A\)是振幅，\(\omega\)決定振動(dòng)頻率，\(\varphi\)是初相。在交流電中，電流、電壓隨時(shí)間變化也符合三角函數(shù)規(guī)律。在力學(xué)里，力的分解與合成也會(huì)用到三角函數(shù)知識(shí)，將一個(gè)力分解為相互垂直方向的分力，通過三角函數(shù)來計(jì)算分力大小，從而分析物體受力情況。2.如何利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問題？舉例說明。答案：首先要明確實(shí)際問題中的變量關(guān)系，然后建立三角函數(shù)模型。比如在測量建筑物高度問題中，若在距離建筑物一定距離處測量仰角，設(shè)距離為\(d\)，仰角為\(\alpha\)，建筑物高度\(h=d\tan\alpha\)。利用三角函數(shù)圖象的單調(diào)性可分析變量的變化趨勢，利用周期性可處理具有周期變化的現(xiàn)象，如潮汐現(xiàn)象，通過建立三角函數(shù)模型分析其漲落規(guī)律，從而為港口作業(yè)等提供依據(jù)。3.討論三角函數(shù)的和差公式與二倍角公式之間的聯(lián)系。答案：三角函數(shù)的和差公式\