PAGE1PAGE2專題13規(guī)律探索與邏輯推理（解析版）1．（2025·安徽·中考真題）對于正整數(shù)n，根據(jù)n除以3的余數(shù)，分以下三種情況得到另一個正整數(shù)m：若余數(shù)為0．則；若余數(shù)為1，則；若余數(shù)為2，則．這種得到m的過程稱為對n進行一次“變換”．對所得的數(shù)m再進行一次變換稱為對n進行二次變換，依此類推．例如，正整數(shù)，根據(jù)4除以3的余數(shù)為1，由知，對4進行一次變換得到的數(shù)為8；根據(jù)8除以3的余數(shù)為2，由知，對4進行二次變換得到的數(shù)為9；根據(jù)9除以3的余數(shù)為0，由知，對4進行三次變換得到的數(shù)為3．（1）對正整數(shù)15進行三次變換，得到的數(shù)為；（2）若對正整數(shù)n進行二次變換得到的數(shù)為1，則所有滿足條件的n的值之和為．【答案】211【分析】本題主要考查了新定義，正確理解新定義是解題的關鍵．（1）根據(jù)15除以3的余數(shù)為0可得第一次變換后的數(shù)為5，再根據(jù)5除以3的余數(shù)為2可得第二次變換后的數(shù)，同理可得第三次變換后的數(shù)；（2）第二次變換后的結果為1，那么第一次變換后的結果為3或或，再驗證這三個數(shù)是否可經(jīng)過變換后得1即可確定第一次變換后得到的數(shù)，據(jù)此根據(jù)第一次變換得到的數(shù)可推出n的三個值，再同理可驗證符合題意的n，據(jù)此可得答案．【詳解】解；（1）∵，∴15進行一次變換后得到的數(shù)為；∵，∴15進行二次變換后得到的數(shù)為；∵，∴15進行三次變換后得到的數(shù)為2，故答案為：2；（2）當對正整數(shù)n進行第一次變換后，所得的數(shù)除以3的余數(shù)為0時，則第一次變換后的數(shù)為，此時符合題意；當對正整數(shù)n進行第一次變換后，所得的數(shù)除以3的余數(shù)為1時，則第一次變換后的數(shù)為，此時不符合題意；當對正整數(shù)n進行第一次變換后，所得的數(shù)除以3的余數(shù)為2時，則第一次變換后的數(shù)為，此時不符合題意；綜上所述，第一次變換后所得的數(shù)為3，當n除以3的余數(shù)為0時，則，符合題意；當n除以3的余數(shù)為1時，則，不符合題意；當n除以3的余數(shù)為2時，則，符合題意；∴符合題意的n的值是9或2，∴所有滿足條件的n的值之和為，故答案為；11．2．（2025·安徽·中考真題）綜合與實踐【項目主題】某勞動實踐小組擬用正三角形和正六邊形兩種環(huán)保組件改善小區(qū)幼兒園室內(nèi)活動場地．【項目準備】（1）密鋪知識學習：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，使圖形之間既沒有空隙也沒有重疊地鋪成一片，叫做圖形的密鋪．（2）密鋪方式構建：運用密鋪知識得到圖1、圖2所示的兩種拼接方式，其中正六邊形和正三角形組件的邊長均為．（3）密鋪規(guī)律探究：為方便研究，稱圖3、圖4分別為圖1、圖2的“拼接單元”．觀察發(fā)現(xiàn)：自左向右拼接圖1時，每增加一個圖3所示的拼接單元，則增加1個正六邊形和2個正三角形，長度增加，從而x個這樣的拼接單元拼成一行的長度為．自左向右拼接圖2時，每增加一個圖4所示的拼接單元，則增加①個正六邊形和②個正三角形，長度增加③cm，從而y個這樣的拼接單元拼成一行的長度為④cm．【項目分析】（1）項目條件：場地為長、寬的矩形；正三角形和正六邊形組件的單價分別為1元和5元．（2）基本約定：項目成本僅計算所需組件的費用．（3）方式確定：（i）考慮成本因素，采用圖1方式進行密鋪；（ii）每行用正六邊形組件頂著左墻開始，從左向右用一個正六邊形與兩個正三角形組件按圖1所示方式依次交替拼接，當不能繼續(xù)拼接時，該行拼接結束；（iii）第一行緊靠墻邊，從前往后按相同方式逐行密鋪，直至不能拼接為止．（4）方案論證：按上述確定的方式進行密鋪，有以下兩種方案．方案一：第一行沿著長度為6m的墻自左向右拼接（如圖5）．根據(jù)規(guī)律，令，解得，所以每行可以先拼塊拼接單元，即共用去個正六邊形和個正三角形組件，由知，所拼長度為，剩余恰好還可以擺放一個正六邊形組件（如圖5所示的陰影正六邊形）．最終需用個正六邊形和個正三角形組件，由知，方案一每行的成本為元．由于每行寬度為（按計算），設拼成s行，則，解得，故需鋪行．由知，方案一所需的總成本為元．方案二：第一行沿著長度為的墻自左向右拼接．類似于方案一的成本計算，令方案二每行的成本為⑤元，總成本為⑥元．【項目實施】根據(jù)以上分析，選用總成本較少的方案完成實踐活動（略）．請將上述材料中橫線上所缺內(nèi)容補充完整：________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．【答案】；；；；；【分析】本題主要考查了平面鑲嵌，通過觀察圖4所示的拼接單元，數(shù)出增加的正六邊形和正三角形的數(shù)量，再根據(jù)邊長計算出長度的增加量，進而得出y個拼接單元拼成一行的長度．涉及根據(jù)給定的拼接條件進行不等式計算，以確定拼接單元數(shù)量、組件數(shù)量，進而計算每行成本和總成本．方案二的計算方法與方案一類似．【詳解】解：項目主題：觀察圖4可知，每增加一個圖4所示的拼接單元，增加1個正六邊形和6個正三角形；由正六邊形和正三角形組件的邊長均為，觀察圖4可得增加的長度為3個邊長，即計算y個拼接單元拼成一行的長度第一個拼接單元有一個正六邊形左邊的，每增加一個拼接單元長度增加，所以y個這樣的拼接單元拼成一行的長度為項目分析：計算方案二每行可拼接的單元數(shù)量令，移項可得，即，兩邊同時除以，解得，每行可以先拼塊拼接單元．計算方案二每行所需的正六邊形和正三角形組件數(shù)量拼塊拼接單元，共用去個正六邊形和個正三角形組件．由知，所拼長度為，剩余，無法再擺放組件．由知，方案二每行的成本為元．由于每行寬度為（按計算），設拼成s行，則，兩邊同時除以，，故需鋪17行．計算方案二的總成本．方案二所需的總成本為元．項目實施：兩種方案比較可知：．選方案二完成實踐活動．故答案為：；；；；；．3．（2024·安徽·中考真題）數(shù)學興趣小組開展探究活動，研究了“正整數(shù)N能否表示為（均為自然數(shù)）”的問題．(1)指導教師將學生的發(fā)現(xiàn)進行整理，部分信息如下（為正整數(shù)）：奇數(shù)的倍數(shù)表示結果一般結論

______按上表規(guī)律，完成下列問題：（）（

）（

）；（）______；(2)興趣小組還猜測：像這些形如（為正整數(shù)）的正整數(shù)不能表示為（均為自然數(shù)）．師生一起研討，分析過程如下：假設，其中均為自然數(shù)．分下列三種情形分析：若均為偶數(shù)，設，，其中均為自然數(shù)，則為的倍數(shù)．而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為偶數(shù)．若均為奇數(shù)，設，，其中均為自然數(shù)，則______為的倍數(shù)．而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為奇數(shù)．若一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)，則為奇數(shù)．而是偶數(shù)，矛盾．故不可能一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)．由可知，猜測正確．閱讀以上內(nèi)容，請在情形的橫線上填寫所缺內(nèi)容．【答案】(1)（），；（）；(2)【分析】（）（）根據(jù)規(guī)律即可求解；（）根據(jù)規(guī)律即可求解；（）利用完全平方公式展開，再合并同類項，最后提取公因式即可；本題考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的運算是解題的關鍵．【詳解】（1）（）由規(guī)律可得，，故答案為：，；（）由規(guī)律可得，，故答案為：；（2）解：假設，其中均為自然數(shù)．分下列三種情形分析：若均為偶數(shù)，設，，其中均為自然數(shù)，則為的倍數(shù)．而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為偶數(shù)．若均為奇數(shù)，設，，其中均為自然數(shù)，則為的倍數(shù)．而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為奇數(shù)．若一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)，則為奇數(shù)．而是偶數(shù)，矛盾．故不可能一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)．由可知，猜測正確．故答案為：．4．（2023·安徽·中考真題）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含的式子填空：(1)第個圖案中“”的個數(shù)為；(2)第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，……，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為______________．【規(guī)律應用】(3)結合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)，使得連續(xù)的正整數(shù)之和等于第個圖案中“”的個數(shù)的倍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)前幾個圖案的規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)題意，結合圖形規(guī)律，即可求解．（3）根據(jù)題意，列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：第1個圖案中有個，第2個圖案中有個，第3個圖案中有個，第4個圖案中有個，……∴第個圖案中有個，故答案為：．（2）第1個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第2個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第3個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第4個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，……，第n個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，（3）解：依題意，，第個圖案中有個，∴，解得：（舍去）或．【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律是解題的關鍵．5．（2022·安徽·中考真題）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第5個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）觀察第1至第4個等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個等式為，利用完全平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明．【詳解】（1）解：觀察第1至第4個等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個等式為：，故答案為：；（2）解：第n個等式為，證明如下：等式左邊：，等式右邊：，故等式成立．【點睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運用完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．6．（2021·安徽·中考真題）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．[觀察思考]當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3）；以此類推，[規(guī)律總結]（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．[問題解決]（3）現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？【答案】（1）2；（2）；（3）1008塊【分析】（1）由圖觀察即可；（2）由每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚，再結合題干中的條件正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，遞推即可；（3）利用上一小題得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地磚剩余最少時需要正方形地磚的數(shù)量．【詳解】解：（1）由圖可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；故答案為：2；（2）由（1）可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，即2+4；所以當?shù)卮u有n塊時，等腰直角三角形地磚有（）塊；故答案為：；（3）令

則當時，此時，剩下一塊等腰直角三角形地磚需要正方形地磚1008塊．【點睛】本題為圖形規(guī)律題，涉及到了一元一次方程、列代數(shù)式以及代數(shù)式的應用等，考查了學生的觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納以及應用的能力，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能列代數(shù)式表示其中的規(guī)律等． 學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．（2025安徽合肥·二模）中國數(shù)字文化源遠流長，“萬物莫逃乎數(shù)”，“一切皆有定數(shù)”…，是古人對自然、社會的一種觀察和思考．古籍《孫子算經(jīng)》中也記錄了很多古人發(fā)現(xiàn)的數(shù)字規(guī)律．現(xiàn)在請你根據(jù)所學知識觀察：（1）；（2）；（3）根據(jù)規(guī)律寫出第（n）個等式：；【答案】【分析】觀察已知的三個等式可得第n個等式．【詳解】解：∵第1個等式；第2個等式；第3個等式；∴第n個等式：；故答案為：．【點睛】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，觀察所給的等式得到規(guī)律是解題關鍵．2．（2025·安徽池州·三模）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含的式子填空：（1）第個圖案中，“”的個數(shù)為；（2）第個圖案中，“”的個數(shù)可表示為；【規(guī)律應用】（3）結合圖案中的排列方式及上述規(guī)律，是否存在正整數(shù)，使得“”的個數(shù)是“”的個數(shù)2倍？若存在，求出的值，若不存在，請說出理由．【答案】（1）；（2）；（3）不存在，見解析【分析】本題主要考查圖形規(guī)律，理解圖示中數(shù)量關系的增加情況，找出規(guī)律是解題的關鍵．（1）根據(jù)圖形中數(shù)量的增加情況，找出規(guī)律即可求解；（2）根據(jù)圖形中數(shù)量的增加情況，找出規(guī)律即可求解；（3）根據(jù)題意，假設“”的個數(shù)是“”的個數(shù)倍，由題意得：，由此即可求解．【詳解】[規(guī)律發(fā)現(xiàn)]（1）第一個圖案中：“”有個，第一個圖案中：“”有個，第一個圖案中：“”有個，第一個圖案中：“”有個，∴第一個圖案中：“”有個，故答案為：；（2）第一個圖案中：“”有個，第一個圖案中：“”有個，第一個圖案中：“”有個，第一個圖案中：“”有個，∴第一個圖案中：“”有個，故答案為：；[規(guī)律應用（3）不存在，理由如下：假設“”的個數(shù)是“”的個數(shù)倍，由題意得：，

整理得：，解得，不是正整數(shù)，與題意中的是正整數(shù)不符，∴不存在正整數(shù)，使得“”的個數(shù)是“”的個數(shù)倍．3．（2025·安徽合肥·三模）【問題提出】因式分解：【問題探究】為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從簡單的情形入手，逐步分解：①②由①知，繼續(xù)添加下一項得：（1）仿照②，把代數(shù)式進行因式分解．【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】（2）推廣到一般形式：______；【問題解決】（3）化簡：______．【答案】1）；（2）；（3）【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，解題的關鍵是從簡單情形出發(fā)，找出規(guī)律，解決問題．（1）直接利用題意規(guī)律求出結果；（2）利用題意規(guī)律求出結果；（3）利用提公因式和題意規(guī)律求出結果．【詳解】解：（1）．（2），故答案為：．（3），故答案為：．4．（2025.安徽合肥.一模）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；按照上述規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：__________________；(2)寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，見解析【分析】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的特點，得出分式運算的規(guī)律；利用規(guī)律解決問題是解題的關鍵．（1）根據(jù)規(guī)律，進行解答便可；（2）把得出的規(guī)律用字母n表示出來，并運用分式的運算法則進行驗證．【詳解】（1）解：；（2）第個等式是．左邊右邊，猜想成立．5．（2025·安徽合肥·二模）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式：________（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】對于（1），根據(jù)前四個式子的規(guī)律得出第5個等式；對于（2），根據(jù)前5個式子的規(guī)律寫出第n個式子，再證明即可．【詳解】（1）解：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：，即；故答案為：；（2）解：第n個等式：；．6．（2025·安徽安慶·一模）設表示兩位數(shù)，如：當時，表示82；數(shù)學興趣小組研究的平方規(guī)律，依次計算發(fā)現(xiàn)個位上數(shù)字是2的兩位數(shù)平方的規(guī)律：第1個等式，第2個等式：第3個等式：第4個等式：按照以上規(guī)律，完成下列問題：(1)寫出第5個等式：________．(2)寫出你猜想的第個等式：________（用含的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，完全平方公式，正確理解題意是解題的關鍵．（1）觀察可知的平方等于乘以的積加上4，據(jù)此寫出第5個等式即可（2）根據(jù)（1）的規(guī)律寫出第n個等式，再利用完全平方公式把等式左邊展開，利用單項式乘以多項式的計算法則把等式右邊展開即可證明結論．【詳解】（1）解：由題意得，第5個等式為（2）解：猜想，證明如下：∵左邊，又∵右邊，∴左邊右邊，∴．7．（2025·安徽安慶·三模）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含n的式子填空：．（1）第n個圖案中，“▲”的個數(shù)為______；（2）第1個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為，第2個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為，第3個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為，…，第n個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為______；【規(guī)律應用】（3）結合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n，使得“▲”的個數(shù)的2倍比“★”的個數(shù)多4．【答案】（1）；（2）；（3）n的值為2或7【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，圖形規(guī)律，運用代數(shù)式表達式，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．（1）根據(jù)圖形個數(shù)的變化規(guī)律，得出第n個圖案中，“▲”的個數(shù)為，即可作答．（2）結合題干條件，直接得出第n個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為；（3）根據(jù)條件以及（1），（2）的結論進行列式計算，即可作答．【詳解】解：（1）觀察圖形，得出第1個圖案中，“▲”的個數(shù)為；第2個圖案中，“▲”的個數(shù)為；第3個圖案中，“▲”的個數(shù)為；第4個圖案中，“▲”的個數(shù)為；以此類推，得出第n個圖案中，“▲”的個數(shù)為；（2）第1個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為，第2個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為，第3個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為，…，第n個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為；（3）∵“▲”的個數(shù)的2倍比“★”的個數(shù)多4∴∴解得∴n的值為2或78．（2025·安徽合肥·一模）數(shù)學興趣小組開展了一項探究活動，主題是“兩個相鄰奇數(shù)/偶數(shù)的平方差”．相關內(nèi)容如下表所示：類型兩個相鄰奇數(shù)的平方差兩個相鄰偶數(shù)的平方差表示結果___________．．．．．．．．．．．．一般結論___________

(1)完成上述表格內(nèi)容；(2)興趣小組發(fā)現(xiàn)：這些形如（是正整數(shù)）的數(shù)都可以用兩個相鄰奇數(shù)/偶數(shù)的平方差來表示，分析過程如下：①設兩個相鄰奇數(shù)分別為：（為正整數(shù)），則：；②設兩個相鄰偶數(shù)分別為：（為正整數(shù)），則：___________而能取到所有的正整數(shù)，由此可證明結論正確．【答案】(1)；(2)見解析【分析】本題主要考查平方差公式；（1）根據(jù)表格得出規(guī)律即可；（2）根據(jù)平方差公式得出結論即可．【詳解】（1）解：根據(jù)表格得出：；；（2）解：①設兩個相鄰奇數(shù)分別為：（為正整數(shù)），則而能取到所有的正整數(shù)，由此可證明結論正確；②設兩個相鄰偶數(shù)分別為：（為正整數(shù)），則而能取到所有的正整數(shù)，由此可證明結論正確．9．（2025·安徽宣城·三模）數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)在實數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，接著他們研究的因式分解問題，過程如下．(1)當x為正整數(shù)時：；；；；……按照以上規(guī)律，回答下列問題：（?。_________=____________；（ⅱ）_________=___________．(2)在（1）的研究基礎上，請你猜想：當x為任意實數(shù)時，因式分解所得的結果．并證明該因式分解結果的正確性．【答案】(1)（?。?，；（ⅱ），(2)，證明見解析【分析】本題主要考查因式分解的規(guī)律問題．熟練使用因式分解方法是解答關鍵．（1）通過觀察已給出的等式，找出相應的規(guī)律求解即可．（2）利用（1）得出的規(guī)律來進行猜想，證明求解即可．【詳解】（1）解：（1）（?。?；故答案為：，；（ⅱ）；故答案為：，；（2）猜想：因式分解的結果為．

證明：∵，∴是正確的．10．（2025·安徽亳州·三模）數(shù)學興趣小組開展探究活動：研究一個判斷正整數(shù)能否被7整除的規(guī)律．觀察歸納：；；．；；．；；．；；．…規(guī)律發(fā)現(xiàn)：對于一個正整數(shù)x，有如下判斷正整數(shù)x能否被7整除的方法：劃掉該數(shù)的最后一位數(shù)字，將剩下的數(shù)與劃掉的數(shù)字的兩倍相減得到它們的差．若該差能被7整除，則正整數(shù)x能被7整除．否則，正整數(shù)x不能被7整除．規(guī)律應用：(1)請用上述方法驗證266能否被7整除．(2)興趣小組的同學按規(guī)律把一些三位數(shù)整理成如下表格，請你填寫表格中橫線上的內(nèi)容：xx的表示按（2）中操作得到的差，記為M（x）217

945____________………(3)表示，其中，，，且a，b，c均為整數(shù)．利用以上信息說明：當能被7整除時，也能被7整除．【答案】(1)見解析；(2)，；(3)見解析．【分析】本題考查了整式的加減運算，數(shù)字規(guī)律類探索，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意給出的方法即可解答；（2）根據(jù)題意給出的規(guī)律即可解答；（3）由題意得，得到，由，則，當能被7整除時，也是的倍數(shù)，即是的倍數(shù)，即可得出結論．【詳解】（1）解：由題意可得：，，∴能被整除；（2）解：由題意可得：，，故答案為：，；（3）解：由題意得：，∴，∵，∴，當能被7整除時，也是的倍數(shù)，即是的倍數(shù)，∴也是的倍數(shù)，能被整除，∴當能被7整除時，也能被7整除．11．（2025·安徽阜陽·三模）某數(shù)學社團有如下項目研究，請解答相應問題．【項目主題】兩位數(shù)之間的運算與數(shù)位上數(shù)字的關系．【項目研究的內(nèi)容】某些特殊的兩個兩位數(shù)的積與交換這兩個兩位數(shù)數(shù)字得到的新兩位數(shù)積的差．【項目研究的過程】（1）特例觀察：；；；___________________；…（2）等式左邊的算式可表示為的形式，觀察這些式子可以發(fā)現(xiàn)：①數(shù)a，b十位上的數(shù)字相同，不妨設為且為正整數(shù)）；②若設數(shù)個位上的數(shù)字為且為正整數(shù)），則個位上的數(shù)為______________；③將數(shù)的十位上的數(shù)與個位上的數(shù)字對調(diào)得到數(shù)，將數(shù)的十位上的數(shù)與個位上的數(shù)字對調(diào)得到數(shù)；…（3）在（2）的前提下，數(shù)可以表示為，數(shù)可以表示為，數(shù)可以表示為，數(shù)可以表示為______________【歸納與證明】請你根據(jù)“項目研究的過程”的內(nèi)容，用含m，n的等式歸納“這種特殊的兩個兩位數(shù)的積與交換這兩個兩位數(shù)數(shù)字得到的新兩位數(shù)積的差”的規(guī)律，并證明．【答案】項目研究的過程：（1）；（2）；（3）；歸納與證明：規(guī)律：，見解析【分析】本題考查了整式的混合運算、數(shù)字類規(guī)律探索，正確得出規(guī)律是解此題的關鍵．項目研究的過程：（1）根據(jù)題干中所給式子得出規(guī)律即可；（2）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；（3）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；歸納與證明：得出規(guī)律，根據(jù)整式的運算法則證明即可．【詳解】解：項目研究的過程：（1）由題干中所給式子可得：（2）由題意可得個位上的數(shù)為：（3）由題意可得：數(shù)可以表示為歸納與證明：規(guī)律：證明：左邊右邊；原等式成立．12．（2025·安徽合肥一模）觀察以下等式：第1個等式：第個等式：第3個等式：第個等式：第5個等式：······按照以上規(guī)律．解決下列問題：寫出第個等式____________；寫出你猜想的第個等式：(用含的等式表示)，并證明．【答案】（1）；（2），證明見解析．【分析】（1）根據(jù)前五個個式子的規(guī)律寫出第六個式子即可；（2）觀察各個式子之間的規(guī)律，然后作出總結，再根據(jù)等式兩邊相等作出證明即可．【詳解】（1）由前五個式子可推出第6個等式為：；（2），證明：∵左邊==右邊，∴等式成立．【點睛】本題是規(guī)律探究題，解答過程中，要注意各式中相同位置數(shù)字的變化規(guī)律，并將其用代數(shù)式表示出來．13．（2025.安徽宿州·三模）觀察下列圖形與等式的關系：第1個圖第2個圖第3個圖第4個圖……根據(jù)圖形及等式的關系，解決下列問題：(1)第5個圖中空白部分小正方形的個數(shù)是______，第6個圖中空白部分小正方形的個數(shù)滿足的算式：______；(2)用含的等式表示第個圖中空白部分小正方形的個數(shù)反映的規(guī)律：______；(3)運用上述規(guī)律計算：．【答案】(1)11，(2)(3)2025【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律，有理數(shù)的混合運算等知識點，（1）根據(jù)題圖找出規(guī)律即可得解；（2）根據(jù)題圖找出規(guī)律即可得解；（2）根據(jù)題圖找出的規(guī)律計算即可得解；能根據(jù)所給等式寫出圖n空白部分小正方形個數(shù)滿足的等式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由圖知：第5個空白小正方形的個數(shù)為，第6個空白小正方形的個數(shù)算式應為：，故答案為：11，；（2）解：由題圖知，圖①空白部分小正方形的個數(shù)是；圖②空白部分小正方形的個數(shù)是；圖③空白部分小正方形的個數(shù)是；…，所以圖n空白部分小正方形的個數(shù)是：，故答案為：；（3）解：由（2）問規(guī)律可計算得，．14．（2025·安徽阜陽·二模）閱讀與思考：站隊問題問題提出：即將離開生活了3年的母校，幾位同學站在一排在教學樓前合影．他們共有多少種站法？問題探究：我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進，從中找出解決問題的方法．探究一：當只有、兩人時，此時站法有：、兩種．探究二：當有三人時，我們把位置命名為第1位、第3位．進行如下分析：此時站法有6種．探究三：當有三人時，我們把位置命名為第1位、第2位、第3位；當安排第1位同學時，我們有3種選擇；第1位同學安排好后，再來安排第2位同學，此時我們有2種選擇；剩下的一位同學只有一種選擇，故站法共有（種）．任務：(1)探究二中問題的分析方法為_____；(2)按照上面的分析方法，若四位同學站在一排照相，則共有_____種站法；(3)現(xiàn)有四位男同學和一名女同學共五位同學站在一排照相，其中這名女生必須站在第1位或者最后一位，求他們共有多少種站法？【答案】(1)樹狀圖分析法(2)24(3)48種【分析】本題主要考查了排列問題，掌握分布乘法原理是解題的關鍵．（1）根據(jù)題中的圖即可解答；（2）根據(jù)探究三中的分布乘法原理解答即可；（3）結合第二小問，分析當女生站在第1位時和最后一位時的站法，相加即可．【詳解】（1）解：由題意可知探究二中問題的分析方法為樹狀圖分析法，故答案為：樹狀圖分析法．（2）解：安排第1位同學有四種選擇，安排第2位同學有三種選擇，安排第3位同學有2種選擇，安排第4位同學有1種選擇，因此共有（種）站法．故答案為：24．（3）解：當女生站在第1位時，其余四位男生站4個位置共有24種站法；同理當女生站在最后一位時，其余四位男生站4個位置共有24種站法，因此共有（種）站法，即共有48種站法．15．（2025·安徽合肥·二模）在數(shù)學活動課上，某活動小組用棋子擺出了下列圖形：

（1）探索新知：①第個圖形需要_________枚棋子；②第個圖形需要__________枚棋子．（2）思維拓展：小明說：“我要用枚棋子擺出一個符合以上規(guī)律的圖形”，你認為小明能擺出嗎？如果能擺出，請問擺出的是第幾個圖形；如果不能，請說明理由．【答案】（1）①16；②；（2）不能，見解析【分析】（1）①觀察4個圖形中的變化，得到變化規(guī)律，得到第5個圖形的數(shù)量；②根據(jù)前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可列式表示；（2）將第n個圖形的代數(shù)式等于360，計算出n的值，判斷是否符合題意.【詳解】（1）①第1個圖需要棋子枚數(shù)：1+3，第2個圖需要棋子枚數(shù)：，第3個圖需要棋子枚數(shù)：，第4個圖需要棋子枚數(shù)：，∴第5個圖需要棋子枚數(shù)：，故答案為：16；②由①得到：第n個圖需要棋子枚數(shù)：，故答案為：；（2）不能，當=360時，得，∵n為正整數(shù)，∴不能擺出符合以上規(guī)律的圖形.【點睛】此題考查圖形類規(guī)律的探究，能觀察圖形得到圖形的變化規(guī)律并列式表示是解題的關鍵.16．（2025·安徽合肥·二模）如圖，將一張等邊三角形紙片剪成4個大小、形狀一樣的小等邊三角形，記為第1次操作，然后將其中左下角的等邊三角形又按同樣的方法剪成四個小等邊三角形，共得到7個等邊三角形，記為第2次操作，若每次都把左下角的等邊三角形按此方法剪成四個小等邊三角形，如此循環(huán)進行下去…．(1)第4次操作后共得到等邊三角形的個數(shù)為______，第n次操作后共得到等邊三角形的個數(shù)為______；(2)若原等邊三角形的邊長為1，設表示第n次操作后所得的最小等邊三角形的邊長，例如：，，求：（?。_____；（ⅱ）______．【答案】(1)，(2)；【分析】本題主要考查圖形變化的規(guī)律、數(shù)字變化規(guī)律等知識點，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)三角形的個數(shù)及邊長的變化規(guī)律是解題的關鍵．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：每剪一次，等邊三角形的個數(shù)增加3，據(jù)此寫出代數(shù)式即可；（2）（?。┮来吻蟪龅冗吶切蔚倪呴L，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解答；（ⅱ）運用（ⅰ）中的結論進行解答即可．【詳解】（1）解：由題意可知：剪1次共得到的等邊三角形個數(shù)為：；剪2次共得到的等邊三角形個數(shù)為：；剪3次共得到的等邊三角形個數(shù)為：；剪3次共得到的等邊三角形個數(shù)為：；…，所以剪n次共得到的等邊三角形個數(shù)為個．故答案為：，．（2）解：（?。┮驗樵冗吶切蔚倪呴L為1，所以第1次所剪出的小等邊三角形的邊長為：；第2次所剪出的小等邊三角形的邊長為：；第3次所剪出的小等邊三角形的邊長為：；…，所以第n次所剪出的小等邊三角形的邊長為：，即，故答案為：；（ⅱ）由（?。╊}可知：；令①，則②，得：，即．∴故答案為：．17．（2025·安徽合肥·二模）某園林公司舉行盆景展覽，如圖所示是用這兩種盆景擺成的圖案，黑色圓點為六月雪盆景，黑色正方形為九里香盆景．圖1中六月雪盆景數(shù)量為4，九里香盆景數(shù)量為2；圖2中六月雪盆景數(shù)量為6，九里香盆景數(shù)量為6；圖3中六月雪盆景數(shù)量為8，九里香盆景數(shù)量為12；…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)圖5中，六月雪盆景數(shù)量為_______，九里香盆景數(shù)量為_______；(2)若園林公司用這兩種盆景共132盆按如上規(guī)律擺成一個圖案，請求出該圖案中六月雪和九里香這兩種盆景分別多少盆？【答案】(1)12；30(2)六月雪盆景有22盆，九里香盆景有110盆【分析】本題考查了圖形規(guī)律探索、一元二次方程的應用，觀察圖形的變化找到隱含的規(guī)律是解題的關鍵．（1）觀察圖形，得出第個圖中六月雪盆景數(shù)量為，九里香盆景數(shù)量為，再代入即可求解；（2）設該圖案為如上規(guī)律的第個圖，根據(jù)題意列出方程，解出的值，即可解答．【詳解】（1）解：圖1中六月雪盆景數(shù)量為，九里香盆景數(shù)量為，圖2中六月雪盆景數(shù)量為，九里香盆景數(shù)量為，圖3中六月雪盆景數(shù)量為，九里香盆景數(shù)量為，圖4中六月雪盆景數(shù)量為，九里香盆景數(shù)量為，…第個圖中六月雪盆景數(shù)量為，九里香盆景數(shù)量為，當時，，，圖5中，六月雪盆景數(shù)量為12，九里香盆景數(shù)量為30．故答案為：12；30．（2）解：設該圖案為如上規(guī)律的第個圖，由題意得，，解得：，（不符合題意，舍去），此時六月雪盆景數(shù)量為盆，九里香盆景數(shù)量為盆，答：六月雪盆景有22盆，九里香盆景有110盆．18．（2025·安徽淮北·三模）數(shù)學興趣小組開展探究活動，很快就發(fā)現(xiàn)這3個數(shù)的平均數(shù)是，他們繼續(xù)探究這3個數(shù)的平均數(shù)與的關系．他們發(fā)現(xiàn)如下結論．表112345．．．．．．表212345_____．．．．．．繼續(xù)探究，他們發(fā)現(xiàn)，表1中N可改寫，改寫后可得表2．按照表1和表2的規(guī)律，回答下列問題：(1)補充表2．(2)請你猜想的平均數(shù)與之間存在的等量關系（用含的式子表示），并證明你的猜想．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律探究，解題的關鍵是通過觀察表1和表2的規(guī)律，找出數(shù)字之間的關系，并利用平均數(shù)的定義進行猜想與證明．（1）依據(jù)題意寫出表2中第5行的數(shù)值即可；（2）猜想這3個數(shù)的平均數(shù)與n的等量關系，再通過計算進行證明．【詳解】（1）由題意可得，第5個等式為：；（2）證明：左邊右邊，左邊右邊，即，故猜想成立．19．（2025·安徽合肥·一模）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……根據(jù)上面等式的規(guī)律，回答下列問題：(1)寫出第6個等式：________；(2)寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并證明．【答案】(1)(2)；證明見解析【分析】本題考查數(shù)字的變化、列代數(shù)式，整式的運算，明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，寫出相應的等式是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)題目中等式的特點，可以寫出第6個等式；（2）根據(jù)題目中等式的特點，可以寫出猜想，然后將等式左邊和右邊展開，看是否相等即可證明猜想．【詳解】（1）解：第6個等式：；故答案為：．（2）解：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……∴第個等式：；左邊右邊．20．（2025·安徽合肥·一模）【問題呈現(xiàn)】我們知道，，那么如何求的值？【觀察思考】請你仔細觀察，找出下面圖形與算式的關系：【歸納猜想】（1）______．（2）