專項(xiàng)訓(xùn)練利用三角函數(shù)解判斷說(shuō)理問(wèn)題方法指導(dǎo)：利用三角函數(shù)解答實(shí)際中的“判斷說(shuō)理”問(wèn)題：其關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．.航行路線問(wèn)題1．如圖，某貨船以24nmile/h的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向上．該貨船航行30min后到達(dá)B處，此時(shí)再測(cè)得該島在北偏東30°的方向上，已知在島C周圍9nmile的區(qū)域內(nèi)有暗礁．若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？試說(shuō)明理由．工程規(guī)劃問(wèn)題2．A，B兩市相距150km，分別從A，B處測(cè)得國(guó)家級(jí)風(fēng)景區(qū)中心C處的方向角如圖所示，風(fēng)景區(qū)區(qū)域是以C為圓心、45km為半徑的圓，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.為了開(kāi)發(fā)旅游，有關(guān)部門設(shè)計(jì)修建連接A，B兩市的高速公路．問(wèn)連接A，B兩市的高速公路會(huì)穿過(guò)風(fēng)景區(qū)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．?dāng)r截問(wèn)題3．如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000m到達(dá)C處后，因前方無(wú)法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離(結(jié)果不取近似值)．臺(tái)風(fēng)影響問(wèn)題4．如圖，在某海濱城市O附近海面有一股強(qiáng)臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于該城市的南偏東20°方向200km的海面P處，并以20km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍是一個(gè)圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，且圓的半徑以10km/h的速度不斷擴(kuò)大．(1)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)4h時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到________；當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)th時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到____________．(2)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到與城市O距離最近時(shí)，這股臺(tái)風(fēng)是否會(huì)侵襲這座海濱城市？請(qǐng)說(shuō)明理由(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)．參考答案1．解：若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無(wú)觸礁危險(xiǎn)．理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AM于點(diǎn)D.依題意，知AB＝24×eq\f(30,60)＝12(nmile)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△DBC中，tan∠CBD＝tan60°＝eq\f(CD,BD)，∴BD＝eq\f(\r(3),3)CD.在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝eq\f(CD,AD)，∴AD＝eq\r(3)CD.又∵AD＝AB＋BD，∴eq\r(3)CD＝12＋eq\f(\r(3),3)CD，解得CD＝6eq\r(3)nmile.∵6eq\r(3)＞9，∴若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無(wú)觸礁危險(xiǎn)．技巧點(diǎn)撥：將這道航海問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型．該貨船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)取決于島C到航線AM的距離與9nmile的大小關(guān)系，因此解決本題的關(guān)鍵在于求島C到航線AM的距離．2．解：不會(huì)穿過(guò)風(fēng)景區(qū)．理由如下：如圖，過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)題意得∠ACD＝α，∠BCD＝β，則在Rt△ACD中，AD＝CD·tanα，在Rt△BCD中，BD＝CD·tanβ.∵AD＋DB＝AB，∴CD·tanα＋CD·tanβ＝AB.∴CD＝eq\f(AB,tanα＋tanβ)＝eq\f(150,1.627＋1.373)＝eq\f(150,3)＝50(km)．∵50＞45，∴連接A，B兩市的高速公路不會(huì)穿過(guò)風(fēng)景區(qū)．3．解：如圖，過(guò)B作AB的垂線，過(guò)C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E；過(guò)C作AB的垂線，過(guò)D作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)F，則∠E＝∠F＝90°，攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA＝BE＋CF.在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°.∴BE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×1000＝500(m)．在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝1000m，∴CF＝CDcos∠DCF＝500eq\r(2)m.∴DA＝BE＋CF＝(500＋500eq\r(2))m，答：攔截點(diǎn)D處到公路的距離是(500＋500eq\r(2))m.4．解：(1)100km；(60＋10t)km(2)不會(huì)．理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥PQ于點(diǎn)H.在Rt△POH中，∠OHP＝90°，∠OPH＝65°－20°＝45°，OP＝200km，∴OH＝PH＝OP·sin∠OPH＝200×sin45°＝100eq\r(2)≈141(km)．設(shè)經(jīng)過(guò)xh時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心從P移動(dòng)到H，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)速度為20km/h，則20x＝100eq\r(2)，∴x＝5eq\r(2).此時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑應(yīng)為60＋10×5eq\r(2)≈130.5(km)．臺(tái)風(fēng)中心在整個(gè)移