年中考數(shù)學(xué)真題完全解讀（山東青島卷）山東省青島市在2025年中考整體上遵循國家《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對初中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)要求，兼顧了青島地區(qū)的學(xué)情與教情；試卷內(nèi)容覆蓋面廣，涉及代數(shù)、幾何、函數(shù)、統(tǒng)計與概率等主干知識，既考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識與基本技能的掌握，也考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。與以往本市中考真題相比，本卷在形式和內(nèi)容上都有一定的新意。第一，注重對數(shù)學(xué)情境和現(xiàn)實(shí)問題的結(jié)合，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用價值。第二，在幾何部分設(shè)置了多個常見圖形變換的問題，如平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等，要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)幾何變換規(guī)則，并能進(jìn)一步結(jié)合坐標(biāo)進(jìn)行解答；這些考查緊扣《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對幾何直觀與空間想象能力的要求。第三，統(tǒng)計與概率板塊給出了實(shí)際生活中的調(diào)查問卷數(shù)據(jù)，利用分組、頻數(shù)直方圖、扇形統(tǒng)計圖等形式考查學(xué)生的統(tǒng)計觀念與分析推斷能力，突出綜合素養(yǎng)的評估。本卷的最大特點(diǎn)在于對數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)新運(yùn)用。多個題目結(jié)合了現(xiàn)代科技、中華傳統(tǒng)文化和現(xiàn)實(shí)生活，如“衛(wèi)星發(fā)射中心”、“古代榫卯結(jié)構(gòu)”與“端午節(jié)包粽子”等，不僅讓學(xué)生在解題時體驗(yàn)數(shù)學(xué)聯(lián)系生活的真實(shí)感，也培養(yǎng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的理解。這種命題方式與近年全國范圍內(nèi)倡導(dǎo)的“將數(shù)學(xué)應(yīng)用于真實(shí)情境”的理念相契合。試卷全面覆蓋代數(shù)、幾何、函數(shù)、幾何變換、概率與統(tǒng)計等知識領(lǐng)域，要求學(xué)生形成扎實(shí)的基礎(chǔ)運(yùn)算能力，同時注重思維過程的條理性、空間想象力和數(shù)形結(jié)合思想。教師在平時教學(xué)中應(yīng)盡量設(shè)計現(xiàn)實(shí)情境，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思維?？傊?，2025年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題充分體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與綜合能力的考查，難度梯度比較科學(xué)合理。試卷從情境設(shè)計到知識分布均與《課程標(biāo)準(zhǔn)》緊密銜接，既考查了學(xué)生“雙基”水平，又注重了邏輯思維、創(chuàng)新意識、數(shù)學(xué)應(yīng)用的綜合培養(yǎng)與選拔功能，值得廣大一線教師與同學(xué)深入研究及借鑒。1.情境設(shè)置更豐富貼近實(shí)際生活場景,如“端午節(jié)包粽子”活動、“智能軟件使用時間調(diào)查”、航天探測器發(fā)射和圍棋棋形討論等，均體現(xiàn)出密切結(jié)合社會熱點(diǎn)與傳統(tǒng)文化的命題方向。將函數(shù)、幾何、統(tǒng)計、概率等多知識點(diǎn)融入同一情境中，使考生需要在真實(shí)背景下靈活激活多個知識模塊。2.考查深度有所加強(qiáng)解答題中出現(xiàn)更多幾何綜合、函數(shù)綜合、統(tǒng)計與概率等交叉內(nèi)容。例如利用平移和旋轉(zhuǎn)、利用相似比例和三角函數(shù)、多視圖與立體幾何結(jié)合等，凸顯了對邏輯推理和多角度分析能力的要求。不少題目強(qiáng)調(diào)推導(dǎo)過程，對幾何證明和函數(shù)解析式求解的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性有更高要求，特別關(guān)注等腰三角形、內(nèi)接四邊形、平移及旋轉(zhuǎn)等重要幾何思想。3.知識融合度明顯提高多題同時涉及函數(shù)與幾何、函數(shù)與統(tǒng)計分析，要求學(xué)生在熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的同時，具備跨板塊遷移和綜合處理能力。如平面幾何與坐標(biāo)幾何結(jié)合、三角函數(shù)與菱形（或矩形）判定結(jié)合等，均要求對相關(guān)定理和技巧靈活應(yīng)用。綜上所述，2025年山東省青島市中考數(shù)學(xué)在沿襲原有題型數(shù)量的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步突出數(shù)學(xué)在真實(shí)情境中的綜合運(yùn)用，對考生思維靈活度和綜合能力提出更高要求，考查深度與知識融合度也有所增強(qiáng)。建議學(xué)生和教師在備考中加強(qiáng)對“實(shí)際應(yīng)用+多知識融合+過程推理”的訓(xùn)練，以適應(yīng)上述新變化。以下分析基于本套2025年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題試卷的整體結(jié)構(gòu)、考查內(nèi)容以及難易度分布情況。試卷共包含三大題型：單選題（第1～9題）、填空題（第10～15題）以及解答題（第16～25題）。題號分值題型考查內(nèi)容難度（約）難易分析13單選題相反數(shù)的定義0.94簡單23單選題軸對稱、中心對稱圖形判斷0.94簡單33單選題科學(xué)記數(shù)法0.94簡單43單選題三視圖0.94簡單53單選題坐標(biāo)變換與對稱、旋轉(zhuǎn)0.85中等63單選題冪的運(yùn)算0.85中等73單選題圓內(nèi)接四邊形、切線性質(zhì)0.85中等83單選題三角形折疊與等腰判定0.65中等93單選題二次函數(shù)圖象翻折0.85中等103填空題因式分解0.85中等113填空題方差及數(shù)據(jù)穩(wěn)定性0.85中等123填空題有理數(shù)絕對值比較0.85中等133填空題正多邊形與反比例函數(shù)0.85中等143填空題含30°0.65中等153填空題正方形性質(zhì)綜合0.40較難164解答題尺規(guī)作圖、等腰三角形0.85中等179解答題二次根式運(yùn)算、不等式組0.85中等186解答題概率（樹狀圖或列表法）0.85中等196解答題統(tǒng)計：扇形圖、頻數(shù)直方圖0.65中等206解答題解直角三角形（仰角與俯角）0.85中等218解答題分式方程與工程問題0.65中等228解答題全等、平行四邊形、菱形或矩形0.65中等238解答題定義新運(yùn)算、勾股定理0.65中等2410解答題二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用0.65中等2510解答題相似、平移、直角三角形綜合0.15困難在本套試題中，既涵蓋了對基礎(chǔ)概念的考查，也滲透了對綜合應(yīng)用和靈活思維的要求。為了幫助大家在接下來的復(fù)習(xí)中高效提升，這里從復(fù)習(xí)規(guī)劃、答題技巧、心理調(diào)適以及命題趨勢四個方面提出一些建議。（一）復(fù)習(xí)規(guī)劃1.基礎(chǔ)夯實(shí)階段注重知識點(diǎn)的全面梳理。建議將教材中的概念、性質(zhì)及常用結(jié)論逐一整理，如相反數(shù)與絕對值、y=ax2.專題突破階段以專題的形式針對薄弱點(diǎn)進(jìn)行攻克，如“函數(shù)與圖形變換”、“三視圖與幾何體”、“相似與全等幾何綜合”、“統(tǒng)計與概率”等。通過真題和模擬題，積累專題題型的解題方法。例如，對于“二次函數(shù)翻折到x軸上方”之類的新穎情境，要先明晰翻折對應(yīng)的函數(shù)解析式變化，再結(jié)合幾何意義作出準(zhǔn)確判斷。3.綜合提升階段有針對性地訓(xùn)練綜合運(yùn)用能力?？蓪⒍嘀R點(diǎn)組合在一起，如函數(shù)結(jié)合三角形的面積計算、平行四邊形性質(zhì)與向量思想等。注意限時訓(xùn)練，提高解題速度和規(guī)范性。保持一定的模擬測驗(yàn)頻率，并及時總結(jié)失分原因，作出針對性調(diào)整。（二）答題技巧1.選擇題：穩(wěn)中求快讀懂選項(xiàng)，先排除明顯錯誤，如同類項(xiàng)不可合并、因式分解錯誤、函數(shù)圖象明顯不符等，快速減少干擾。對于需要嚴(yán)格計算的選擇題，可事先用特殊值測試?或通過觀察系數(shù)與選項(xiàng)間的關(guān)系快速核實(shí)。不要糾結(jié)過久，避免耽誤整體時間。2.填空題：準(zhǔn)確高效注意題目往往只是要求結(jié)果，要在草稿中列清推導(dǎo)過程，算清楚再寫入答案。如涉及方差時，一定要先求出平均數(shù)，再合理計算各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差值的平方。對于幾何填空，務(wù)必先畫精確圖或輔助線，以免出現(xiàn)漏解。若需要結(jié)果保留π，要嚴(yán)格按照題意，不要私自換算。3.解答題：條理清晰，書寫規(guī)范建議按“已知—求證—證明”或“已知—求解—過程—結(jié)果”的思路分步書寫，每步注明依據(jù)的定理和計算細(xì)節(jié)。幾何證明時，首要是構(gòu)造輔助線，如過關(guān)鍵點(diǎn)作垂線或平分線，利用全等或相似思想展開推理；函數(shù)與幾何結(jié)合的題，要先明確坐標(biāo)意義再代入計算。（三）心理調(diào)適1.合理規(guī)劃，循序漸進(jìn)將剩余的復(fù)習(xí)時間分段安排：基礎(chǔ)夯實(shí)—專題提升—模擬實(shí)戰(zhàn)。每一階段完成后檢視自己是否達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，若未達(dá)成需及時補(bǔ)救。切忌短時間內(nèi)大量刷題而不做總結(jié)，建議做完題后對錯題進(jìn)行二次整理，找到根本漏洞并及時彌補(bǔ)。2.放松心態(tài)，保持自信中考前的壓力不容小覷，為防止臨場緊張，可采用適度鍛煉、聽音樂等方式減壓?？荚囍杏龅缴榫?，也不要慌張；回顧基礎(chǔ)定理、定律，并靈活遷移，就能更好地把握綜合題目的脈絡(luò)。（四）命題趨勢1.深化學(xué)科素養(yǎng)，注重生活情境從本套試題可以看出：如圍棋棋子擺放、天文探測、傳統(tǒng)榫卯結(jié)構(gòu)等，均體現(xiàn)出與生活情境緊密結(jié)合的特點(diǎn)。后續(xù)考試中也可能繼續(xù)深化，比如智能科技、綠色環(huán)保等主題的應(yīng)用背景題。2.函數(shù)與圖形變換的綜合考查對二次函數(shù)翻折、反比例函數(shù)解析式以及幾何圖形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、對稱）的聯(lián)系可能成為考查熱點(diǎn)。要熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律、多邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)計算等。3.立體幾何與平面幾何相結(jié)合如三視圖、軸對稱和中心對稱圖形等，在后續(xù)試卷中可能繼續(xù)出現(xiàn)與空間幾何結(jié)合的題型。要熟悉常見幾何體（棱柱、棱錐、圓柱、圓錐）的三視圖特點(diǎn)，并留意立體圖形中的表面積、體積計算。4.數(shù)據(jù)分析與概率統(tǒng)計中位數(shù)、方差、頻數(shù)分布直方圖、線性回歸等數(shù)據(jù)分析手段依舊是重點(diǎn)，且充滿與實(shí)際問題相結(jié)合的考查形式。面對數(shù)據(jù)信息題，一定要正確區(qū)分平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的含義，并注意繪圖或公式的使用細(xì)節(jié)。通過以上復(fù)習(xí)規(guī)劃、答題技巧以及心理調(diào)適策略，相信同學(xué)們能夠在后續(xù)的復(fù)習(xí)中有條不紊地提高水平，最終在中考數(shù)學(xué)中取得理想的成績。祝各位同學(xué)備考順利！加油！2025年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題一、選擇題：（本大題共9小題，每小題3分，共27分.下列各小題均有四個選項(xiàng)，其中只有一個是正確的.）1．的相反數(shù)為（

）A． B．6 C． D．【答案】B【詳解】解：的相反數(shù)為．故選：B．2．圍棋是中華民族發(fā)明的博弈活動．下列用棋子擺放的圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）A．B．C． D．【答案】D【詳解】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；B、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；C、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；D、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．2025年5月，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功將行星探測工程天問二號探測器發(fā)射升空，天問二號探測器將對小行星2016HO3和主帶彗星311P開啟科學(xué)探測，其中一個目標(biāo)所在軌道與太陽間距將達(dá)到億公里．億，將374000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：將374000000用科學(xué)記數(shù)法表示為．故選：B．4．如圖①，榫卯是古代中國建筑、家具及其它器械的主要結(jié)構(gòu)方式．圖②的左視圖是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得圖②的左視圖是．故選：A．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，將關(guān)于y軸的對稱圖形繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，∴點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，將點(diǎn)繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，∴如圖，點(diǎn)．故選：A．6．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：A、與不能合并，故該選項(xiàng)不符合題意；B、，故該選項(xiàng)不符合題意；C、，故該選項(xiàng)不符合題意；D、，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．7．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，直線與相切于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，，，如圖，∵，，∴，∵，四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵直線為的切線，∴，∴．故選：C．8．如圖，在三角形紙片中，，，將紙片沿著過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)；再將紙片沿著過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)．下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：C選項(xiàng)，在中，，，∴，∵是由翻折得到，∴，故C選項(xiàng)錯誤；A選項(xiàng)，∵是由翻折得到，，∴，∴，∴，∵是由翻折得到，∴，∴，在中，，∵，∴，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，∵，即，∴與不垂直，故B錯誤；D選項(xiàng)，過點(diǎn)G作交于點(diǎn)M，如圖，假設(shè)，∵是由翻折得到，∴，∵，∴為等腰三角形，∵，∴，即，∴，在中，，在中，，∵，∴，又∵，與已知不符，故D選項(xiàng)錯誤．故選：A．9．將二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分以軸為對稱軸翻折到軸上方，得到如圖所示的新函數(shù)圖象，下列對新函數(shù)的描述正確的是（

）A．圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 B．當(dāng)時，函數(shù)取得最大值C．圖象與軸兩個交點(diǎn)之間的距離為 D．當(dāng)時，的值隨值的增大而增大【答案】C【詳解】解：A選項(xiàng)，二次函數(shù)，令，解得，∴原二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，翻折后新函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，A選項(xiàng)錯誤；B選項(xiàng)，二次函數(shù)，對稱軸為，將代入函數(shù)解析式可得，∴原二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，翻折后新函數(shù)圖象的對稱軸不變，為，在處，函數(shù)沒有最大值，B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)，二次函數(shù)，令，則有，即，解得，，∴原二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，翻折后新函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)不變，為，，∴圖象與軸兩個交點(diǎn)之間的距離為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，新函數(shù)圖象的對稱軸為，由圖象可知，函數(shù)在時，的值隨值的增大而減小，當(dāng)時，的值隨值的增大而增大，D選項(xiàng)錯誤．故選：C．二、填空題：（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）10．因式分解．【答案】【詳解】解：．故答案為：．11．為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，培養(yǎng)學(xué)生的勞動意識，某校在端午節(jié)期間舉行了包粽子活動，每個粽子的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為．甲、乙兩名同學(xué)各包了個粽子，每個粽子的質(zhì)量（單位：）如下：甲：，，，，；乙：，，，，．甲、乙兩名同學(xué)包的粽子的質(zhì)量比較穩(wěn)定的是（填“甲”或“乙”）．【答案】甲【詳解】解：甲的平均數(shù)為：，∴；乙的平均數(shù)為：，∴，∵，∴甲、乙兩名同學(xué)包的粽子的質(zhì)量比較穩(wěn)定的是甲，故答案為：甲．12．實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則（填“”，“”或“”）．【答案】【詳解】解：由數(shù)軸可得，∴，故答案為：．13．如圖，正八邊形的頂點(diǎn)，，，在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)，，，在第一象限．點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，若，則的值為．【答案】/【詳解】解：過點(diǎn)F作軸交y軸于點(diǎn)M，如圖，正八邊形的內(nèi)角和為，∴每個內(nèi)角為，∴，則為等腰直角三角形，又∵正八邊形的邊長為，∴，即，可得，同理可得為等腰直角三角形，即，∴可得，∴點(diǎn)，又∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得．故答案為：．14．如圖，在扇形中，，，點(diǎn)在上，且．延長到，使．以，為鄰邊作平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留）．【答案】【詳解】解：過A作，∵，，，∵，∴，，，，設(shè)長度為，則，在中，由勾股定理得：解得：，，，則，，，．故答案為：．15．如圖，在正方形中，，分別為，的中點(diǎn)．連接并延長交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，，．下列結(jié)論：①；②；③；④．正確的是（填寫序號）．【答案】①④【詳解】解：∵正方形，∴，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，故①正確；∵正方形，∴，即，∴，∵正方形，∴，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，故②錯誤；∵，∴，設(shè)正方形的邊長為，∴，，∴，故③錯誤；∵正方形，∴，，∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故④正確；故答案為：①④．三、作圖題：（本大題滿分4分，請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）16．已知：如圖，是內(nèi)部一點(diǎn)．求作：等腰，使點(diǎn)，分別在射線，上，且底邊經(jīng)過點(diǎn)．【詳解】解：如圖，等腰即為所作：四、解答題：（本大題共9個小題，共71分.）17．（9分）（1）計算：；（2）解不等式組：并寫出它的整數(shù)解．【詳解】（1）解：；（2）解：不等式組為，則有，解得，則有，解得，∴不等式組的解集為，則整數(shù)解為．18．（6分）京劇以其獨(dú)特的藝術(shù)魅力和深厚的文化底蘊(yùn)聞名于世，京劇的角色有生、旦、凈、丑等．現(xiàn)有4張不透明卡片，正面分別印有“生”、“旦”、“凈”、“丑”四種角色的卡通人物，卡片除正面圖案外其余都相同．將這4張卡片背面朝上洗勻，先隨機(jī)抽取一張，再從剩下的3張中隨機(jī)抽取一張．利用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并求抽取到的兩張卡片中有“生”的概率．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中抽取到的兩張卡片中有“生”的結(jié)果數(shù)有6種，∴抽取到的兩張卡片中有“生”的概率是．19．（6分）某校舉行科技節(jié)，科技小組為了解學(xué)生使用智能軟件的情況開展了統(tǒng)計活動．【收集數(shù)據(jù)】科技小組設(shè)計了如下調(diào)查問卷，在全校隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，收集得到“問題1”和“問題2”的數(shù)據(jù)．（被調(diào)查學(xué)生兩個問題全部按要求作答并提交）調(diào)查問卷問題1：你使用智能軟件的主要目的是（

）．（單選）A．學(xué)習(xí)管理B．健康C．時間管理D．其他問題2：你每周使用智能軟件的時間是____分鐘．【整理和表示數(shù)據(jù)】第一步：將“問題1”的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，繪制成如下的人數(shù)統(tǒng)計表；第二步：將“問題2”中每周使用智能軟件的時間（分鐘）整理分成4組：①，②，③，④，并繪制成如下的頻數(shù)直方圖．學(xué)生使用智能軟件主要目的的人數(shù)統(tǒng)計表目的人數(shù)累計人數(shù)A正正正正正正30B正正丅12C正正正15D3學(xué)生每周使用智能軟件時間的頻數(shù)直方圖（1）若將“問題1”的數(shù)據(jù)繪制成扇形統(tǒng)計圖，則目的“B”對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為____°；（2）補(bǔ)全頻數(shù)直方圖；【分析數(shù)據(jù)，解答問題】（3）已知“”這組的數(shù)據(jù)是：60，60，62，62，63，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85．被調(diào)查的全部學(xué)生每周使用智能軟件時間的中位數(shù)為____分鐘；（4）全校共有1200名學(xué)生，請你估計使用智能軟件主要用于“學(xué)習(xí)管理”的人數(shù)．【詳解】（1）解：由題意得，目的“B”對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為：，故答案為：；（2）解：由（1）知總?cè)藬?shù)為（人），∴每周使用智能軟件的時間在這一組的人數(shù)為：，∴補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖為：（3）由于每周使用智能軟件的時間在和人數(shù)分別為，而總?cè)藬?shù)為人，則中位數(shù)為第人使用智能軟件的時間的平均數(shù)，由“”這組的數(shù)據(jù)可得第人使用智能軟件的時間為分鐘，∴中位數(shù)為，故答案為：61；（4）（人），答：估計使用智能軟件主要用于“學(xué)習(xí)管理”的人數(shù)為人．20．（6分）學(xué)校綜合實(shí)踐小組測量博學(xué)樓的高度．如圖，點(diǎn)，，，，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)，，在同一水平線上，一組成員從19米高的厚德樓頂部測得博學(xué)樓的頂部的俯角為，另一組成員沿方向從厚德樓底部點(diǎn)向博學(xué)樓走15米到達(dá)點(diǎn)，在點(diǎn)測得博學(xué)樓頂部的仰角為，求博學(xué)樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得，，，，，∵，∴四邊形是矩形，∴，在中，∵，∴，∴設(shè)，則，，在中，∵，∴，解得：，∴，答：博學(xué)樓的高度為9米．21．（8分）某公司成功研發(fā)了一款新型產(chǎn)品，接到了首批訂單，產(chǎn)品數(shù)量為2100件．公司有甲、乙兩個生產(chǎn)車間，甲車間每天生產(chǎn)的數(shù)量是乙車間的1.5倍．先由甲、乙兩個車間共同完成1500件，剩余產(chǎn)品再由乙車間單獨(dú)完成，前后共用10天完成這批訂單．(1)求甲、乙兩個車間每天分別能生產(chǎn)多少件產(chǎn)品；(2)首批訂單完成后，公司將繼續(xù)生產(chǎn)30天該產(chǎn)品，每天只能安排一個車間生產(chǎn)，如果安排甲車間生產(chǎn)的天數(shù)不多于乙車間的2倍，要使這30天的生產(chǎn)總量最大，那么應(yīng)如何安排甲、乙兩個車間的生產(chǎn)天數(shù)？【詳解】（1）解：設(shè)乙車間每天能生產(chǎn)件產(chǎn)品，則甲車間每天能生產(chǎn)件產(chǎn)品，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意，則（件），答：甲車間每天能生產(chǎn)件產(chǎn)品，乙車間每天能生產(chǎn)件產(chǎn)品（2）解：設(shè)安排甲車間生產(chǎn)天，則乙車間生產(chǎn)天，由題意得：，解得：，設(shè)生產(chǎn)總量為，由題意得：，∵，∴隨著的增大而增大，∴當(dāng)時，最大，即這30天的生產(chǎn)總量最大，∴，∴安排甲車間生產(chǎn)天，則乙車間生產(chǎn)天．22．（8分）如圖，在中，為的中點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)已知____（從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：；條件②：．（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個解答計分）【詳解】（1）證明：∵，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴（2）解：選擇條件①，四邊形為矩形，理由如下：∵∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為矩形；選擇條件②，四邊形為菱形，理由如下：∵∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴四邊形為菱形．23．（8分）【定義新運(yùn)算】對正實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算“”，滿足．例如：當(dāng)時，．（1）當(dāng)時，請計算：__________；【探究運(yùn)算律】對正實(shí)數(shù)，，運(yùn)算“”是否滿足交換律？，，．運(yùn)算“”滿足交換律．（2）對正實(shí)數(shù)，，，運(yùn)算“”是否滿足結(jié)合律？請說明理由；【應(yīng)用新運(yùn)算】（3）如圖，正方形是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成，，，且．若正方形與正方形的面積分別為26和16，則的值為__________．【詳解】（1）解：由新定義得，；（2）解：對正實(shí)數(shù)，，，運(yùn)算“”滿足結(jié)合律，理由如下：左邊：，右邊：，∴左邊右邊，∴對正實(shí)數(shù)，，，運(yùn)算“”滿足結(jié)合律；（3）由題意得，，∴，∵，，且，正方形的面積為26，∴，∵四個直角三角形全等，∴，∴，∵正方形的面積為16，∴，∴，∴，∴，∴，∴（舍負(fù)），∴，故答案為：．24．（10分）小磊和小明練習(xí)打網(wǎng)球．在一次擊球過程中