專題04代數(shù)式與代數(shù)式求值的五類綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類型一、用代數(shù)式表示數(shù)的規(guī)律類型二、用代數(shù)式表示圖形的規(guī)律類型三、已知字母的值，求代數(shù)式的值類型四、已知式子的值，求代數(shù)式的值類型五、程序流程圖與代數(shù)式求值壓軸專練類型一、用代數(shù)式表示數(shù)的規(guī)律1.數(shù)字規(guī)律觀察：需識別數(shù)列增減、周期、遞推等模式，如等差（后項-前項為定值）、等比（后項÷前項為定值），通過歸納相鄰項關(guān)系提煉規(guī)律。2.圖形規(guī)律轉(zhuǎn)化：將圖形個數(shù)、邊長等量化，分析數(shù)量與序號的對應(yīng)關(guān)系，如n邊形邊數(shù)、點陣層數(shù)與點數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為含n的代數(shù)式。3.代數(shù)式構(gòu)建：根據(jù)規(guī)律用字母（多為n）表示序號，通過特殊值驗證，確保代數(shù)式對任意序號成立，常見形式有一次式an+b、二次式an2+bn+c等。例1．有一組數(shù)依次為，，，，…按此規(guī)律，第個數(shù)為．（用含的代數(shù)式表示）【變式1-1】觀察下面一列有規(guī)律的數(shù)：，，，，，，…根據(jù)規(guī)律可知第個數(shù)應(yīng)是．（為正整數(shù)）【變式1-2】觀察下面三行數(shù)：，64，…；①，5，，17，，65，…；②，8，，32，，128，…．③(1)第①行第8個數(shù)為______；(2)用含n（n為正整數(shù)）的式子表示第①②③行中第n個數(shù)；(3)設(shè)x，y，z分別為第①②③行的第2024個數(shù)，求的值．【變式1-3】如圖，每個圖形都由同樣大小的小正方形按一定規(guī)律組成。根據(jù)圖形與等式的關(guān)系，解答下列問題：(1)猜想_______；（用含的等式表示，不用說明理由）(2)利用（1）的結(jié)論，計算：．類型二、用代數(shù)式表示圖形的規(guī)律1.圖形量化分析：將圖形特征（如個數(shù)、長度、面積）轉(zhuǎn)化為具體數(shù)值，觀察與圖形序號的關(guān)聯(lián)，如小正方形個數(shù)、線段段數(shù)等的變化。2.數(shù)值規(guī)律提煉：對量化后的數(shù)值，分析其增減趨勢、周期或遞推關(guān)系，區(qū)分線性增長（如an+b）、二次增長（如an2+bn+c）等模式。3.代數(shù)式驗證：用字母n表示序號，根據(jù)規(guī)律寫出代數(shù)式，代入不同序號驗證是否符合圖形特征，確保代數(shù)式的通用性。例2．一張長方形桌子可坐6人，按圖方式將桌子拼在一起．．(1)2張桌子拼在一起可坐_________人，3張桌子拼在一起可坐_________人，張桌子拼在一起可坐________人．(2)一家餐廳有40張這樣的長方形桌子，按照上圖方式每5張桌子拼成1張大桌子，則40張桌子可拼成8張大桌子，共可坐多少人？【變式2-1】如圖所示，某學校準備新建一個讀書長廊，并用若干塊帶有花紋和沒有花紋的兩種規(guī)格、大小相同的正方形地磚搭配在一起，按圖中所示的規(guī)律拼成圖案鋪滿長廊，已知每個小正方形地磚的邊長均為米．(1)按圖示規(guī)律，第3個圖案的長度_______；第3個圖案中沒有花紋的正方形地磚數(shù)為_______．(2)若某個圖案中帶有花紋的地磚為n塊，求沒有花紋的地磚塊數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【變式2-2】在一個AI智能教育中心，小學員們正在參與一個名為“火柴棒項目”的智能編程．如圖所示，小學員們需要使用火柴棒來構(gòu)建一系列由三角形組成的圖形，并探索這些圖形的數(shù)學規(guī)律；(1)若拼成的圖形中含有4個三角形，則需要________根火柴棒；(2)若拼成的圖形中含有n個三角形，則需要________根火柴棒；（用含有n的式子表示）(3)若每根火柴棒的長為1cm，且拼成的圖形中所有火柴棒的長度和為，則拼成的圖形中含有多少個三角形？【變式2-3】【觀察思考】如圖某公園圍欄是由圓形構(gòu)成的圖案，每個圓形的邊上都有“”或“第個圖案中“”有個，“”有個；第個圖案中“”有個，“”有個；第個圖案中“”有個，“”有個；第個圖案中“”有個，“”有個．【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）請求出第個圖案中“”有______個，“”有______個；（用含的式子表示）【規(guī)律應(yīng)用】（2）現(xiàn)有個“”，按此規(guī)律制作圍欄，要求“”剩余最少，需要購買多少個“”？類型三、已知字母的值，求代數(shù)式的值1.

代數(shù)式代入：明確代數(shù)式中字母的對應(yīng)值，將給定數(shù)值準確替換代數(shù)式中的字母，注意符號和指數(shù)的對應(yīng)，避免代錯位置。2.

運算順序遵循：按先乘方、再乘除、后加減的順序計算，有括號先算括號內(nèi)，確保每步運算符合有理數(shù)運算法則。3.

結(jié)果化簡：計算過程中及時合并同類項或化簡，最終結(jié)果需為最簡形式，檢查是否符合代數(shù)式的實際意義（如非負性等）。例3．若，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)；(3)．【變式3-1】當時，求下列代數(shù)式的值．(1)；(2)．【變式3-2】求下列代數(shù)式的值：(1)，其中，，．(2)，其中．【變式3-3】已知，試求下列代數(shù)式值：(1)(2)(3)由（1），（2）你有什么發(fā)現(xiàn)或者想法？類型四、已知式子的值，求代數(shù)式的值1.整體代入思想：分析已知式子與所求代數(shù)式的聯(lián)系，將已知式子視為整體，通過變形（如乘除系數(shù)、加減常數(shù)）轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的一部分，避免單獨求字母值。2.代數(shù)式變形：對所求代數(shù)式進行恒等變形，如提取公因式、拆項組合，使其包含已知式子的形式，便于整體代入計算。3.等式性質(zhì)應(yīng)用：利用等式的基本性質(zhì)（如兩邊同乘除、加減）處理已知式子，推導所需表達式的值，確保變形過程等價。例4．已知求的值．【變式4-1】整體思想是中學數(shù)學解題中一種重要思想方法．有這樣一道題：“如果整式的值為，那么整式”的值是多少？愛動腦筋的小明同學把作為一個整體進行求解，解題過程為：原式．請仿照以上解題方法，解決下面的問題：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值．【變式4-2】理解與思考：整體代換是數(shù)學的一種思想方法．例如：若，則；我們將作為一個整體代入，則原式．仿照上面的解題方法，完成下面的問題：(1)若，則；(2)如果，求的值；(3)若，求的值．【變式4-3】先閱讀下面的材料，再解決問題：已知，在求關(guān)于的代數(shù)式的值時，可將變形為，就可將表示為的一次多項式，從而達到“降次”的目的．我們稱為“降次代換法”例如：已知，求代數(shù)式的值．解：，原式請用“降次代換法”完成下列各小題：(1)若，則代數(shù)式的值為________．(2)若，求代數(shù)式的值．(3)若，則代數(shù)式的值為_________．類型五、程序流程圖與代數(shù)式求值1.流程圖解讀：識別程序框類型（輸入、輸出、運算、條件判斷），理清流程邏輯順序，明確變量的賦值與傳遞路徑，如循環(huán)結(jié)構(gòu)中變量的更新規(guī)則。2.代數(shù)式轉(zhuǎn)化：將流程圖中的運算步驟（如加減乘除、乘方）轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，確定輸入值與輸出結(jié)果的代數(shù)關(guān)系，區(qū)分順次運算與條件分支對應(yīng)的不同表達式。3.分步求值：按流程順序代入數(shù)值逐步計算，遇條件判斷時根據(jù)變量值選擇分支，驗證每步結(jié)果是否符合流程邏輯，確保最終輸出與代數(shù)式計算一致。例5．如圖，是一個簡單的數(shù)值運算程序．(1)請用含的代數(shù)式表示輸出的結(jié)果___________．(2)計算當時，輸出的結(jié)果．【變式5-1】如圖是一個“數(shù)值轉(zhuǎn)換機”的示意圖．(1)寫出輸出結(jié)果______（用含x的代數(shù)式表示）；(2)填寫下表；x012輸出x012輸出1341413【變式5-2】有一數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下圖所示：(1)如果開始輸入的值是1，可發(fā)現(xiàn)第一次輸出的是4，第二次輸出的是，第三次輸出的是，第四次輸出的是，…；(2)如果開始輸入的數(shù)是11，可發(fā)現(xiàn)第一次輸出的是14，第二次輸出的是7，…，請你探索：第2017次輸出的結(jié)果是和2018次輸出的結(jié)果是．【變式5-3】有三種運算程序如下圖所示，按要求完成下列各題：(1)如圖，當輸入數(shù)時，輸出數(shù)_____；(2)如圖，第一個帶？號的運算框內(nèi)，應(yīng)填_____；第二個帶？號的運算框內(nèi)，應(yīng)填_____；第三個帶？號的運算框內(nèi)，應(yīng)填_____．(3)如圖，當輸入時，則輸出結(jié)果為_____．一、單選題1．當時，代數(shù)式的值是（）A．7 B． C．5 D．2．如果，那么的值為（

）A． B．1 C． D．53．按如圖所示的運算程序，若輸入m的值是2，則輸出的結(jié)果是(

)A． B．3 C． D．74．按規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，，□，，，，?，其中□內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是（

）A． B． C． D．5．烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養(yǎng)護．通常用碳原子的個數(shù)命名為甲烷，乙烷，丙烷，…，癸烷（當碳原子數(shù)目超過10個時即用漢文數(shù)字表示，如十一烷，十二烷，…）等，甲烷的化學式為，乙烷的化學式為，丙烷的化學式為，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十一烷的化學式為（）A． B． C． D．二、填空題6．若，則．7．若，，且，則．8．按圖所示的程序計算：若開始輸入的x的值為，則最后輸出的結(jié)果是．9．大衍數(shù)列：0，2，4，8，12，…，來源于《乾坤譜》中對易傳“大街之數(shù)五十”的推論．對于按一定規(guī)律排列的數(shù)：，，，，…，依此規(guī)律排列，則大衍數(shù)列的第10個數(shù)是，第11個數(shù)是．10．如圖所示，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，；的值為．三、解答題11．（1）若，互為相反數(shù)（，均不為0），，互為倒數(shù)，，求的值；（2）已知，求的值．12．下面給出了如圖所示的程序框圖，進行計算．

(1)如圖1，若輸入，求輸出結(jié)果；(2)若在圖1基礎(chǔ)上增加一個計算程序“”，如圖2，若輸入，第一次運算得到，求輸出結(jié)果．13．【知識呈現(xiàn)】我們可把中的“”看成一個字母，使這個代數(shù)式簡化為，“整體思想”是中學數(shù)學解題中的一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛．在數(shù)學中，常常用這樣的方法把復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題．【嘗試應(yīng)用】（1）上面【知識呈現(xiàn)】中的問題的化簡結(jié)果為______；（用含、的式子表示）（2）若，則______；【拓展應(yīng)用】（3）若代數(shù)式的值為6，求代數(shù)式的值；（4）已知，的值是最大的負整數(shù)，求的值．14．觀察下面三行數(shù)：2、、8、、32、．①1、、4、、16、．②0、6、、18、、66．③取每一行的第個數(shù)，依次記為a，b，c．例如圖中，當時，，，．(1)當時，_________，________；(2)是否存在某一列的三個數(shù)使得？若存在，求出和的值；若不存在，請說明理由．15．用同樣大小的圓形棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個圖形中有6個棋子，第2個圖形中有9個棋子，第3個圖形中有個棋子，第4個圖形中有個棋子，以此類推．【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第6個圖形中有___________個圓形棋子；（2）第個圖形中有___________個圓形棋子；（用含的代數(shù)式表示）【規(guī)律應(yīng)用】（3）將2025個圓形棋子按照題中的規(guī)律一次性擺放，且棋子全部用完．若能擺放成功，是第幾個圖形？若不能，請說明理由．16．閱讀材料：“整體思想”是中學教學解題中的一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛．例如：已知，則代數(shù)式．請你根據(jù)以上材料解答以下問題：(1)若的值為__________；(2)當時，代數(shù)式的值是5，求當時，代數(shù)式的值；(3)當時，代數(shù)式的值為，求當時，代數(shù)式的值（用含的式子表示）．17．【問題提出】連接五邊形的五個頂點和它內(nèi)部的個點，保證所有連線不再相交產(chǎn)生新的點，直到五邊形內(nèi)所有區(qū)域都變成三角形，可分得多少個三角形？（不計被分割的三角形）【問題探究】為了解決上面的問題，我們將運用歸納的策略，先在若干簡單情形中尋找相應(yīng)的規(guī)律．探究一：如圖①當五邊形內(nèi)有1個點時，可分得______個三角形．探究二：當五邊形內(nèi)有2個點時，可分得多少個三角形？在探究一的基礎(chǔ)上，我們在圖①五邊形的內(nèi)部再添加1個點，這個點的位置會有兩種情況：可能在圖①分割成的某個三角形的內(nèi)部，如圖②所示；也可能在三角形的某條公共邊上，如圖③所示．顯然，不管哪種情況，都可分得______個三角形．探究三：當五邊形內(nèi)有3個點時，可分得______個三角形．請在圖④中畫出一種分割示意圖．【問題解決】連接五邊形的五個頂點和它內(nèi)部的個點，保證所有連線不再相交產(chǎn)生新的點，直到五邊形內(nèi)所有區(qū)域都變成三角形，可分得______個三角形．【拓展延伸】若連接六邊形的六個頂點和它內(nèi)部的個點，可把六邊形區(qū)域分割成______個互不重疊的三角形．