五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題07函數(shù)的應(yīng)用考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢函數(shù)零點(diǎn)的定義（5年1考）2025年求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)上海高考數(shù)學(xué)函數(shù)的應(yīng)用命題呈現(xiàn)“基礎(chǔ)與創(chuàng)新并重、實(shí)際與理論結(jié)合”的特點(diǎn)，未來趨勢將繼續(xù)強(qiáng)化核心素養(yǎng)考查，突出導(dǎo)數(shù)工具的應(yīng)用、新情境問題的設(shè)計(jì)，以及跨學(xué)科綜合能力。備考時(shí)關(guān)注社會熱點(diǎn)與科學(xué)前沿，提升將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際問題的素養(yǎng)。函數(shù)零點(diǎn)的分布（5年2考）2024年根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍2023年根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用（5年1考）2021年函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用考點(diǎn)01函數(shù)零點(diǎn)的定義1．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋畬τ谡龑?shí)數(shù)a，定義集合．(1)若，判斷是否是中的元素，請說明理由；(2)若，求a的取值范圍；(3)若是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對任意，均有．寫出，解析式，并證明：對任意實(shí)數(shù)c，函數(shù)在上至多有9個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)不是；(2)；(3)證明見解析.【知識點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)、集合新定義〖祥解〗（1）直接代入計(jì)算和即可；（2）法一：轉(zhuǎn)化為在實(shí)數(shù)使得，分析得，再計(jì)算得，最后根據(jù)的范圍即可得到答案；法二：畫出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為直線與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，將用表示，最后利用二次函數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；（3）利用函數(shù)奇偶性和集合新定義即可求出時(shí)解析式，再分析出，最后對的范圍進(jìn)行分類討論即可.【詳析】（1）（1），，則不是中的元素.（2）法一：因?yàn)?，則存在實(shí)數(shù)使得，且，當(dāng)時(shí)，，其在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，其在上也嚴(yán)格單調(diào)遞增，則，則，令，解得，則，則.法二：作出該函數(shù)圖象，則由題意知直線與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知，假設(shè)交點(diǎn)分別為，，聯(lián)立方程組得（3）（3）對任意，因?yàn)槠涫桥己瘮?shù)，則，而，所以，所以，因?yàn)椋瑒t，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，，則，，則，而，，則，則，所以當(dāng)時(shí)，，而為偶函數(shù)，畫出函數(shù)圖象如下：其中，但其對應(yīng)的值均未知.首先說明，若，則，易知此時(shí)，則，所以，而時(shí)，，所以，與矛盾，所以，即，令，則，當(dāng)時(shí)，即使讓，此時(shí)最多7個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)最多5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)最多5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，若，則，易知此時(shí)，則，所以，而時(shí)，，所以，與矛盾，所以，則最多在之間取得6個(gè)零點(diǎn)，以及在處成為零點(diǎn)，故不超過9個(gè)零點(diǎn).綜上，零點(diǎn)不超過9個(gè).考點(diǎn)02函數(shù)零點(diǎn)的分布2．（2023·上?！じ呖颊骖}）函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)c，使得為奇函數(shù)；(2)若函數(shù)過點(diǎn)，且函數(shù)圖像與軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)不存在(2)且【知識點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍、由奇偶性求參數(shù)〖祥解〗（1）將代入得，先考慮其定義域，再假設(shè)為奇函數(shù)，得到方程無解，從而得以判斷；（2）先半點(diǎn)代入求得，從而得到，再利用二次函數(shù)的根的分布得到關(guān)于的不等式組，解之可得，最后再考慮的情況，從而得到的取值范圍.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋僭O(shè)為奇函數(shù)，則，而，則，此時(shí)無實(shí)數(shù)滿足條件，所以不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)；（2）圖像經(jīng)過點(diǎn)，則代入得，解得，所以，定義域?yàn)?，令，則的圖像與軸負(fù)半軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即，解得，若，即是方程的解，則代入可得，解得或.由題意得，所以實(shí)數(shù)的取值范團(tuán)且.3．（2024·上?！じ呖颊骖}）若．(1)過，求的解集；(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、等差中項(xiàng)的應(yīng)用〖祥解〗（1）求出底數(shù)，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求不等式的解；（2）存在使得成等差數(shù)列等價(jià)于在上有解，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍．【詳析】（1）因?yàn)榈膱D象過，故，故即（負(fù)的舍去），而在上為增函數(shù)，故，故即，故的解集為.（2）因?yàn)榇嬖谑沟贸傻炔顢?shù)列，故有解，故，因?yàn)?，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域?yàn)椋始?考點(diǎn)03函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用4．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的定義域；（2）若，若有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【知識點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、公式法解絕對值不等式〖祥解〗（1）解絕對值不等式即可得答案；（2）利用有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)根，利用換元法可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）分與兩類情況，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的的取值范圍.【詳析】解：（1），∴，解得；所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由題知有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以，，設(shè)，∴有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，∴整理得，有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，同時(shí)，∴；（3）當(dāng)，，在遞減，此時(shí)需滿足，即時(shí)，函數(shù)在上遞減；當(dāng)，，在上遞減，∵，∴，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上連續(xù)，且單調(diào)遞減.所以的取值范圍是【『點(diǎn)石成金』】本題第二問解題的關(guān)鍵在于利用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為，有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，進(jìn)而求解，第三問解題的關(guān)鍵在于分類討論求解.一、單選題1．（2025·上海徐匯·二模）已知函數(shù)的定義域和值域都為，且圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，其導(dǎo)函數(shù)的值如下表：＋0－0＋設(shè)，若集合，其中為常數(shù)，則符合要求的集合的個(gè)數(shù)不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)若對應(yīng)的的取值的情況可以有1個(gè)，2個(gè)或3個(gè)，且對應(yīng)2個(gè)根的情況的時(shí)候即可判斷A，根據(jù)若對應(yīng)的根的個(gè)數(shù)為2，2，3即可判斷C，根據(jù)若對應(yīng)的根的個(gè)數(shù)為3，3，3即可判斷D.【詳析】由題意可得，若對應(yīng)的的取值的情況可以有1個(gè)，2個(gè)或3個(gè)，且對應(yīng)2個(gè)根的情況的時(shí)候，的取值只要2個(gè)，若對應(yīng)的根的個(gè)數(shù)為1，1，2，則符合要求的集合的個(gè)數(shù)為，A有可能；若對應(yīng)的根的個(gè)數(shù)為2，2，3，則符合要求的隹合的個(gè)數(shù)為，C有可能；若對應(yīng)的根的個(gè)數(shù)為3，3，3，則符合要求的集合的個(gè)數(shù)為，D有可能.故選：B.二、填空題2．（2025·上?！つM預(yù)測）關(guān)于x的方程的解集為．【答案】〖祥解〗根據(jù)的取值范圍去絕對值，分類討論解方程即可.【詳析】.當(dāng)時(shí)，令得；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，令得.綜上所述，方程的解集為.故答案為：.3．（2025·上?！と＃┖瘮?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【答案】3〖祥解〗根據(jù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點(diǎn)，由圖即可得出答案.【詳析】根據(jù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

時(shí)，函數(shù)取最大值，時(shí)函數(shù)的值為，又因?yàn)椋Y(jié)合圖象可知，兩函數(shù)圖象具有個(gè)交點(diǎn).所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：.4．（2025·上海閔行·二模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】〖祥解〗先結(jié)合題意由等差和等比數(shù)列的基本量法求出兩數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)而求出，再構(gòu)成函數(shù)，分析單調(diào)性和根即可.【詳析】由題意可得等差數(shù)列的公差為，所以，所以，等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，即，即，設(shè)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，再由二分法確定當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.5．（2025·上海青浦·模擬預(yù)測）道路通行能力指單位時(shí)間（1小時(shí)）內(nèi)通過道路上指定斷面的最大車輛數(shù)，是度量道路疏導(dǎo)交通能力的指標(biāo).同時(shí)為了行駛安全，車輛之間必須保持一定的安全距離.為了研究某城市道路通行能力，現(xiàn)給出如下假設(shè)：假設(shè)1：車身長度均為4.8米；假設(shè)2：所有車輛以相同的速度（單位：千米／小時(shí)）勻速行駛；假設(shè)3：安全距離（單位：米）與車輛速度近似滿足.該城市道路通行能力的最大值約為.（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】821〖祥解〗由題意，先進(jìn)行單位換算統(tǒng)一單位，整理函數(shù)解析式，利用基本不等式，可得答案.,【詳析】1小時(shí)秒，車輛速度（千米／小時(shí)）換算為米／秒是米／秒.1小時(shí)內(nèi)通過的車輛數(shù).根據(jù)基本不等式（），，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以，即該城市道路通行能力的最大值約為821.故答案為：821.6．（2025·上?！つM預(yù)測）如圖所示，正方形是一塊邊長為的工程用料，陰影部分所示是被腐蝕的區(qū)域，其余部分完好，曲線為以為對稱軸的拋物線的一部分，．工人師傅現(xiàn)要從完好的部分中截取一塊矩形原料，當(dāng)其面積有最大值時(shí)，的長為．

【答案】〖祥解〗建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，由已知求出拋物線方程，當(dāng)時(shí)，矩形面積最大時(shí)為，當(dāng)，設(shè)，即可得到關(guān)于的函數(shù)式，利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性，即可得到最值.【詳析】由題知，以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)方程為：，所以，，方程為：，令矩形面積為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，設(shè)，則，所以，則，令，則，在上遞增，令，則或，在上遞減，又，，，所以當(dāng)?shù)拈L為時(shí)，該矩形面積最大.

故答案為：7．（2025·上?！つM預(yù)測）已知設(shè)，，若關(guān)于的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是.【答案】〖祥解〗作出函數(shù)的圖象，令，即，設(shè)為方程的兩個(gè)根，且，分、兩種情況進(jìn)行討論，從而可得以及實(shí)數(shù)a的取值范圍，則的范圍可求.【詳析】作出函數(shù)的圖像，如圖所示，

有，，當(dāng)時(shí)，令，即，設(shè)為方程的兩個(gè)根，且，由于，則有，當(dāng)時(shí)，，則必有，則必包含在不等式的解中，由圖可知的解為，此時(shí)不等式的解中有2個(gè)整數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的值唯一，因?yàn)榈慕馇∮幸粋€(gè)整數(shù)，所以這個(gè)整數(shù)為，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為，即有最大值為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即；故答案為：.8．（2025·上海黃浦·二模）設(shè)、為常數(shù)，，若對任意的，函數(shù)在區(qū)間上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】〖祥解〗根據(jù)已知討論、、，結(jié)合對應(yīng)的解析式求值域，及零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.【詳析】由，則，又，當(dāng)，，此時(shí)無零點(diǎn)，當(dāng)，，此時(shí)無零點(diǎn)，當(dāng)，如下圖，此時(shí)，而，要使在區(qū)間上恰有4個(gè)根，則，則.

故答案為：9．（2025·上海松江·二模）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰好有6個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】〖祥解〗由最多有兩個(gè)零點(diǎn)，可得至少四個(gè)根，分別討論當(dāng)和時(shí)兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況，再結(jié)合考慮求解即可.【詳析】當(dāng)時(shí)，令，則，解得.因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，其對稱軸為，二次函數(shù)最多兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)：結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)，解得，即；解得，即，，所以當(dāng)二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是.此時(shí)應(yīng)有四個(gè)解，即有四個(gè)解.當(dāng)時(shí)，；所以，即當(dāng)時(shí)，；所以，即當(dāng)時(shí)，；所以，即當(dāng)時(shí)，；所以，即所以當(dāng)有四個(gè)解時(shí)所以當(dāng)在區(qū)間內(nèi)恰好有6個(gè)零點(diǎn)時(shí)的取值范圍是.當(dāng)二次函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)：或，即或，此時(shí)應(yīng)有五個(gè)解，即有五個(gè)解，即，所以；當(dāng)二次函數(shù)有零個(gè)零點(diǎn)時(shí)：，即，此時(shí)應(yīng)有六個(gè)解，即有六個(gè)解，即，所以此時(shí)無符合條件的的值.終上所述：的取值范圍是.故答案為：10．（2025·上海普陀·二模）設(shè)，函數(shù)的表達(dá)式為，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】〖祥解〗根據(jù)和的符號，將分為三個(gè)區(qū)間，，，并得到對應(yīng)的不同的表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，有唯一解，通過分離常數(shù)得到，借助導(dǎo)數(shù)得到在上的值域，即可得到的取值范圍；當(dāng)時(shí)，將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)在上恰有兩解的問題，即可求出的取值范圍.【詳析】①當(dāng)時(shí)，所以，，，解得，不符合題意，所以在上無解.②當(dāng)時(shí)，，所以，，，令，所以，即令，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，即.此時(shí)在上有唯一解；③當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩解，即在上有兩解，即在上有兩解.令所以，即解得，綜上①②③，所以的取值范圍是.故答案為：.三、解答題11．（2025·上海松江·三模）已知函數(shù)的圖像相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為.(1)求的值及的解集；(2)在中，為的一個(gè)內(nèi)角，若滿足，，且，求周長.【答案】(1)2；(2)〖祥解〗（1）根據(jù)題設(shè)有，即可得解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解方程即可；（2）根據(jù)已知可得，應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式得、，進(jìn)而可得，即可得周長.【詳析】（1）由題設(shè)，則，令或，，所以或，，故解集為．（2）由題設(shè)，即，，所以，，又是三角形內(nèi)角，故，由，即，由，則，所以，易得，所以周長為．12．（2025·上海長寧·二模）已知向量．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)，.(2)〖祥解〗（1）由數(shù)量積的坐標(biāo)形式結(jié)合三角變換公式可得，由整體法可求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為與的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求參數(shù)的取值范圍.【詳析】（1），令，則，其中，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）由題設(shè)有在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，而，故在有兩個(gè)不同的解，故與的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，而在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，且，故，故.13．（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測）設(shè)常數(shù).已知函數(shù).(1)若，求在區(qū)間上的零點(diǎn)；(2)若在上嚴(yán)格增，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)〖祥解〗（1）由零點(diǎn)的定義建立方程，根據(jù)三角函數(shù)恒等式，結(jié)合正切函數(shù)，可得答案；（2）由函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，建立不等式，可得答案.【詳析】（1），當(dāng)時(shí)，，，解得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.（2），求導(dǎo)可得即在上恒成立，即當(dāng)時(shí)，，，故，所以.14．（2025·上海金山·三模）如圖所示是函數(shù)的圖象，由指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)“拼接”而成．(1)已知，求的取值范圍；(2)若方程存在實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入函數(shù)、的解析式，求出、的值，可得出函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)的定義域、單調(diào)性結(jié)合可得出關(guān)于的不等式組，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）分析可知的取值范圍即為函數(shù)的值域，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳析】（1）由題意可得，解得，故.因?yàn)楹瘮?shù)在上嚴(yán)格減，由可得，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）因?yàn)榉匠檀嬖趯?shí)數(shù)解，即方程存在實(shí)數(shù)解，則的取值范圍即為函數(shù)的值域，由題圖可知，函數(shù)的值域?yàn)?，故函?shù)的值域?yàn)椋?，即，解得或，因此，?shí)數(shù)的取值范圍是.15．（2025·上?！と＃┮阎瘮?shù)，(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)已知函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)〖祥解〗根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性列出不等式即可求出原不等式解集；根據(jù)是偶函數(shù)求出，令，求出的取值范圍，令，將原題轉(zhuǎn)化為方程有解問題即可求解.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，函數(shù)是和都是R上的減函數(shù)，所以為減函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，解得或，即原不等式解集為．（2）由于是偶函數(shù)，則，代入化簡得，解得，令，，則，所以在上有解，，因?yàn)楹瘮?shù)在上嚴(yán)格增，所以，解得，故的取值范圍為．16．（2025·上海楊浦·二模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)的定義域?yàn)?，且不等式對任意成立，則稱函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.(1)判斷是否為“超導(dǎo)函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，且對任意，都有，，記，求證：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”；(3)已知函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”且，若有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.【答案】(1)是，理由見解析；(2)證明見解析；(3)或.〖祥解〗（1）求出導(dǎo)數(shù)，再利用“超導(dǎo)函數(shù)”定義判斷即可.（2）求出的導(dǎo)數(shù)，作差變形，利用“超導(dǎo)函數(shù)”定義推理判斷符號即得.（3）構(gòu)造函數(shù)，利用“超導(dǎo)函數(shù)”定義確定單調(diào)性可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)值集合，結(jié)合已知求出范圍.【詳析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，所以是“超導(dǎo)函數(shù)”.（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，由函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，得，由對任意，都有，，得，因此，即，所以函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.（3）由函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”，得對任意，，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，由，得，即，因此，即，令，由有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足，得直線與函數(shù)的圖象有且只有1個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值的集合為，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值的集合為，因此當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有且只有1個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍或.17．（2025·上海黃浦·三模）已知函數(shù)是定義在D上的連續(xù)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，定義函數(shù)運(yùn)算：．(1)若，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，并判斷的符號；(2)若，，討論方程解的個(gè)數(shù)；(3)若，當(dāng)，，記與中較大者為．證明：．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)證明見解析〖祥解〗（1）令，解得或，再求，分別代入求解即可；（2）求出，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，分類討論即可得到答案.（3）假設(shè)在上的最大值在某個(gè)內(nèi)點(diǎn)處取得，可得，結(jié)合導(dǎo)出矛盾，則假設(shè)不成立，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳析】（1），令，解得或，由或；由.所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）因?yàn)椋?，，則，令，，，令，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以在上嚴(yán)格遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上嚴(yán)格遞減，所以函數(shù)在處取得最大值；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，的圖象無交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解；（3）假設(shè)在上的最大值在某個(gè)內(nèi)點(diǎn)處取得，即時(shí)，由最大值的定義且可導(dǎo)，且，，因?yàn)楫?dāng)，，所以，所以，由于，所以，所以，但，而，這與矛盾，因此，函數(shù)在上的最大值只能在端點(diǎn)或處取得，即18．（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測）設(shè).已知.(1)若，求函數(shù)的值域；(2)若關(guān)于的方程有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若且函數(shù)有最小值，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）帶入?yún)?shù)，求出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)值域.（2）構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)單調(diào)性和極值，找出方程有三個(gè)解的范圍，求得參數(shù)范圍.（3）根據(jù)函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)是否有最小值，確定參數(shù)范圍.【詳