華師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教學(xué)課件目錄第16章分式分式的基礎(chǔ)概念分式的基本運(yùn)算分式的化簡(jiǎn)技巧分式方程的解法分式應(yīng)用題第17章函數(shù)及其圖象函數(shù)概念一次函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)函數(shù)圖象的繪制技巧函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用第18章平行四邊形性質(zhì)回顧平行四邊形的判定平行四邊形的綜合應(yīng)用多個(gè)平行四邊形結(jié)合的證明第19章矩形、菱形與正方形基本性質(zhì)矩形的判定菱形的判定正方形的判定與性質(zhì)綜合應(yīng)用第20章數(shù)據(jù)的整理與初步處理數(shù)據(jù)的收集與整理平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)加權(quán)平均數(shù)方差的概念與計(jì)算數(shù)據(jù)的圖象表示數(shù)據(jù)分析與決策復(fù)習(xí)與互動(dòng)復(fù)習(xí)與總結(jié)課堂互動(dòng)與思考題第16章分式——基礎(chǔ)概念分式的定義與意義分式是指分子或分母至少有一個(gè)是代數(shù)式的分?jǐn)?shù)，通常表示為$\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$和$Q(x)$是代數(shù)式，且$Q(x)\neq0$。分式在數(shù)學(xué)建模和實(shí)際問(wèn)題中有廣泛應(yīng)用，例如比例關(guān)系、速率問(wèn)題等。分式的基本性質(zhì)如果分子分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，分式的值不變分子分母同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式，必須保證這個(gè)代數(shù)式不為零分式的倒數(shù)是將分子分母互換的結(jié)果，即$\frac{P(x)}{Q(x)}$的倒數(shù)為$\frac{Q(x)}{P(x)}$分式的分母不為零的條件對(duì)于分式$\frac{P(x)}{Q(x)}$，必須滿足條件$Q(x)\neq0$，這是分式存在的前提。確定分式的定義域，就是求出使分母不為零的所有實(shí)數(shù)$x$的集合。分式的基本運(yùn)算1分式的加減法異分母分式相加減時(shí)，需要先通分，即找出分母的最小公倍式，將各分式化為同分母分式，然后按照同分母分式的加減法進(jìn)行計(jì)算。例如：$\frac{x+1}{x-2}+\frac{2x}{x+3}=\frac{(x+1)(x+3)+2x(x-2)}{(x-2)(x+3)}=\frac{x^2+4x+3+2x^2-4x}{(x-2)(x+3)}=\frac{3x^2+3}{(x-2)(x+3)}$2分式的乘除法分式的乘法：分子相乘作新分式的分子，分母相乘作新分式的分母，然后約分。分式的除法：除以一個(gè)分式，等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù)。例如：$\frac{x^2-1}{x+2}\div\frac{x-1}{x^2-4}=\frac{x^2-1}{x+2}\times\frac{x^2-4}{x-1}=\frac{(x^2-1)(x^2-4)}{(x+2)(x-1)}=\frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-1)}=(x+1)(x-2)$3典型例題講解例題：計(jì)算$\frac{x^2+x-2}{x^2-x}-\frac{x+2}{x-1}$解：首先進(jìn)行因式分解$\frac{x^2+x-2}{x^2-x}-\frac{x+2}{x-1}=\frac{(x+2)(x-1)}{x(x-1)}-\frac{x+2}{x-1}=\frac{(x+2)(x-1)}{x(x-1)}-\frac{(x+2)(x)}{x(x-1)}=\frac{(x+2)(x-1)-(x+2)(x)}{x(x-1)}=\frac{(x+2)(x-1-x)}{x(x-1)}=\frac{(x+2)(-1)}{x(x-1)}=-\frac{x+2}{x(x-1)}$定義域：$x\neq0,x\neq1$分式的化簡(jiǎn)技巧提取公因式提取公因式是分式化簡(jiǎn)的基本方法。通過(guò)對(duì)分子和分母進(jìn)行因式分解，找出公共因式并約去，從而簡(jiǎn)化分式。例如：化簡(jiǎn)$\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}$分子：$x^2-4=(x-2)(x+2)$分母：$x^2-4x+4=(x-2)^2$所以：$\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2}=\frac{x+2}{x-2}$，當(dāng)$x\neq2$時(shí)成立通分與約分通分是指將異分母分式轉(zhuǎn)化為同分母分式，常用于分式的加減運(yùn)算。約分是指對(duì)分式的分子和分母進(jìn)行因式分解，消去公共因式，得到最簡(jiǎn)分式。通分和約分的關(guān)鍵在于正確地進(jìn)行因式分解，尤其是對(duì)復(fù)雜多項(xiàng)式的因式分解。練習(xí)題解析練習(xí)1：化簡(jiǎn)$\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}$解析：分子：$x^2-9=(x-3)(x+3)$分母：$x^2+6x+9=(x+3)^2$所以：$\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}=\frac{x-3}{x+3}$，當(dāng)$x\neq-3$時(shí)成立練習(xí)2：化簡(jiǎn)$\frac{x^3-8}{x^2-4}$解析：分子：$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$分母：$x^2-4=(x-2)(x+2)$所以：$\frac{x^3-8}{x^2-4}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2+2x+4}{x+2}$，當(dāng)$x\neq2$時(shí)成立化簡(jiǎn)技巧：當(dāng)分式中包含高次項(xiàng)時(shí)，可以嘗試用十字相乘法或公式法進(jìn)行因式分解，然后再約分。分式方程的解法分式方程的定義分式方程是含有未知數(shù)的分式的方程，一般形式為：其中$P_i(x)$和$Q_i(x)$是關(guān)于未知數(shù)$x$的多項(xiàng)式，且$Q_i(x)\neq0$。解方程的步驟與注意事項(xiàng)確定方程的定義域：找出使各分母不為零的$x$值的集合通分：將方程兩邊的分式通分，得到分子相等的形式去分母：兩邊同乘以最小公分母，消去所有分母解整式方程：解變形后的整式方程檢驗(yàn)：將解代入原方程，驗(yàn)證是否滿足方程，并檢查是否在定義域內(nèi)特別注意：解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)所得解是否在方程的定義域內(nèi)，否則可能得出錯(cuò)誤的結(jié)果！例題演示例題1：解方程$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+2}=\frac{3}{(x-1)(x+2)}$解：定義域：$x\neq1,x\neq-2$通分：原方程左邊$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+2}=\frac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)}-\frac{1(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{2(x+2)-(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{2x+4-x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{x+5}{(x-1)(x+2)}$所以原方程變?yōu)椋?\frac{x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{3}{(x-1)(x+2)}$兩邊分母相同，所以分子相等：$x+5=3$解得：$x=-2$但$x=-2$不在定義域內(nèi)，所以此方程無(wú)解。例題2：解方程$\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x}=\frac{1}{3}$解：定義域：$x\neq0,x\neq3$兩邊同乘以$3x(x-3)$：$3x+6(x-3)=x(x-3)$$3x+6x-18=x^2-3x$$9x-18=x^2-3x$$0=x^2-12x+18$解得：$x=6\pm\sqrt{18}=6\pm3\sqrt{2}$驗(yàn)證兩個(gè)解都在定義域內(nèi)，所以方程的解為$x=6+3\sqrt{2}$或$x=6-3\sqrt{2}$。分式應(yīng)用題實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分式方程分式在實(shí)際問(wèn)題中有廣泛應(yīng)用，特別是在涉及比例、速率、時(shí)間等問(wèn)題中。將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分式方程的關(guān)鍵步驟：仔細(xì)閱讀題目，明確已知條件和求解目標(biāo)用字母表示未知量根據(jù)題目條件列出方程或方程組解方程，得出結(jié)果檢驗(yàn)結(jié)果是否合理，并用實(shí)際意義解釋解題思路與方法分式應(yīng)用題常見(jiàn)的問(wèn)題類型：工作問(wèn)題：不同的人或機(jī)器完成同一工作所需的時(shí)間不同，工作效率與時(shí)間成反比行程問(wèn)題：涉及速度、時(shí)間、距離三者的關(guān)系，其中速度與時(shí)間成反比配比問(wèn)題：涉及不同成分的混合比例濃度問(wèn)題：溶液的濃度計(jì)算解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確建立各變量之間的關(guān)系，尤其是反比例關(guān)系。典型應(yīng)用題解析例題1：甲、乙兩人合作完成一項(xiàng)工作需要12小時(shí)。已知甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工作比乙多用16小時(shí)，求甲、乙各自單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要的時(shí)間。解：設(shè)甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要$x$小時(shí)，則乙需要$x-16$小時(shí)。根據(jù)工作效率與時(shí)間成反比，有：$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-16}=\frac{1}{12}$解得：$x=24$或$x=8$由于題目說(shuō)甲比乙多用時(shí)間，所以甲需要24小時(shí)，乙需要8小時(shí)。例題2：一輛汽車從A地開(kāi)往B地，如果速度為60千米/小時(shí)，則比原計(jì)劃提前1小時(shí)到達(dá)；如果速度為40千米/小時(shí)，則比原計(jì)劃晚1小時(shí)到達(dá)。求A、B兩地之間的距離。解：設(shè)A、B兩地之間的距離為$s$千米，原計(jì)劃用時(shí)為$t$小時(shí)。則有：$\frac{s}{60}=t-1$，$\frac{s}{40}=t+1$解得：$s=240$，$t=5$所以A、B兩地之間的距離為240千米。第17章函數(shù)及其圖象——函數(shù)概念函數(shù)的定義函數(shù)是描述兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)關(guān)系。如果對(duì)于變量$x$的每一個(gè)值，變量$y$都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么就稱$y$是$x$的函數(shù)，記作$y=f(x)$。函數(shù)的三要素：定義域：自變量$x$所有可能取值的集合對(duì)應(yīng)關(guān)系：自變量與因變量之間的映射關(guān)系值域：函數(shù)所有可能的輸出值構(gòu)成的集合自變量與因變量在函數(shù)關(guān)系中，$x$被稱為自變量，它可以在定義域內(nèi)自由取值；而$y$被稱為因變量，它的值取決于自變量的取值。一個(gè)函數(shù)可以有多個(gè)自變量，如$z=f(x,y)$，但在初中階段我們主要研究一元函數(shù)。函數(shù)的表示方法函數(shù)可以通過(guò)多種方式表示：解析法：用表達(dá)式表示，如$y=2x+1$列表法：用表格列出自變量和因變量的對(duì)應(yīng)值圖象法：在坐標(biāo)系中繪制函數(shù)圖象文字描述：用語(yǔ)言描述變量間的關(guān)系重要提示：判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)，關(guān)鍵是看對(duì)于自變量的每一個(gè)值，因變量是否有且僅有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)。函數(shù)的實(shí)例以下是生活中的函數(shù)實(shí)例：溫度與高度的關(guān)系：隨著海拔升高，氣溫降低商品價(jià)格與銷量的關(guān)系：價(jià)格越高，銷量通常越低圓的面積與半徑的關(guān)系：$S=\pir^2$運(yùn)動(dòng)物體的位移與時(shí)間的關(guān)系：$s=v\cdott$（勻速運(yùn)動(dòng)）一次函數(shù)的性質(zhì)斜率與截距一次函數(shù)的一般式為$y=kx+b$，其中：$k$稱為斜率，表示函數(shù)圖象的傾斜程度當(dāng)$k>0$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)$k<0$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減$|k|$越大，函數(shù)圖象越陡峭$b$稱為截距，表示函數(shù)圖象與$y$軸的交點(diǎn)坐標(biāo)$(0,b)$一次函數(shù)的圖象是一條直線，可以通過(guò)兩點(diǎn)確定。最簡(jiǎn)單的方法是找出截距點(diǎn)$(0,b)$和$x$軸的交點(diǎn)$(-\frac{k},0)$，然后連接這兩點(diǎn)。圖象特征一次函數(shù)的重要性質(zhì)：圖象是一條直線$k$的符號(hào)決定直線的傾斜方向$k$的絕對(duì)值越大，直線越陡峭當(dāng)$k=0$時(shí)，函數(shù)退化為常函數(shù)$y=b$，圖象是平行于$x$軸的直線當(dāng)$b=0$時(shí)，函數(shù)簡(jiǎn)化為$y=kx$，圖象過(guò)原點(diǎn)例題講解1例題1已知一次函數(shù)$y=kx+b$的圖象過(guò)點(diǎn)$A(1,3)$和$B(2,5)$，求該函數(shù)的解析式。解：將點(diǎn)$A(1,3)$和$B(2,5)$的坐標(biāo)分別代入函數(shù)表達(dá)式：$3=k\cdot1+b$$5=k\cdot2+b$解得：$k=2$，$b=1$所以，函數(shù)的解析式為$y=2x+1$。2例題2一次函數(shù)$y=-3x+c$的圖象與$x$軸交于點(diǎn)$P(2,0)$，求$c$的值和函數(shù)的解析式。解：將點(diǎn)$P(2,0)$的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式：$0=-3\cdot2+c$$c=6$所以，函數(shù)的解析式為$y=-3x+6$。3例題3若一次函數(shù)$y=mx+n$的圖象過(guò)兩點(diǎn)$C(-1,4)$和$D(2,-2)$，求$m$和$n$的值。解：將點(diǎn)$C(-1,4)$和$D(2,-2)$的坐標(biāo)分別代入函數(shù)表達(dá)式：$4=m\cdot(-1)+n$$-2=m\cdot2+n$解得：$m=-2$，$n=2$所以，函數(shù)的解析式為$y=-2x+2$。反比例函數(shù)定義與圖象反比例函數(shù)的一般式為$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$），其中$k$稱為比例系數(shù)。反比例函數(shù)的定義域是$x\neq0$的所有實(shí)數(shù)，即$\{x|x\in\mathbb{R},x\neq0\}$。反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，分別位于第一、三象限（當(dāng)$k>0$時(shí)）或第二、四象限（當(dāng)$k<0$時(shí)）。圖象不與坐標(biāo)軸相交，但無(wú)限接近坐標(biāo)軸。性質(zhì)分析定義域與值域：定義域?yàn)?\{x|x\neq0\}$，值域?yàn)?\{y|y\neq0\}$單調(diào)性：當(dāng)$k>0$時(shí)，在$x>0$的區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞減；在$x<0$的區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)$k<0$時(shí)，在$x>0$的區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增；在$x<0$的區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞減奇偶性：反比例函數(shù)是奇函數(shù)，即$f(-x)=-f(x)$，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱漸近線：$x$軸和$y$軸是反比例函數(shù)圖象的漸近線繪圖技巧：繪制反比例函數(shù)圖象時(shí)，可以先確定幾個(gè)特殊點(diǎn)，如$(1,k)$、$(-1,-k)$、$(2,\frac{k}{2})$、$(-2,-\frac{k}{2})$等，然后連接這些點(diǎn)并注意漸近線。典型例題1例題1已知反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象過(guò)點(diǎn)$P(2,3)$，求：(1)函數(shù)的解析式；(2)函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為$-4$的點(diǎn)的縱坐標(biāo)。解：(1)將點(diǎn)$P(2,3)$的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式：$3=\frac{k}{2}$解得：$k=6$所以，函數(shù)的解析式為$y=\frac{6}{x}$。(2)當(dāng)$x=-4$時(shí)，$y=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}=-1.5$所以，函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為$-4$的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$-1.5$。2例題2已知反比例函數(shù)$y=\frac{m}{x}$的圖象過(guò)點(diǎn)$A(-2,4)$和$B(4,-2)$，求$m$的值和函數(shù)的解析式。解：將點(diǎn)$A(-2,4)$和$B(4,-2)$的坐標(biāo)分別代入函數(shù)表達(dá)式：$4=\frac{m}{-2}$，即$m=-8$$-2=\frac{m}{4}$，即$m=-8$兩式得到相同的$m$值，說(shuō)明這兩點(diǎn)確實(shí)在同一條反比例函數(shù)圖象上。所以，函數(shù)的解析式為$y=\frac{-8}{x}$。函數(shù)圖象的繪制技巧關(guān)鍵點(diǎn)的確定繪制函數(shù)圖象時(shí)，確定關(guān)鍵點(diǎn)能幫助我們更準(zhǔn)確地描繪圖象。一次函數(shù)：截距點(diǎn)：$(0,b)$$x$軸交點(diǎn)：$(-\frac{k},0)$任意一點(diǎn)：代入$x$值計(jì)算對(duì)應(yīng)的$y$值反比例函數(shù)：易計(jì)算點(diǎn)：$(1,k)$、$(-1,-k)$、$(2,\frac{k}{2})$、$(-2,-\frac{k}{2})$等注意漸近線：$x$軸和$y$軸對(duì)稱性與單調(diào)性利用函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性可以簡(jiǎn)化繪圖過(guò)程。對(duì)稱性：奇函數(shù)：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如$y=\frac{k}{x}$偶函數(shù)：關(guān)于$y$軸對(duì)稱，如$y=x^2$單調(diào)性：一次函數(shù)$y=kx+b$：$k>0$時(shí)單調(diào)遞增，$k<0$時(shí)單調(diào)遞減反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$：在定義域的不同部分有不同的單調(diào)性練習(xí)題示范練習(xí)1：繪制函數(shù)$y=2x-3$的圖象。解析：確定關(guān)鍵點(diǎn)：$y$軸交點(diǎn)：$(0,-3)$$x$軸交點(diǎn)：$(1.5,0)$額外點(diǎn)：$(2,1)$連接這些點(diǎn)，得到一條直線，即為所求函數(shù)的圖象。練習(xí)2：繪制函數(shù)$y=\frac{-4}{x}$的圖象。解析：確定關(guān)鍵點(diǎn)：$(1,-4)$$(-1,4)$$(2,-2)$$(-2,2)$注意漸近線為$x$軸和$y$軸，繪制雙曲線，圖象位于第二、四象限。函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用生活中的函數(shù)模型函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用，許多實(shí)際問(wèn)題都可以用函數(shù)來(lái)描述和解決。以下是一些常見(jiàn)的函數(shù)應(yīng)用場(chǎng)景：一次函數(shù)應(yīng)用：出租車計(jì)費(fèi)：總費(fèi)用=起步價(jià)+里程單價(jià)×超出起步里程的距離商品定價(jià)：售價(jià)=成本+利潤(rùn)溫度換算：攝氏度與華氏度的轉(zhuǎn)換關(guān)系反比例函數(shù)應(yīng)用：定量工作問(wèn)題：工作效率與完成時(shí)間成反比物理學(xué)中的波義耳定律：氣體的壓強(qiáng)與體積成反比電學(xué)中的歐姆定律：在電阻一定的情況下，電流與電壓成正比其他函數(shù)應(yīng)用：二次函數(shù)：拋物線運(yùn)動(dòng)、利潤(rùn)最大化問(wèn)題指數(shù)函數(shù)：人口增長(zhǎng)、復(fù)利計(jì)算對(duì)數(shù)函數(shù)：地震強(qiáng)度、聲音分貝例題解析與思考例題1：某城市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：起步價(jià)10元（包含3千米），超出部分每千米2.5元。小明乘坐出租車從家到學(xué)校，支付了22.5元，求小明家到學(xué)校的距離。解：設(shè)小明家到學(xué)校的距離為$x$千米。當(dāng)$x\leq3$時(shí)，車費(fèi)為10元。當(dāng)$x>3$時(shí)，車費(fèi)為$10+2.5(x-3)$元。已知車費(fèi)為22.5元，所以：$22.5=10+2.5(x-3)$$12.5=2.5(x-3)$$5=x-3$$x=8$所以，小明家到學(xué)校的距離為8千米。例題2：甲、乙兩人合作完成一項(xiàng)工作，已知甲單獨(dú)完成需要12小時(shí)，乙單獨(dú)完成需要18小時(shí)，若兩人合作，需要多少小時(shí)完成？解：設(shè)兩人合作完成這項(xiàng)工作需要$x$小時(shí)。根據(jù)工作效率與時(shí)間成反比的關(guān)系：$\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{1}{x}$$\frac{3+2}{36}=\frac{1}{x}$$\frac{5}{36}=\frac{1}{x}$$x=\frac{36}{5}=7.2$所以，兩人合作需要7.2小時(shí)完成這項(xiàng)工作。第18章平行四邊形——性質(zhì)回顧平行四邊形的定義平行四邊形是指對(duì)邊分別平行的四邊形。數(shù)學(xué)表達(dá)：四邊形ABCD中，如果AB∥DC且AD∥BC，則四邊形ABCD是平行四邊形。邊、角性質(zhì)邊的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊分別相等，即AB=DC，AD=BC角的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角分別相等，即∠A=∠C，∠B=∠D平行四邊形的相鄰兩角互補(bǔ)，即∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°對(duì)角線性質(zhì)平行四邊形的對(duì)角線互相平分若O是對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)，則OA=OC，OB=OD對(duì)角線把平行四邊形分成面積相等的四個(gè)三角形面積性質(zhì)平行四邊形的面積等于底×高面積公式：S=a×h，其中a是底邊長(zhǎng)，h是對(duì)應(yīng)的高也可表示為：S=ab·sinC，其中a、b是相鄰兩邊長(zhǎng)，C是它們的夾角平行四邊形的判定判定條件總結(jié)判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件有多種，主要包括：定義判定：四邊形的對(duì)邊分別平行，即AB∥DC且AD∥BC對(duì)邊判定：四邊形的對(duì)邊分別相等，即AB=DC且AD=BC對(duì)角判定：四邊形的對(duì)角分別相等，即∠A=∠C且∠B=∠D對(duì)角線判定：四邊形的對(duì)角線互相平分一組對(duì)邊判定：四邊形中有一組對(duì)邊平行且相等，即AB∥DC且AB=DC三角形判定：三角形的中線連接所形成的四邊形是平行四邊形提示：在實(shí)際解題中，應(yīng)根據(jù)已知條件靈活選擇最適合的判定條件。有時(shí)候，需要先證明一些輔助性質(zhì)，再利用判定條件。證明題示范例題1：已知四邊形ABCD中，AB=CD，AC=BD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。證明：在△ABC和△CDA中：AB=CD（已知）AC是公共邊BC=DA（已知）根據(jù)SSS全等，△ABC≌△CDA所以，∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC又因?yàn)椤螧AC和∠DCA是同位角，所以AB∥CD同理，BC∥AD所以，四邊形ABCD是平行四邊形。典型例題例題2如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。證明：已知OA=OC，OB=OD說(shuō)明對(duì)角線AC和BD互相平分根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分的判定條件可以得出：四邊形ABCD是平行四邊形例題3已知三角形ABC的中點(diǎn)分別是D、E、F，連接AF和CE，它們的交點(diǎn)為O，求證：四邊形AOCF是平行四邊形。證明：在△ABC中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)根據(jù)三角形中位線定理，EF∥AC且EF=$\frac{1}{2}$AC同理，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)所以DF∥BC且DF=$\frac{1}{2}$BC又因?yàn)锳F和CE相交于點(diǎn)O所以四邊形AOCF中，AO=OF且CO=OC根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分的判定條件可以得出：四邊形AOCF是平行四邊形平行四邊形的綜合應(yīng)用結(jié)合面積與周長(zhǎng)問(wèn)題平行四邊形的面積和周長(zhǎng)問(wèn)題通常結(jié)合以下知識(shí)點(diǎn)：平行四邊形的面積公式：S=a·h（底×高）平行四邊形的周長(zhǎng)公式：C=2(a+b)（對(duì)邊相等）平行四邊形的對(duì)角線性質(zhì)：對(duì)角線互相平分三角形的面積：S=$\frac{1}{2}$·底×高在解題中，常需要利用輔助線（如高線、對(duì)角線等）來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題。證明與計(jì)算結(jié)合平行四邊形的綜合題往往需要先證明某些性質(zhì)，再進(jìn)行計(jì)算。常見(jiàn)的解題思路包括：利用平行四邊形的性質(zhì)證明兩個(gè)三角形全等利用全等三角形得出某些線段或角度相等利用已證明的性質(zhì)計(jì)算面積、周長(zhǎng)或其他幾何量解題時(shí)要注意分析圖形的特點(diǎn)，合理選擇解題策略。例題解析例題1：已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，E是AB的中點(diǎn)，連接CE和DO，求證：四邊形CEOD是平行四邊形。證明：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O所以O(shè)A=OC，OB=OD（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）已知E是AB的中點(diǎn)，所以AE=EB在△AOB中，E是AB的中點(diǎn)根據(jù)三角形中位線定理，連接EO，則EO∥OB且EO=$\frac{1}{2}$OB因?yàn)镺B=OD，所以EO=$\frac{1}{2}$OD在△COD中，由于OD=OB，且EO∥OB，所以EO∥OD又因?yàn)镋O=$\frac{1}{2}$OD，所以在四邊形CEOD中，CE∥OD且CE=OD根據(jù)平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等的判定條件可以得出：四邊形CEOD是平行四邊形例題2：已知平行四邊形ABCD的面積為24平方厘米，點(diǎn)E在BC上，使BE:EC=1:2，點(diǎn)F在CD上，使CF:FD=2:1，求四邊形AECF的面積。解：由于BE:EC=1:2，所以BE=$\frac{1}{3}$BC，EC=$\frac{2}{3}$BC由于CF:FD=2:1，所以CF=$\frac{2}{3}$CD，F(xiàn)D=$\frac{1}{3}$CD在平行四邊形ABCD中，BC∥AD，CD∥AB連接AE和AF因?yàn)镋在BC上，且BE:EC=1:3，所以△ABE的面積為△ABC的$\frac{1}{3}$又因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積為24平方厘米，所以△ABC的面積為12平方厘米所以△ABE的面積為4平方厘米同理，因?yàn)镕在CD上，且CF:FD=2:1，所以△ADF的面積為△ADC的$\frac{1}{3}$△ADC的面積為12平方厘米，所以△ADF的面積為4平方厘米四邊形AECF的面積=平行四邊形ABCD的面積-△ABE的面積-△ADF的面積=24-4-4=16平方厘米多個(gè)平行四邊形結(jié)合的證明復(fù)雜圖形分析當(dāng)問(wèn)題涉及多個(gè)平行四邊形時(shí)，通常需要以下分析步驟：識(shí)別已知的平行四邊形，明確其性質(zhì)尋找可能形成的新平行四邊形，并分析它們之間的關(guān)系利用平行四邊形的性質(zhì)（如對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角線互相平分等）建立連接尋找輔助線，如對(duì)角線、中位線等，幫助證明利用向量方法處理復(fù)雜問(wèn)題，特別是涉及平行、比例關(guān)系時(shí)證明思路與步驟處理多個(gè)平行四邊形的常用證明思路：分解法：將復(fù)雜圖形分解為已知的簡(jiǎn)單圖形轉(zhuǎn)化法：將待證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知條件的應(yīng)用輔助線法：添加適當(dāng)?shù)妮o助線簡(jiǎn)化問(wèn)題坐標(biāo)法：在適當(dāng)?shù)那闆r下引入坐標(biāo)系反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，推導(dǎo)出矛盾例題演示例題：已知平行四邊形ABCD和EFGH，它們有一個(gè)公共點(diǎn)O，且AE∥BF∥CG∥DH，求證：四邊形EFGH也是平行四邊形。證明：在平行四邊形ABCD中：AB∥DC，AD∥BC已知AE∥BF∥CG∥DH在四邊形ABFE中：AB∥FE（因?yàn)锳B∥DC，而F、E分別在B、A的對(duì)應(yīng)位置上）AE∥BF（已知）所以四邊形ABFE是平行四邊形同理，可以證明四邊形BFGC、CGHD和DHEA都是平行四邊形在平行四邊形ABFE中，AF∥BE在平行四邊形CGHD中，CG∥DH由于AF∥BE且CG∥DH，而A、B、C、D分別是一個(gè)平行四邊形的頂點(diǎn)所以EF∥GH同理，可以證明EH∥FG因此，四邊形EFGH的對(duì)邊分別平行，所以它是平行四邊形例題2已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H分別是BC和AD的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，BC∥ADE是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)根據(jù)平行線等分線段性質(zhì)，EF∥AC且EF=$\frac{1}{2}$AC同理，G是BC的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)所以GH∥AC且GH=$\frac{1}{2}$AC因此，EF∥GH且EF=GH同理，可以證明EH∥FG且EH=FG所以，四邊形EFGH的對(duì)邊分別平行且相等根據(jù)平行四邊形的判定定理，四邊形EFGH是平行四邊形例題3已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，連接AP和AQ，求證：四邊形APQD是平行四邊形。證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，BC∥ADP是BC的中點(diǎn)，所以BP=PCQ是CD的中點(diǎn)，所以CQ=QD在△ABC中，P是BC的中點(diǎn)根據(jù)三角形中位線定理，連接AP，則AP∥AC且AP=$\frac{1}{2}$AC同理，在△ACD中，Q是CD的中點(diǎn)所以AQ∥AD且AQ=$\frac{1}{2}$AD在四邊形APQD中：因?yàn)锳P∥AC且CQ∥CD，所以AP∥DQ因?yàn)锳P=$\frac{1}{2}$AC且CQ=$\frac{1}{2}$CD，所以AP=DQ所以四邊形APQD中有一組對(duì)邊平行且相等根據(jù)平行四邊形的判定定理，四邊形APQD是平行四邊形第19章矩形、菱形與正方形——基本性質(zhì)矩形的定義與性質(zhì)定義：矩形是四個(gè)角都是直角的平行四邊形。性質(zhì)：具有平行四邊形的所有性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分）四個(gè)角都是直角（90°）對(duì)角線相等，即AC=BD矩形的面積S=ab，其中a、b是相鄰兩邊的長(zhǎng)度菱形的定義與性質(zhì)定義：菱形是四條邊都相等的平行四邊形。性質(zhì)：具有平行四邊形的所有性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分）四條邊都相等，即AB=BC=CD=DA對(duì)角線互相垂直，即AC⊥BD對(duì)角線平分對(duì)角，即AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC菱形的面積S=$\frac{1}{2}$×對(duì)角線的乘積，即S=$\frac{1}{2}$×AC×BD正方形的定義與性質(zhì)定義：正方形是既是矩形又是菱形的四邊形，即四個(gè)角都是直角且四條邊都相等的四邊形。性質(zhì)：具有矩形和菱形的所有性質(zhì)四個(gè)角都是直角（90°）四條邊都相等，即AB=BC=CD=DA對(duì)角線相等且互相垂直，即AC=BD且AC⊥BD對(duì)角線平分對(duì)角正方形的面積S=a2，其中a是邊長(zhǎng)平行四邊形對(duì)邊平行且相等矩形平行四邊形+四個(gè)直角菱形平行四邊形+四邊相等正方形矩形+菱形的結(jié)合矩形的判定判定條件判定一個(gè)四邊形是矩形的條件主要有以下幾種：定義判定：一個(gè)四邊形是平行四邊形，且有一個(gè)角是直角，則這個(gè)四邊形是矩形對(duì)角線判定：一個(gè)平行四邊形的對(duì)角線相等，則這個(gè)平行四邊形是矩形三個(gè)直角判定：一個(gè)四邊形有三個(gè)角是直角，則這個(gè)四邊形是矩形直角三角形判定：如果兩個(gè)全等的直角三角形沿著直角邊拼接，則形成的四邊形是矩形注意：在證明一個(gè)四邊形是矩形時(shí)，可以先證明它是平行四邊形，然后再證明它滿足矩形的特殊性質(zhì)，如有一個(gè)直角或?qū)蔷€相等。證明題示范例題1：已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相等，求證：四邊形ABCD是矩形。證明：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O所以O(shè)A=OC，OB=OD（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）已知AC=BD，所以O(shè)A=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD因?yàn)锳C=BD，所以O(shè)A=OB在△AOB中：OA=OB（已證）所以△AOB是等腰三角形在等腰三角形中，底邊上的中線與底邊垂直所以O(shè)A⊥AB因此，∠BAO=90°同理可證，∠AOD=∠DOC=∠COB=90°所以，四邊形ABCD的四個(gè)角都是直角因此，四邊形ABCD是矩形例題講解例題2如圖，已知四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠A=90°，求證：四邊形ABCD是矩形。證明：已知AB=CD，AD=BC，所以四邊形ABCD的對(duì)邊分別相等根據(jù)平行四邊形的判定定理，四邊形ABCD是平行四邊形又已知∠A=90°在平行四邊形中，對(duì)角相等，相鄰角互補(bǔ)所以∠C=∠A=90°，∠B+∠A=180°，∠D+∠A=180°由于∠A=90°，所以∠B=∠D=90°因此，四邊形ABCD的四個(gè)角都是直角所以，四邊形ABCD是矩形例題3如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥DA，AB=CD，求證：四邊形ABCD是矩形。證明：已知AB⊥BC，所以∠B=90°已知CD⊥DA，所以∠D=90°在四邊形ABCD中，有兩個(gè)對(duì)角∠B和∠D都是直角已知AB=CD在四邊形ABCD中，連接對(duì)角線AC在△ABC和△CDA中：AB=CD（已知）∠B=∠D=90°（已知）AC是公共邊根據(jù)斜邊-直角邊全等，△ABC≌△CDA所以BC=DA因此，四邊形ABCD的對(duì)邊AB=CD，BC=DA由平行四邊形的判定定理，四邊形ABCD是平行四邊形又因?yàn)樗袃蓚€(gè)直角∠B和∠D，所以它的四個(gè)角都是直角因此，四邊形ABCD是矩形菱形的判定判定條件判定一個(gè)四邊形是菱形的條件主要有以下幾種：定義判定：一個(gè)四邊形是平行四邊形，且有兩條相鄰邊相等，則這個(gè)四邊形是菱形四邊相等判定：一個(gè)四邊形的四條邊都相等，則這個(gè)四邊形是菱形對(duì)角線判定：一個(gè)平行四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)平行四邊形是菱形對(duì)角線平分對(duì)角判定：一個(gè)平行四邊形的對(duì)角線平分對(duì)角，則這個(gè)平行四邊形是菱形證明題示范例題1：已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，求證：四邊形ABCD是菱形。證明：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O所以O(shè)A=OC，OB=OD（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）已知AC⊥BD，所以∠AOB=90°在△AOB和△AOD中：OA是公共邊OB=OD（平行四邊形的性質(zhì)）∠AOB=∠AOD=90°（已知AC⊥BD）根據(jù)SAS全等，△AOB≌△AOD所以AB=AD同理可證，AB=BC所以四邊形ABCD的四條邊都相等因此，四邊形ABCD是菱形典型例題例題2：如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，OA=OC，求證：四邊形ABCD是菱形。證明：已知對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且OA=OC所以對(duì)角線AC被點(diǎn)O平分在平行四邊形中，對(duì)角線互相平分，所以O(shè)B=OD因此，四邊形ABCD是平行四邊形又已知AC⊥BD根據(jù)菱形的判定定理，四邊形ABCD是菱形例題3：已知四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求證：四邊形ABCD是菱形。證明：已知AB=BC=CD=DA，四邊形ABCD的四條邊都相等連接對(duì)角線AC和BD，交于點(diǎn)O在△ABC和△CDA中：AB=CD（已知）BC=DA（已知）AC是公共邊根據(jù)SSS全等，△ABC≌△CDA所以∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC由于∠BAC和∠DCA是同位角，所以AB∥CD同理，BC∥AD所以，四邊形ABCD是平行四邊形又因?yàn)樗臈l邊都相等，所以四邊形ABCD是菱形正方形的判定與性質(zhì)判定條件判定一個(gè)四邊形是正方形的條件主要有以下幾種：矩形+菱形判定：一個(gè)四邊形既是矩形又是菱形，則這個(gè)四邊形是正方形平行四邊形擴(kuò)展判定：一個(gè)平行四邊形有一個(gè)角是直角，且兩條相鄰邊相等，則這個(gè)平行四邊形是正方形對(duì)角線判定：一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等且互相垂直平分，則這個(gè)四邊形是正方形角邊判定：一個(gè)四邊形的四個(gè)角都是直角，且四條邊都相等，則這個(gè)四邊形是正方形性質(zhì)總結(jié)正方形具有以下性質(zhì)：四條邊都相等（繼承自菱形）四個(gè)角都是直角（繼承自矩形）對(duì)角線相等（繼承自矩形）對(duì)角線互相垂直（繼承自菱形）對(duì)角線互相平分（繼承自平行四邊形）對(duì)角線平分對(duì)角（繼承自菱形）正方形有四條對(duì)稱軸（對(duì)角線和邊的中垂線）正方形的面積公式：S=a2，其中a是邊長(zhǎng)正方形的周長(zhǎng)公式：C=4a，其中a是邊長(zhǎng)四邊形家族關(guān)系：正方形是最特殊的四邊形，它同時(shí)滿足矩形和菱形的所有性質(zhì)?？梢岳斫鉃椋赫叫?矩形?平行四邊形正方形?菱形?平行四邊形這種包含關(guān)系意味著正方形具有以上所有四邊形的全部性質(zhì)。例題解析1例題1已知四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠A=90°，求證：四邊形ABCD是正方形。證明：已知AB=BC=CD=DA，四邊形ABCD的四條邊都相等根據(jù)菱形的判定定理，四邊形ABCD是菱形又已知∠A=90°在菱形中，對(duì)角相等，所以∠A=∠C因此，∠C=90°在菱形中，相鄰角互補(bǔ)，所以∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°因?yàn)椤螦=∠C=90°，所以∠B=∠D=90°所以，四邊形ABCD的四個(gè)角都是直角因此，四邊形ABCD是矩形綜上，四邊形ABCD既是矩形又是菱形，所以四邊形ABCD是正方形2例題2已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相等且互相垂直平分，求證：四邊形ABCD是正方形。證明：已知對(duì)角線AC和BD互相平分，交于點(diǎn)O所以O(shè)A=OC，OB=OD根據(jù)平行四邊形的判定定理，四邊形ABCD是平行四邊形又已知AC和BD相等，即AC=BD在平行四邊形中，對(duì)角線相等是矩形的充要條件所以，四邊形ABCD是矩形已知AC⊥BD在平行四邊形中，對(duì)角線互相垂直是菱形的充要條件所以，四邊形ABCD是菱形綜上，四邊形ABCD既是矩形又是菱形，所以四邊形ABCD是正方形3例題3在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC，求證：四邊形ABCD是正方形。證明：已知∠A=∠B=∠C=∠D=90°，四邊形ABCD的四個(gè)角都是直角所以，四邊形ABCD是矩形在矩形中，對(duì)邊相等，所以AB=CD，BC=DA又已知AB=BC所以，AB=BC=CD=DA因此，四邊形ABCD的四條邊都相等綜上，四邊形ABCD既是矩形又有四條邊相等，所以四邊形ABCD是正方形矩形、菱形、正方形的綜合應(yīng)用結(jié)合面積、周長(zhǎng)、角度問(wèn)題特殊四邊形的綜合應(yīng)用題通常涉及以下知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合：面積計(jì)算：矩形：S=ab（長(zhǎng)×寬）菱形：S=$\frac{1}{2}$×對(duì)角線的乘積=ab·sin∠A正方形：S=a2周長(zhǎng)計(jì)算：矩形：C=2(a+b)菱形：C=4a正方形：C=4a角度關(guān)系：利用特殊四邊形的角度性質(zhì)解決問(wèn)題對(duì)角線關(guān)系：利用對(duì)角線的長(zhǎng)度、位置關(guān)系解決問(wèn)題證明與計(jì)算綜合題解決特殊四邊形的綜合題，常用的解題思路包括：根據(jù)已知條件，先確定四邊形的類型（平行四邊形、矩形、菱形或正方形）利用該類型四邊形的性質(zhì)推導(dǎo)未知量靈活運(yùn)用輔助線（如對(duì)角線、高線等）簡(jiǎn)化問(wèn)題利用全等三角形、相似三角形等基本幾何工具在適當(dāng)情況下，引入坐標(biāo)系或向量方法典型例題例題1：已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，求：(1)對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)(2)四邊形ABOC的面積解：(1)在矩形中，對(duì)角線相等由勾股定理，AC2=AB2+BC2=62+82=36+64=100所以AC=10cm，同理BD=10cm(2)矩形的對(duì)角線互相平分，所以O(shè)是對(duì)角線的中點(diǎn)四邊形ABOC的面積=$\frac{1}{2}$×矩形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$×AB×BC=$\frac{1}{2}$×6×8=24cm2例題2：已知菱形ABCD的面積為24平方厘米，對(duì)角線AC=8cm，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)度和菱形的邊長(zhǎng)。解：菱形的面積公式：S=$\frac{1}{2}$×AC×BD24=$\frac{1}{2}$×8×BDBD=$\frac{24×2}{8}$=6cm菱形的邊長(zhǎng)可以用對(duì)角線計(jì)算：設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線交點(diǎn)為O在直角三角形AOB中：AO=$\frac{1}{2}$AC=4cm，BO=$\frac{1}{2}$BD=3cm由勾股定理：AB2=AO2+BO2=42+32=16+9=25所以AB=5cm，即菱形的邊長(zhǎng)為5cm第20章數(shù)據(jù)的整理與初步處理——數(shù)據(jù)的收集與整理數(shù)據(jù)的分類與整理方法數(shù)據(jù)整理是統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)，主要包括以下步驟：數(shù)據(jù)收集：通過(guò)調(diào)查、實(shí)驗(yàn)、查閱資料等方式獲取原始數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)分類：定性數(shù)據(jù)：描述事物特征的數(shù)據(jù)，如性別、顏色等定量數(shù)據(jù)：可以用數(shù)值表示的數(shù)據(jù)，如身高、成績(jī)等離散數(shù)據(jù)：只能取特定值的數(shù)據(jù)，如家庭人口數(shù)連續(xù)數(shù)據(jù)：可以在一定區(qū)間內(nèi)取任意值的數(shù)據(jù)，如身高、體重?cái)?shù)據(jù)整理：簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)：直接列表大量數(shù)據(jù)：分組整理，制作頻數(shù)分布表分組原則：組距相等，組數(shù)適中（一般5-15組）頻數(shù)與頻率頻數(shù)：數(shù)據(jù)在某一組或某一值出現(xiàn)的次數(shù)。頻率：某組或某值的頻數(shù)與總頻數(shù)的比值，表示為：頻率的性質(zhì)：頻率的取值范圍在0到1之間所有組的頻率之和等于1頻率可以用百分?jǐn)?shù)表示，此時(shí)所有頻率之和為100%例題演示例題1：某班級(jí)50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢M分100分）：73,85,62,91,78,65,88,72,79,83,76,90,68,84,77,95,82,70,87,81,75,89,67,93,80,66,92,74,86,78,69,85,72,90,76,83,65,88,71,95,79,87,64,91,77,82,73,89,68,84請(qǐng)將這些數(shù)據(jù)整理成頻數(shù)分布表。解：首先確定數(shù)據(jù)的范圍：最小值64，最大值95，極差為95-64=31。選擇組距為5，則可以分為7組：分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率60-6412%65-69612%70-74816%75-791020%80-84816%85-89918%90-95816%例題2：根據(jù)上表制作頻率分布直方圖。解：以分?jǐn)?shù)段為橫軸，頻率為縱軸，繪制直方圖。每個(gè)小矩形的高度表示該組的頻率，寬度表示組距。從直方圖可以看出，該班級(jí)成績(jī)的分布呈現(xiàn)近似正態(tài)分布，75-79分段的學(xué)生人數(shù)最多，兩端的人數(shù)相對(duì)較少。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三種集中趨勢(shì)的定義與區(qū)別平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。中位數(shù)：將所有數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間位置的數(shù)。當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，中位數(shù)為第$(n+1)/2$個(gè)數(shù)當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)為第$n/2$個(gè)數(shù)和第$(n/2)+1$個(gè)數(shù)的平均值眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。一組數(shù)據(jù)可能有一個(gè)眾數(shù)、多個(gè)眾數(shù)或沒(méi)有眾數(shù)。適用場(chǎng)景分析不同的集中趨勢(shì)度量適用于不同的場(chǎng)景：平均數(shù)：優(yōu)點(diǎn)：考慮了所有數(shù)據(jù)值，計(jì)算簡(jiǎn)單缺點(diǎn)：受極端值影響大適用于：分布較為對(duì)稱、沒(méi)有明顯極端值的數(shù)據(jù)例如：學(xué)生的平均成績(jī)、物體的平均質(zhì)量等中位數(shù)：優(yōu)點(diǎn)：不受極端值影響，反映數(shù)據(jù)的中間位置缺點(diǎn)：不考慮所有數(shù)據(jù)的具體值適用于：有極端值或分布不對(duì)稱的數(shù)據(jù)例如：家庭收入、房?jī)r(jià)等眾數(shù)：優(yōu)點(diǎn)：直觀反映最常見(jiàn)的數(shù)據(jù)缺點(diǎn)：可能不唯一，不考慮其他數(shù)據(jù)值適用于：分類數(shù)據(jù)或離散數(shù)據(jù)例如：最受歡迎的顏色、最常購(gòu)買(mǎi)的商品等計(jì)算方法與例題例題：某班10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分100分）如下：85,92,78,65,92,88,73,92,81,69求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。解：平均數(shù)：$\bar{x}=\frac{85+92+78+65+92+88+73+92+81+69}{10}=\frac{815}{10}=81.5$中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排序：65,69,73,78,81,85,88,92,92,92數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為10（偶數(shù)），所以中位數(shù)是第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)的平均值：中位數(shù)=$\frac{81+85}{2}=83$眾數(shù)：數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是92，出現(xiàn)了3次，所以眾數(shù)是92。加權(quán)平均數(shù)定義與計(jì)算加權(quán)平均數(shù)是考慮數(shù)據(jù)重要性或出現(xiàn)頻率的平均數(shù)，計(jì)算公式為：其中，$x_i$是數(shù)據(jù)值，$w_i$是對(duì)應(yīng)的權(quán)重（或頻數(shù)）。加權(quán)平均數(shù)的特點(diǎn)：考慮了數(shù)據(jù)的重要性或出現(xiàn)頻率當(dāng)所有權(quán)重相等時(shí)，加權(quán)平均數(shù)等于算術(shù)平均數(shù)權(quán)重可以是頻數(shù)、重要性系數(shù)或其他合適的量典型應(yīng)用題例題1：某學(xué)生三次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)分別為85分、92分和78分，這三次考試的權(quán)重分別為0.2、0.3和0.5，求該學(xué)生的加權(quán)平均成績(jī)。解：加權(quán)平均成績(jī)=$\frac{0.2\times85+0.3\times92+0.5\times78}{0.2+0.3+0.5}=\frac{17+27.6+39}{1}=83.6$所以，該學(xué)生的加權(quán)平均成績(jī)?yōu)?3.6分。例題2：某商店銷售的A、B、C三種型號(hào)的電腦，每臺(tái)售價(jià)分別為5000元、6000元和8000元，一個(gè)月內(nèi)分別售出15臺(tái)、25臺(tái)和10臺(tái)，求這些電腦的平均售價(jià)。解：平均售價(jià)=$\frac{15\times5000+25\times6000+10\times8000}{15+25+10}=\frac{75000+150000+80000}{50}=\frac{305000}{50}=6100$所以，這些電腦的平均售價(jià)為6100元。練習(xí)題解析練習(xí)1：某班級(jí)期末考試的總評(píng)成績(jī)由平時(shí)成績(jī)（占30%）和期末考試成績(jī)（占70%）組成。小明的平時(shí)成績(jī)?yōu)?2分，期末考試成績(jī)?yōu)?5分，求小明的總評(píng)成績(jī)。解析：總評(píng)成績(jī)=92×30%+85×70%=27.6+59.5=87.1分練習(xí)2：某次統(tǒng)計(jì)調(diào)查中，將某地區(qū)居民的月收入分為五個(gè)等級(jí)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：月收入（元）人數(shù)3000以下1503000-50003205000-80002808000-1200018012000以上70假設(shè)各組的代表值分別為2500元、4000元、6500元、10000元和15000元，求該地區(qū)居民的平均月收入。解析：平均月收入=$\frac{150\times2500+320\times4000+280\times6500+180\times10000+70\times15000}{150+320+280+180+70}$=$\frac{375000+1280000+1820000+1800000+1050000}{1000}$=$\frac{6325000}{1000}=6325$元所以，該地區(qū)居民的平均月收入為6325元。方差的概念與計(jì)算方差的意義方差是描述數(shù)據(jù)離散程度的重要統(tǒng)計(jì)量，它衡量數(shù)據(jù)值偏離平均值的程度。方差越大，表示數(shù)據(jù)分散程度越大；方差越小，表示數(shù)據(jù)越集中。方差的定義：一組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的離差平方和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。計(jì)算公式為：其中，$\bar{x}$是數(shù)據(jù)的平均數(shù)，$n$是數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，表示為：標(biāo)準(zhǔn)差的優(yōu)點(diǎn)是與原始數(shù)據(jù)具有相同的單位，更容易解釋。用計(jì)算器求方差的方法使用計(jì)算器計(jì)算方差的步驟：輸入所有數(shù)據(jù)計(jì)算平均值計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的離差計(jì)算離差的平方計(jì)算離差平方和將離差平方和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，得到方差對(duì)方差開(kāi)平方，得到標(biāo)準(zhǔn)差許多科學(xué)計(jì)算器和電子表格軟件（如Excel）都有內(nèi)置的統(tǒng)計(jì)函數(shù)，可以直接計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差。例題演示例題：計(jì)算下列數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差：4,7,9,12,18解：首先計(jì)算平均值：$\bar{x}=\frac{4+7+9+12+18}{5}=\frac{50}{5}=10$計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的離差及其平方：$x_i$$x_i-\bar{x}$$(x_i-\bar{x})^2$44-10=-63677-10=-3999-10=-111212-10=241818-10=864計(jì)算離差平方和：36+9+1+4+64=114計(jì)算方差：$s^2=\frac{114}{5}=22.8$計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：$s=\sqrt{22.8}=4.77$（保留兩位小數(shù)）所以，該組數(shù)據(jù)的方差為22.8，標(biāo)準(zhǔn)差為4.77。方差應(yīng)用：方差和標(biāo)準(zhǔn)差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有廣泛應(yīng)用，如：評(píng)估數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性比較不同數(shù)據(jù)集的離散程度在質(zhì)量控制中監(jiān)測(cè)產(chǎn)品的一致性在風(fēng)險(xiǎn)分析中評(píng)估投資的波動(dòng)性數(shù)據(jù)的圖象表示條形圖條形圖用矩形條表示數(shù)據(jù)，適用于顯示不同類別之間的比較。特點(diǎn)：直觀顯示各類別的數(shù)量或比例適合比較不同類別的數(shù)據(jù)可以水平或垂直排列適用于名義尺度或順序尺度的數(shù)據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景：人口統(tǒng)計(jì)、產(chǎn)品銷售量比較、不同年份的數(shù)據(jù)對(duì)比等。折線圖折線圖用線段連接數(shù)據(jù)點(diǎn)，適用于顯示數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化的趨勢(shì)。特點(diǎn)：清晰展示數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)適合顯示連續(xù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)易于識(shí)別上升、下降和波動(dòng)模式可以在同一圖表中比較多組數(shù)據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景：溫度變化、股票價(jià)格走勢(shì)、產(chǎn)品銷量隨時(shí)間的變化等。扇形圖扇形圖（餅圖）將數(shù)據(jù)表示為圓的扇形部分，適用于顯示部分與整體的關(guān)系。特點(diǎn)：直觀顯示各部分占整體的比例適合表示百分比數(shù)據(jù)有助于理解部分與整體的關(guān)系適用于類別較少（通常不超過(guò)7個(gè)）的數(shù)據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景：預(yù)算分配、市場(chǎng)份額、人口構(gòu)成等。選擇合適圖表的原則數(shù)據(jù)類型考慮分類數(shù)據(jù)：通常使用條形圖或扇形圖時(shí)間序列數(shù)據(jù)：通常使用折線圖分布數(shù)據(jù)：通常使用直方圖或箱線圖相關(guān)性數(shù)據(jù)：通常使用散點(diǎn)圖表達(dá)目的考慮比較不同類別：條形圖顯示時(shí)間趨勢(shì)：折線圖展示比例關(guān)系：扇形圖顯示頻率分布：直方圖強(qiáng)調(diào)某一特定值：突出顯示的條形圖或折線圖受眾與場(chǎng)合考慮專業(yè)觀眾：可以使用復(fù)雜、信息密集的圖表普通觀眾：應(yīng)使用簡(jiǎn)單、直觀的圖表演示文稿：使用色彩鮮明、視覺(jué)吸引力強(qiáng)的圖表報(bào)告文檔：使用清晰、易于黑白打印的圖表例題講解例題：某班級(jí)40名學(xué)生的體育測(cè)試成績(jī)（滿分100分）統(tǒng)計(jì)如下：分?jǐn)?shù)段人數(shù)60-70571-801281-901891-1005請(qǐng)選擇合適的圖表類型表示這組數(shù)據(jù)，并說(shuō)明理由。解析：對(duì)于這組數(shù)據(jù)，可以選擇：條形圖：將分?jǐn)?shù)段放在橫軸，人數(shù)放在縱軸，使用條形直觀地表示各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)分布。這種圖表形式簡(jiǎn)單明了，適合比較不同分?jǐn)?shù)段的人數(shù)差異。扇形圖：將每個(gè)分?jǐn)?shù)段表示為占總?cè)藬?shù)比例的扇形。這種圖表可以直觀地顯示各分?jǐn)?shù)段的占比情況，但不太適合精確比較數(shù)值大小?？紤]到要表示分?jǐn)?shù)分布情況，并比較不同分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，條形圖是最合適的選擇。條形圖可以清晰地顯示人數(shù)的具體數(shù)值，便于直觀比較各分?jǐn)?shù)段的差異。數(shù)據(jù)分析與決策數(shù)據(jù)背后的信息解讀數(shù)據(jù)分析不僅僅是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)，更重要的是從數(shù)據(jù)中提取有價(jià)值的信息，并基于這些信息進(jìn)行決策。數(shù)據(jù)分析的基本步驟包括：提出問(wèn)題：明確分析目的和需要解決的問(wèn)題收集數(shù)據(jù)：獲取相關(guān)的、可靠的數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)：將原始數(shù)據(jù)整理成便于分析的形式分析數(shù)據(jù)：運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析解釋結(jié)果：對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行合理的解釋形成結(jié)論：基于解釋得出明確的結(jié)論指導(dǎo)決策：利用結(jié)論指導(dǎo)實(shí)際決策在解讀數(shù)據(jù)時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：區(qū)分相關(guān)性和因果關(guān)系考慮數(shù)據(jù)的代表性和可靠性注意數(shù)據(jù)的時(shí)效性警惕誤導(dǎo)性的數(shù)據(jù)表示方式結(jié)合具體情境理解數(shù)據(jù)含義簡(jiǎn)單決策問(wèn)題分析基于數(shù)據(jù)的決策通常遵循以下原則：客觀性原則：基于事實(shí)和數(shù)據(jù)，而非個(gè)人偏好全面性原則：考慮多方面的數(shù)據(jù)和影響因素適當(dāng)性原則：選擇適合問(wèn)題特點(diǎn)的分析方法經(jīng)濟(jì)性原則：考慮決策的成本和收益風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)：評(píng)估決策的潛在風(fēng)險(xiǎn)和不確定性典型案例案例：某校開(kāi)展閱讀推廣活動(dòng)，收集了學(xué)生閱讀習(xí)慣的數(shù)據(jù)：每周閱讀時(shí)間（小時(shí)）學(xué)生人數(shù)平均成績(jī)0-2120723-5200786-101508510以上3092基于這些數(shù)據(jù)，學(xué)校需要制定閱讀推廣策略。分析：數(shù)據(jù)顯示閱讀時(shí)間與成績(jī)正相關(guān)大多數(shù)學(xué)生（320人）閱讀時(shí)間在5小時(shí)以下閱讀時(shí)間10小時(shí)以上的學(xué)生比例較小決策建議：重點(diǎn)關(guān)注閱讀時(shí)間0-2小時(shí)的學(xué)生群體，設(shè)計(jì)針對(duì)性的閱讀興趣培養(yǎng)活動(dòng)為閱讀時(shí)間3-5小時(shí)的學(xué)生提供閱讀資源和指導(dǎo)，幫助他們?cè)黾娱喿x時(shí)間宣傳閱讀與學(xué)習(xí)成績(jī)的正相關(guān)關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生增加閱讀時(shí)間考慮閱讀質(zhì)量因素，不僅關(guān)注閱讀時(shí)間，還要關(guān)注閱讀內(nèi)容和方式復(fù)習(xí)與總結(jié)第16章分式分式的基本概念和性質(zhì)分式的四則運(yùn)算分式的化簡(jiǎn)與通分分式方程的解法分式應(yīng)用題解題策略第17章函數(shù)及其圖象函數(shù)的定義與表示一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象反比