高三數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)資料包一、函數(shù)的概念與表示函數(shù)的概念是我們認(rèn)識函數(shù)的起點(diǎn)，深刻理解其內(nèi)涵是學(xué)好函數(shù)的基礎(chǔ)。1.1函數(shù)的定義與三要素函數(shù)的定義揭示了兩個非空數(shù)集之間的一種特殊對應(yīng)關(guān)系。設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。這里的“三要素”——定義域、值域和對應(yīng)法則，是構(gòu)成函數(shù)的核心。*定義域：自變量x的取值范圍，是函數(shù)的“靈魂”，研究函數(shù)必須首先考慮定義域。求定義域時，要關(guān)注分式分母不為零、偶次根式被開方數(shù)非負(fù)、對數(shù)的真數(shù)大于零、零次冪的底數(shù)不為零等常見限制條件。*值域：函數(shù)值的集合，由定義域和對應(yīng)法則共同決定。求值域的方法靈活多樣，如觀察法、配方法、換元法、判別式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法以及利用基本不等式等，需根據(jù)具體函數(shù)形式選擇合適的方法。*對應(yīng)法則：即函數(shù)關(guān)系f，它是聯(lián)系定義域和值域的橋梁。1.2函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法主要有解析法、圖像法和列表法。*解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，簡潔明了，便于進(jìn)行理論分析和運(yùn)算。*圖像法：用平面直角坐標(biāo)系中的圖形表示函數(shù)關(guān)系，直觀形象，能清晰地反映函數(shù)的變化趨勢和某些性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）?！皵?shù)形結(jié)合”是解決函數(shù)問題的重要思想方法，務(wù)必重視函數(shù)圖像的作用。*列表法：通過列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，適用于自變量取值較少或有特定對應(yīng)值的情況。二、函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)特征的具體體現(xiàn)，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)，能幫助我們更深刻地理解函數(shù)，并快速解決相關(guān)問題。2.1單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性描述了函數(shù)值隨自變量變化的趨勢。*定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?，x?，當(dāng)x?<x?時，都有f(x?)<f(x?)（或f(x?)>f(x?)），那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。*判斷方法：定義法（作差或作商比較）、導(dǎo)數(shù)法（若f'(x)>0，則函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增；若f'(x)<0，則單調(diào)遞減）、圖像法。*應(yīng)用：比較大小、解不等式、求函數(shù)最值等。2.2奇偶性函數(shù)的奇偶性是函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)或y軸對稱的特性。*定義：對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，若都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；若都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。*判斷步驟：首先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱（這是前提，若不對稱，則函數(shù)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)），然后再驗證f(-x)與f(x)的關(guān)系。*性質(zhì)：奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，若在x=0處有定義，則f(0)=0；偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱。奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。2.3周期性（部分函數(shù)具有）*定義：對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。如果在周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)叫做函數(shù)的最小正周期。*常見結(jié)論：若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1/f(x)等，則函數(shù)f(x)可能具有周期性，可通過遞推關(guān)系求出周期。2.4最值函數(shù)的最值是函數(shù)在定義域或指定區(qū)間上的最大值和最小值。*求法：利用函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)法等。求最值時，務(wù)必注意定義域的限制。三、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)是構(gòu)成復(fù)雜函數(shù)的“基本積木”，掌握它們的圖像和性質(zhì)是學(xué)好函數(shù)的關(guān)鍵。3.1一次函數(shù)與二次函數(shù)*一次函數(shù)：y=kx+b(k≠0)，圖像是一條直線。當(dāng)k>0時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)k<0時，函數(shù)單調(diào)遞減。*二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a≠0)，圖像是拋物線。*開口方向：a>0時開口向上，a<0時開口向下。*對稱軸：x=-b/(2a)。*頂點(diǎn)坐標(biāo)：(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))。*單調(diào)性：根據(jù)開口方向和對稱軸判斷。*最值：當(dāng)a>0時，在對稱軸處取得最小值；當(dāng)a<0時，在對稱軸處取得最大值。*零點(diǎn)（與x軸交點(diǎn)）：通過判別式Δ=b2-4ac判斷，Δ>0時，有兩個不同零點(diǎn)；Δ=0時，有一個零點(diǎn)（二重根）；Δ<0時，無實(shí)零點(diǎn)。二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題是高考熱點(diǎn)，需結(jié)合圖像和韋達(dá)定理分析。3.2冪函數(shù)*定義：y=x^α(α為常數(shù))。*圖像與性質(zhì)：常見的冪函數(shù)如y=x,y=x2,y=x3,y=x^(1/2),y=x^(-1)等，要掌握它們在第一象限的圖像特征和單調(diào)性。冪函數(shù)的圖像恒過點(diǎn)(1,1)。3.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)*指數(shù)函數(shù)：y=a^x(a>0且a≠1)。*定義域：R；值域：(0,+∞)。*圖像：恒過點(diǎn)(0,1)。當(dāng)a>1時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)單調(diào)遞減。*對數(shù)函數(shù)：y=log_ax(a>0且a≠1)，是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。*定義域：(0,+∞)；值域：R。*圖像：恒過點(diǎn)(1,0)。當(dāng)a>1時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)單調(diào)遞減。*對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：log_a(MN)=log_aM+log_aN；log_a(M/N)=log_aM-log_aN；log_aM^n=nlog_aM；換底公式：log_ab=log_cb/log_ca(c>0且c≠1)。*重要關(guān)系：a^(log_ab)=b；log_aa^b=b。3.4三角函數(shù)（正弦、余弦、正切函數(shù)等）*正弦函數(shù)：y=sinx，定義域R，值域[-1,1]，周期2π，奇函數(shù)，圖像“波浪形”。*余弦函數(shù)：y=cosx，定義域R，值域[-1,1]，周期2π，偶函數(shù)，圖像“波浪形”。*正切函數(shù)：y=tanx，定義域{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}，值域R，周期π，奇函數(shù)，在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。*圖像與性質(zhì)：熟練掌握這三個基本三角函數(shù)的圖像、定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性及最值。*三角恒等變換：雖然不屬于函數(shù)本身，但在解決三角函數(shù)問題時經(jīng)常用到，如兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等，需熟練掌握。*三角函數(shù)的圖像變換：平移變換（左加右減，上加下減）、伸縮變換（橫坐標(biāo)伸縮改變周期，縱坐標(biāo)伸縮改變振幅）。四、函數(shù)與方程函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法，函數(shù)的零點(diǎn)是連接函數(shù)與方程的橋梁。4.1函數(shù)的零點(diǎn)*定義：對于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。函數(shù)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。*零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。*判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)：可結(jié)合函數(shù)圖像、單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理等綜合判斷。4.2二分法（求方程近似解）了解二分法的基本思想和步驟，能借助計算器用二分法求方程的近似解。這體現(xiàn)了函數(shù)與方程的聯(lián)系及數(shù)形結(jié)合思想。五、函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用廣泛，包括利用函數(shù)知識解決實(shí)際問題（數(shù)學(xué)建模），以及在其他數(shù)學(xué)知識中的應(yīng)用（如導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列等）。*數(shù)學(xué)建模：讀懂題意，抽象出數(shù)學(xué)模型，建立函數(shù)關(guān)系，求解并檢驗?zāi)Ｐ?。關(guān)鍵在于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。*與導(dǎo)數(shù)結(jié)合：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，解決函數(shù)的切線問題等，這是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，通常在壓軸題中出現(xiàn)。（導(dǎo)數(shù)專題會詳細(xì)闡述）復(fù)習(xí)建議與溫馨提示1.回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)：函數(shù)的概念、性質(zhì)、基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)是復(fù)習(xí)的重中之重，務(wù)必吃透課本，不留死角。2.勤于思考，總結(jié)方法：對于每一種函數(shù)，每一個性質(zhì)，要多問“為什么”，理解其本質(zhì)。解題后要反思，總結(jié)通性通法和解題技巧。3.數(shù)形結(jié)合，直觀感知：時刻不忘函數(shù)圖像，借助圖像理解性質(zhì)、解決問題，培養(yǎng)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”的能力。4.多做練習(xí)，注重規(guī)范：通過適量的練習(xí)鞏固知識，提升解題能力。同時，要注意解