五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題07計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢考點(diǎn)1二項(xiàng)式定理（5年4考）2025北京卷、2024北京卷、2022北京卷、2021北京卷回顧近五年北京卷高考命題，二項(xiàng)式定理是高頻考點(diǎn)。在選擇填空題部分，該知識(shí)點(diǎn)幾乎每年都會(huì)出現(xiàn)，主要考查考生對二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)等基礎(chǔ)內(nèi)容的掌握與運(yùn)用，題目形式較為靈活多樣。解答題考查趨勢穩(wěn)定且注重實(shí)際應(yīng)用。題目常結(jié)合生活場景，如保險(xiǎn)索賠、體育比賽、核酸檢測等，考查學(xué)生運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。考查內(nèi)容涵蓋概率計(jì)算、期望與方差求解、分布列構(gòu)建、獨(dú)立性檢驗(yàn)等。同時(shí)，注重考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理與分析能力，如利用樣本估計(jì)總體、繪制統(tǒng)計(jì)圖表等。未來考查可能繼續(xù)強(qiáng)化實(shí)際應(yīng)用，增加數(shù)據(jù)處理難度，并融合其他數(shù)學(xué)知識(shí)，提升題目綜合性與靈活性?？键c(diǎn)2求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望（5年4考）2025北京卷、2024北京卷、2022北京卷、2021北京卷考點(diǎn)3古典概型（5年1考）2023北京卷考點(diǎn)01二項(xiàng)式定理1．（2025·北京·高考真題）已知，則；．【答案】【解析】令，則，又，故，令，則，令，則，故故答案為：.2．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的二項(xiàng)展開式為，令，解得，故所求即為.故選：A.3．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【解析】令，則，令，則，故，故選：B.4．（2021·北京·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.考點(diǎn)02求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望5．（2025·北京·高考真題）某次考試中，只有一道單項(xiàng)選擇題考查了某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校的高一年級學(xué)生都參加了這次考試.為了解學(xué)生對該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，隨機(jī)抽查了甲、乙兩校高一年級各100名學(xué)生該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為80，乙校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為75.假設(shè)學(xué)生之間答題相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)甲校高一年級學(xué)生該題選擇正確的概率(2)從甲、乙兩校高一年級學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名，設(shè)X為這2名學(xué)生中該題選擇正確的人數(shù)，估計(jì)的概率及X的數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)：如果沒有掌握該知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生就從題目給出的四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)作為答案；如果掌握該知識(shí)點(diǎn)，甲校學(xué)生選擇正確的概率為，乙校學(xué)生選擇正確的概率為.設(shè)甲、乙兩校高一年級學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率估計(jì)值分別為，，判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.【解析】（1）估計(jì)甲校高一年級學(xué)生該題選擇正確的概率.（2）設(shè)為“從甲校抽取1人做對”，則，，設(shè)為“從乙校抽取1人做對”，則，，設(shè)為“恰有1人做對”，故依題可知，可取，，，，故的分布列如下表：故.（3）設(shè)為“甲校掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生做該題”，因?yàn)榧仔Ｕ莆者@個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有的概率做對該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，故，即，故，同理有，，故，故.6．（2024·北京·高考真題）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大小．（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得.（2）（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得，，，，故故（萬元）.（ⅱ）由題設(shè)保費(fèi)的變化為，故（萬元），從而.7．（2022·北京·高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.8．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測,如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時(shí)需對每人再進(jìn)行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)【解析】（1）①對每組進(jìn)行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.考點(diǎn)03古典概型9．（2023·北京·高考真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同．時(shí)段價(jià)格變化第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用頻率估計(jì)概率．(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的．在未來的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，天里，有個(gè)，也就是有天是上漲的，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為：（2）在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，于是未來任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是（3）由于第天處于上漲狀態(tài)，從前次的次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，因此估計(jì)第次不變的概率最大.

1．（2025·北京海淀·二模）在的展開式中，的系數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的展開式通項(xiàng)為，令，可得，所以的系數(shù)為，解得.故選：A.2．（2025·北京昌平·二模）若，則（

）．A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】令得：，令得：，所以，故選：D.3．（2025·北京·模擬預(yù)測）在一次體育水平測試中，甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加，其中：甲校男生成績的優(yōu)秀率為，女生成績的優(yōu)秀率為；乙校男生成績的優(yōu)秀率為，女生成績的優(yōu)秀率為，對于此次測試，給出下列三個(gè)結(jié)論：①甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績的優(yōu)秀率；②甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率；③甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；因?yàn)榧滓覂尚５哪猩膬?yōu)秀率均大于女生成績的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率，故②正確；因?yàn)椴荒艽_定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系，故③正確.故選：C.4．（2025·北京朝陽·一模）位同學(xué)參加學(xué)校組織的某棋類單循環(huán)制比賽，即任意兩位參賽者之間恰好進(jìn)行一場比賽．每場比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝者計(jì)分，負(fù)者計(jì)分，平局各計(jì)分．所有比賽結(jié)束后，若這位同學(xué)的得分總和為分，且平局總場數(shù)不超過比賽總場數(shù)的一半，則平局總場數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)平局總場數(shù)為，且所有比賽的場數(shù)為，由題意可知，，由于能決定勝負(fù)的每場選手的得分之和為分，每場平局選手的得分之和為分，由題意可得，所以，，因?yàn)槠骄挚倛鰯?shù)不超過比賽總場數(shù)的一半，則，整理可得，因?yàn)椋獾?，所以，平局的局?jǐn)?shù)為.故選：B.5．（2025·北京·二模）若，則（

）A．0 B．1 C．4 D．8【答案】A【解析】法一：令，則，所以原式左邊為，原式右邊為，所以.法二：根據(jù)二項(xiàng)式定理，得所以所以.故選：A.6．（2025·北京東城·一模）在的展開式中，的系數(shù)為10，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】因?yàn)榈耐?xiàng)為，令，解得，則，解方程得：.故選：D.7．（2025·北京通州·一模）在的展開式中，x的系數(shù)為（

）A． B． C．32 D．40【答案】A【解析】通項(xiàng)公式，令，得，所以x的系數(shù)為，故選：A8．（2025·北京西城·一模）在的展開式中，的系數(shù)等于（

）A．6 B．12C．18 D．24【答案】D【解析】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為，，令，則，即的系數(shù)等于24.故選：D9．（2025·北京朝陽·一模）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的展開式通項(xiàng)為，令，解得，所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D.10．（2025·北京·三模）已知，則.【答案】【解析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式可知，當(dāng)，即時(shí)，可得，即.故答案為：.11．（2025·北京海淀·模擬預(yù)測）若，則．【答案】【解析】由題意可知，，則，解得，故.故答案為：.12．（2025·北京朝陽·二模）在的展開式中，若二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，則，此時(shí)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）【答案】6135【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，則，；通項(xiàng)公式為，令，所以的系數(shù)為.故答案為：；.13．（2025·北京房山·一模）設(shè)，則；當(dāng)時(shí)，．【答案】【解析】令可得：，的通項(xiàng)為：，令可得，令可得，所以由可得，所以.故答案為：；.14．（2025·北京大興·三模）為測試、兩款人工智能軟件解答數(shù)學(xué)問題的能力，將100道難度相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)試題從1到100編號(hào)后隨機(jī)分配給這兩款軟件測試．每道試題只被一款軟件解答一次，記錄結(jié)果如下：試題類別軟件軟件測試試題數(shù)量正確解答的數(shù)量測試試題數(shù)量正確解答的數(shù)量函數(shù)試題30242018幾何試題20163020(1)估計(jì)軟件能正確解答數(shù)學(xué)問題的概率；(2)小明決定采用這兩款軟件解答3道類似試題（假設(shè)其難度和測試的100道題基本相同），其中函數(shù)2道，幾何1道；使用軟件解答2道函數(shù)試題，使用軟件解答1道幾何試題；每道試題只用其中一款軟件解答一次．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每次解答相互獨(dú)立．用表示3道類似試題被正確解答的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)小明準(zhǔn)備用這兩款軟件來解決某次數(shù)學(xué)測試中的第12題（假設(shè)其難度和測試的100道題基本相同），但該題內(nèi)容還未知，從已往情況來看，該題是函數(shù)題的概率為，幾何題的概率為．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，試說明小明用哪款軟件正確解答這道試題的概率大？（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）記軟件能正確解答數(shù)學(xué)問題為事件，結(jié)合題中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可得．（2）解法一：使用軟件解答函數(shù)試題正確的概率為，使用軟件解答幾何試題正確的概率為；的可能取值為0、1、2、3，，，，，則其分布列為：0123其期望為：；解法二：函數(shù)試題用軟件解答，幾何試題用軟件解答．用、分別表示這2道函數(shù)試題與1道幾何試題被正確解答的個(gè)數(shù)，因?yàn)?，?1201的可能取值為0、1、2、3，，，，，則其分布列為：0123由二項(xiàng)分布的期望公式可得，因?yàn)?，相互?dú)立，則．（3）小明應(yīng)該使用軟件來解決這道試題．記“軟件能正確解答這道題”為事件，“軟件能正確解答這道題”為事件，“該題為幾何題”為事件．則，，，，，，由全概率公式可得．．因?yàn)椋攒浖軌蛘_解決這道試題的概率更大，故小明應(yīng)該使用軟件來解決這道試題．15．（2025·北京海淀·三模）某AI大模型想象力引擎處理用戶問題分為“深度思考”模式，“聯(lián)網(wǎng)搜索”模式和“兼用”模式（即同時(shí)使用“深度思考”和“聯(lián)網(wǎng)搜索”）三種模式，用戶可根據(jù)需求在提問時(shí)自由選擇．為了調(diào)查用戶對不同模式的使用頻率和使用大模型研究問題的種類，該公司調(diào)查了不同用戶最近提出的共10000個(gè)問題作為樣本，得到如下表格．問題類別模式生活類問題學(xué)習(xí)類問題其他類問題深度思考1100600300聯(lián)網(wǎng)搜索12001500300兼用150025001000假設(shè)每個(gè)用戶的每個(gè)問題的模式選擇與問題類別均相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．(1)在樣本中隨機(jī)抽取一個(gè)問題，求該問題的處理模式是“兼用”模式的概率．(2)在使用“聯(lián)網(wǎng)搜索”模式處理的所有問題中隨機(jī)選取2個(gè)，估計(jì)生活類問題個(gè)數(shù)不超過學(xué)習(xí)類問題個(gè)數(shù)的概率．(3)不同模式處理問題的時(shí)間可以大致分為三組：，，（單位：秒）．在網(wǎng)絡(luò)正常的時(shí)候，使用三種模式處理用戶問題所需時(shí)間比例統(tǒng)計(jì)如下圖所示．假設(shè)小明已經(jīng)使用該AI大模型的同一種模式解決了兩個(gè)問題，其中一個(gè)問題的處理時(shí)間，另一個(gè)問題的處理時(shí)間．若不考慮其他因素干擾，判斷小明在解決這兩個(gè)問題時(shí)最有可能使用的是哪種模式．（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）由表，樣本數(shù)量為10000，問題處理模式是“兼用”模式的樣本數(shù)量為．在樣本中隨機(jī)抽取一個(gè)問題，設(shè)事件：“該問題的處理模式是‘兼用’”，則；（2）在使用“聯(lián)網(wǎng)搜索”模式處理的所有問題中隨機(jī)選取1個(gè)，該問題是生活類問題的概率估計(jì)為，是學(xué)習(xí)類問題的概率估計(jì)為，是其他類問題的概率估計(jì)為．在使用“聯(lián)網(wǎng)搜索”模式處理的所有問題中隨機(jī)選取2個(gè)，設(shè)事件：“生活類問題的個(gè)數(shù)不超過學(xué)習(xí)類問題的個(gè)數(shù)”方法1：事件包含兩種情況：①0個(gè)生活類問題和2個(gè)非生活類問題；②1個(gè)生活類問題，1個(gè)學(xué)習(xí)類問題，0個(gè)其他類問題，所以．方法2：事件包含兩種情況：①0個(gè)生活類問題和0個(gè)學(xué)習(xí)類問題，2個(gè)其他類問題；②0個(gè)生活類問題和1個(gè)學(xué)習(xí)類問題，1個(gè)其他類問題；③0個(gè)生活類問題和2個(gè)學(xué)習(xí)類問題，0個(gè)其他類問題；④1個(gè)生活類問題，1個(gè)學(xué)習(xí)類問題，0個(gè)其他類問題，；方法3：事件包含兩種情況：①2個(gè)生活類問題和0個(gè)非生活類問題；②1個(gè)生活類問題，0個(gè)學(xué)習(xí)類問題，1個(gè)其他類問題，；（3）法一：由圖可知，用深度思考模式處理兩個(gè)問題分別用時(shí)在和的概率為；用聯(lián)網(wǎng)搜索模式處理兩個(gè)問題分別用時(shí)在和的概率為；用兼用模式處理兩個(gè)問題分別用時(shí)在和的概率為．所以用兼用模式處理兩個(gè)問題分別用時(shí)在和的概率最大，故小明最有可能使用兼用模式．法二：記事件：“小明處理兩個(gè)問題，其中一個(gè)用時(shí)在，另一個(gè)用時(shí)在”；事件分別表示“小明使用深度思考模式”，“小明使用聯(lián)網(wǎng)搜索模式”，“小明使用兼用模式”．則有，，，，則，同理，，所以，即已知事件發(fā)生的條件下，小明使用兼用模式的概率最大．16．（2025·北京·三模）投壺是中國古代傳統(tǒng)禮儀游戲，起源于春秋戰(zhàn)國時(shí)期，盛行于漢唐.參與者將無鏃箭矢投向特定壺具，以入壺?cái)?shù)量和姿態(tài)評判勝負(fù)，兼具競技與禮儀功能.為發(fā)揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某校利用午休時(shí)間舉辦投壺比賽老師預(yù)設(shè)口徑不同的三個(gè)壺，學(xué)生可以根據(jù)自身情況，選擇不同壺進(jìn)行挑戰(zhàn).為方便統(tǒng)計(jì)，投壺時(shí)，僅統(tǒng)計(jì)“投中”與“未投中”兩種結(jié)果.活動(dòng)中，高三年級500名學(xué)生體驗(yàn)了投壺，每位學(xué)生都只選擇一個(gè)壺進(jìn)行挑戰(zhàn).現(xiàn)將投壺結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表.壺1壺2壺3投中未投中投中未投中投中未投中高三年級4016090606090假設(shè)用頻率估計(jì)概率(1)若從所有選擇投壺2的學(xué)生中，隨機(jī)選擇一位學(xué)生，求這位學(xué)生在活動(dòng)中投中壺2的概率.(2)投壺活動(dòng)結(jié)束后，高三學(xué)生自發(fā)組織“過關(guān)比賽”比賽中，學(xué)生手拿三支箭，從壺1開始，按照壺1、壺2、壺3的次序，進(jìn)行投壺挑戰(zhàn).每次投壺時(shí)，學(xué)生投一支箭，若投中，學(xué)生按照順序投下一個(gè)投壺；若未投中，學(xué)生需要繼續(xù)投該壺，直到投中或箭矢耗盡當(dāng)學(xué)生投完三支箭，挑戰(zhàn)結(jié)束.某位高三學(xué)生即將參賽，假設(shè)用高三年級學(xué)生投中各壺的頻率估計(jì)這位學(xué)生投中各壺的概率，求這位學(xué)生在“過關(guān)比賽”中僅投中一次的概率.(3)為鍛煉投壺技巧，某高三同學(xué)投壺2，一共投20次.假設(shè)每次投壺的結(jié)果互不影響，用高三年級學(xué)生投中壺2的頻率估計(jì)這位學(xué)生投中壺2的概率，那么在投完20次之后，這位同學(xué)投中壺2多少次的概率最大?（只需寫出結(jié)論）.【解析】（1）由用頻率估計(jì)概率可知，從所有選擇投壺2的學(xué)生中，隨機(jī)選擇一位學(xué)生，這位學(xué)生在活動(dòng)中投中壺2的概率為.（2）用高三年級學(xué)生投中各壺的頻率估計(jì)這位學(xué)生投中各壺的概率，則壺1投中的概率為，壺1未投中的概率為，壺2投中的概率為，壺2未投中的概率為，則這位學(xué)生在“過關(guān)比賽”中僅投中一次的概率為.（3）用表示投完20次之后，這位同學(xué)投中壺2的次數(shù)，則，則，假設(shè)投中壺2的次數(shù)為時(shí)最大，則，即，解得，因，則，故投完20次之后，這位同學(xué)投中壺2的次數(shù)為時(shí)，概率最大.17．（2025·北京·二模）網(wǎng)絡(luò)搜索已成為人們獲取信息或解決問題的重要手段.為研究某傳染性疾病的未來流行趨勢，收集得到該疾病某月1號(hào)至30號(hào)的網(wǎng)絡(luò)搜索量（單位：萬次）如下：時(shí)間1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)6號(hào)7號(hào)8號(hào)9號(hào)10號(hào)11號(hào)12號(hào)13號(hào)14號(hào)15號(hào)搜索量6.25.16.17.26.17.46.26.36.46.37.16.37.37.67.9時(shí)間16號(hào)17號(hào)18號(hào)19號(hào)20號(hào)21號(hào)22號(hào)23號(hào)24號(hào)25號(hào)26號(hào)27號(hào)28號(hào)29號(hào)30號(hào)搜索量8.511.210.39.19.610.110.610.98.810.48.211.512.112.813.6用頻率估計(jì)概率.(1)從2號(hào)至14號(hào)中任取1天，求該天的搜索量比其前后兩日的搜索量都低的概率；(2)假設(shè)該疾病每天的搜索量變化是相互獨(dú)立的.在未來的日子里任取3天，試估計(jì)這3天該疾病搜索量的數(shù)據(jù)中既有高于10萬又有低于8萬的概率；(3)記表中30天的搜索量的平均數(shù)為，去除搜索量中最大的3個(gè)和最小的3個(gè)后剩余24個(gè)搜索量的平均數(shù)為，試給出與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）記事件A為“從2號(hào)至14號(hào)中任取1天，且該天搜索量比其前后兩日的搜索量都低”，根據(jù)數(shù)據(jù)知，僅有2，5，7，10，12號(hào)這5天的搜索量比其前后兩日的搜索量都低，所以從2號(hào)至14號(hào)中任取1天，該天搜索量比其前后兩日的搜索量都低的概率．（2）記事件B為“在未來的日子里任取3天，且這3天該疾病搜索量的數(shù)據(jù)中既有高于10萬又有低于8萬”，根據(jù)數(shù)據(jù)知，在未來的日子里，某天該疾病的搜索量高于10萬的概率可估計(jì)為，低于8萬的概率可估計(jì)為．則．所以在未來的日子里任取3天，估計(jì)這3天該疾病捜索量的數(shù)據(jù)中既有高于10萬又有低于8萬的概率為．（3），最大的三個(gè)數(shù)為：，最小的三個(gè)數(shù)為：，這6個(gè)數(shù)之和為，故，故.18．（2025·北京昌平·二模）在探索數(shù)智技術(shù)賦能學(xué)科學(xué)習(xí)的過程中，某中學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生使用某聽說平臺(tái)進(jìn)行英語口語自主練習(xí)．該中學(xué)有初中生1200人，高中生800人．為了解全校學(xué)生近一個(gè)月內(nèi)使用此聽說平臺(tái)進(jìn)行英語口語自主練習(xí)的次數(shù)，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，將他們的使用次數(shù)按照，，，，，五個(gè)區(qū)間進(jìn)行分組，所得樣本數(shù)據(jù)如下表：使用次數(shù)分組區(qū)間初中生人高中生人43382948281763假設(shè)每個(gè)學(xué)生是否使用此聽說平臺(tái)進(jìn)行英語口語自主練習(xí)相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．(1)估計(jì)近一個(gè)月內(nèi)全校學(xué)生中使用此聽說平臺(tái)進(jìn)行英語口語自主練習(xí)的次數(shù)不低于30次的總?cè)藬?shù)；(2)從上面參與問卷調(diào)查且使用此聽說平臺(tái)進(jìn)行英語口語自主練習(xí)次數(shù)不足10次的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記為這3人中高中生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從該校初中生和高中生中各隨機(jī)抽取8名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，設(shè)其中初中生和高中生使用此聽說平臺(tái)進(jìn)行英語口語自主練習(xí)次數(shù)位于的人數(shù)分別為和，比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）【解析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，，得．樣本中使用此聽說平臺(tái)進(jìn)行英語口語自主練習(xí)的次數(shù)不低于30次的頻率為．因此近一個(gè)月內(nèi)全校學(xué)生中使用此聽說平臺(tái)進(jìn)行英語口語自主練習(xí)的次數(shù)不低于30次的總?cè)藬?shù)估計(jì)為：．（2）參與問卷調(diào)查且使用此聽說平臺(tái)進(jìn)行英語口語自主練習(xí)次數(shù)不足10次的學(xué)生中，初中生有4人，高中生有3人．所以的取值范圍為．所以的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望．（3），理由如下：根據(jù)分層抽樣定義知，隨機(jī)抽取200名學(xué)生中，初中生為120名，高中生為80名，抽到初中生使用此聽說平臺(tái)進(jìn)行英語口語自主練習(xí)次數(shù)位于的頻率為，抽到高中生使用此聽說平臺(tái)進(jìn)行英語口語自主練習(xí)次數(shù)位于的頻率為，該校初中生和高中生中各隨機(jī)抽取8名學(xué)生中英語口語自主練習(xí)次數(shù)位于的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，所以，，因?yàn)椋?19．（2025·北京豐臺(tái)·二模）為調(diào)查某校學(xué)生戶外活動(dòng)時(shí)長和視力的關(guān)系，某研究小組在該校隨機(jī)選取了100名學(xué)生，記錄他們的日均戶外活動(dòng)時(shí)長（單位：小時(shí)）及近視情況，統(tǒng)計(jì)得到：日均戶外活動(dòng)時(shí)長在區(qū)間內(nèi)有70人，近視率為；日均戶外活動(dòng)時(shí)長在區(qū)間內(nèi)有20人，近視率為；日均戶外活動(dòng)時(shí)長在區(qū)間內(nèi)有10人，近視率為．注：近視率是指某區(qū)間內(nèi)近視人數(shù)與該區(qū)間內(nèi)人數(shù)的比值．(1)估計(jì)該校日均戶外活動(dòng)時(shí)長不低于1小時(shí)的學(xué)生的近視率；(2)用頻率估計(jì)概率．從該校日均戶外活動(dòng)時(shí)長低于1小時(shí)的學(xué)生和不低于1小時(shí)的學(xué)生中各隨機(jī)選取2名，求這4名學(xué)生中恰有2名近視的概率；(3)為響應(yīng)國家降低青少年近視率的號(hào)召，該校提出“護(hù)眼有妙招，科學(xué)動(dòng)起來”的口號(hào)，計(jì)劃在以下2項(xiàng)措施中選擇1項(xiàng)實(shí)施．措施一：每日給全校學(xué)生增設(shè)0.5小時(shí)晨跑活動(dòng)；措施二：每日給日均戶外活動(dòng)時(shí)長低于1小時(shí)的學(xué)生增設(shè)1小時(shí)戶外活動(dòng)．假設(shè)所有學(xué)生都能按要求參加相應(yīng)活動(dòng)，記采取措施一后該校全體學(xué)生